劉文杰

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）08-0139-02

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是高三理科數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)課——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。根據(jù)高考的熱點(diǎn)問題我將《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》劃分為兩節(jié)課。這是第一節(jié)課，主要探究兩個問題：①任意性與存在性問題；②分類討論思想的應(yīng)用。 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不僅在高考中占有重要的地位，而且在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，應(yīng)重點(diǎn)研究。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

這節(jié)課是在學(xué)生經(jīng)過了一輪復(fù)習(xí)，基本掌握了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，是學(xué)生對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用的提高。任意性與存在性問題和分類討論思想對學(xué)生而言，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。

三、設(shè)計思想

如何突破這節(jié)課的兩個重點(diǎn)問題，成為本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。我通過設(shè)計的導(dǎo)學(xué)案和具有一定思考價值的問題，來激發(fā)學(xué)生的求知欲望和持久的好奇心。

在教學(xué)中我努力做到以下兩點(diǎn)：

1.在課堂活動中通過互助合作、自主探究，培養(yǎng)學(xué)生積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)興趣。

2.在教學(xué)過程中努力做到生生對話、師生對話，且在對話之后重視總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時讓學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)的思想方法。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.理解并掌握任意性與存在性問題的解決方法；

2.會用分類討論思想解決問題；

3.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中感受數(shù)學(xué)思想方法之美，同時通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、合作交流的意識。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

1.任意性與存在性問題的理解；

2.分類討論思想的應(yīng)用。

六、教學(xué)教具

多媒體幻燈片 PPT課件 導(dǎo)學(xué)案 實(shí)物投影儀

七、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

已知函數(shù)f（x）=x3+x，對任意的m∈[-2，2]，f（mx-2）+f（x）<0恒成立，則x的取值范圍為____。

教師：（采用多媒體PPT課件展示問題），請同學(xué)們以小組為單位展開討論。

學(xué)生：小組合作討論，解決問題。

【學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可能自行解決不了，教師用多媒體PPT課件展示詳解?！?/p>

【設(shè)計意圖：用一個實(shí)例提出問題，為引出任意性與存在性問題做準(zhǔn)備；同時激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的興趣?！?/p>

教師：用多媒體PPT課件展示正確解答過程。

（二）師生互動、探究新知（題型分類、深度剖析）

題型一 任意性與存在性問題的考查

【例1】已知函數(shù)f（x）=8x2+16x-k， g（x）=2x3+5x2+4x， k為實(shí)數(shù)。

（1）對任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）對存在x∈[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（3）對任意x1，x2∈[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍；

（4）對任意x1∈[-3，3]，x2∈[-3，3]，使f（x1）≥g（x2）， 求k的取值范圍。

教師：下面請同學(xué)們看導(dǎo)學(xué)案上的例1。

學(xué)生：分組活動，合作學(xué)習(xí)。

閱讀例1，回答以下問題（在幻燈片上展示出來）：

1.兩個量詞“任意”與“存在”對解題有什么影響？

2.例1的四個問題在解法上有什么聯(lián)系與區(qū)別？

教師：根據(jù)學(xué)生的討論，讓四個學(xué)習(xí)小組分別展示探究學(xué)習(xí)的成果。

學(xué)生：兩個學(xué)習(xí)小組派代表到黑板上板書展示（1）、（2）小題成果，另兩個學(xué)習(xí)小組派代表通過實(shí)物投影儀展示（3）、（4）小題成果，便于學(xué)生交流。

教師：再嘗試讓學(xué)生小組合作探究學(xué)習(xí)，抽象出數(shù)學(xué)模型，點(diǎn)評小結(jié)。

（在這里要注意生生之間、師生之間的對話。）

學(xué)生：各學(xué)習(xí)小組推選學(xué)生代表舉手發(fā)言抽象數(shù)學(xué)模型，發(fā)表自己的觀點(diǎn)并用實(shí)物投影儀展示成果。

師生：師生共同評價探究成果，形成一般數(shù)學(xué)模型。

【設(shè)計意圖：通過學(xué)生小組合作探究，讓學(xué)生從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。讓學(xué)生在討論中自己解決問題，使該難點(diǎn)的突破顯得自然，達(dá)到提高課堂效率的目的，也由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。】

【學(xué)情預(yù)設(shè)： ①若學(xué)生從合作探究學(xué)習(xí)中總結(jié)出規(guī)律和數(shù)學(xué)模型，教師大力表揚(yáng)就行。②若學(xué)生給出的模型不具體，規(guī)律不明確，教師應(yīng)利用多媒體PPT課件展示四個小題的結(jié)論進(jìn)行比對，教師引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究、總結(jié)出模型?！?/p>

教師：用多媒體PPT課件展示例1的一般數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生寫到導(dǎo)學(xué)案上。

【探究提高】（數(shù)學(xué)模型）

1.含有“任意性或存在性”的函數(shù)的最值之間的大小關(guān)系

（1）①？坌x∈[a，b]，g（x）≥m？圳g（x）min≥m.

②？坌x∈[a，b]，g（x）≤m？圳g（x）max≤m.

（2）①？堝x0∈[a，b]，g（x0）≥m？圳g（x）max≥m..

②？坌x0∈[a，b]，g（x0）≤m？圳g（x）max≤m.

2.含有“任意性或存在性”的兩個函數(shù)的最值之間的大小關(guān)系

（1）①？坌x1∈[a，b]，？坌x2∈[c，d]，有f（x1）≤g（x2）？圳f（x1）max≤g（x2）min.

②？坌x1∈[a，b]，？坌x2∈[c，d]，有f（x1）≥g（x2）？圳f（x1）min≥g（x2）max.

（2）①？坌x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，有f（x1）≤g（x2）？圳f（x1）max≤g（x2）max.

②？坌x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，有f（x1）≥g（x2）？圳f（x1）min≥g（x2）min.

（3）①？堝x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，有f（x1）≤g（x2）？圳f（x1）min≤g（x2）max.

②？堝x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，有f（x1）≥g（x2）？圳f（x1）max≥g（x2）min.

（4）①？堝x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，f（x1）=g（x2）？圳f（x）的值域和g（x）的值域交集不為空集

②？坌x1∈[a，b]，？堝x2∈[c，d]，f（x1）=g（x2）？圳f（x）的值域是g（x）的值域的子集

教師：給同學(xué)們編了一個順口溜便于記憶，多媒體PPT課件展示，要求學(xué)生朗讀。

學(xué)生：（全體同學(xué)齊聲朗讀）

任意存在相對立，最大最小反著用；不等方向莫改變，千變?nèi)f化我不怕。

【設(shè)計意圖：通過對例1的引申，形成規(guī)律，抽象出數(shù)學(xué)模型，便于學(xué)生記憶，達(dá)到思維升華的目的。借助順口溜，也掀起一個學(xué)習(xí)的高潮，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生樂學(xué)愛學(xué)?！?/p>

題型二 分類討論思想的考查

【例2】已知函數(shù)f（x）=x2e-ax （a>0），求函數(shù)在[1，2]上的最大值。

教師：讓同學(xué)們閱讀并思考例2。

師生：共同分析解題思路。解題導(dǎo)引：求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，首先應(yīng)判斷函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，一般方法是令f′（x）=0，求出x值后，再判斷函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性，在這里一般要用到分類討論的思想，討論的標(biāo)準(zhǔn)通常是極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，確定單調(diào)性。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生回憶起這類題的解題思路，便于解答時有明確的目標(biāo)?！?/p>

教師：讓學(xué)生到黑板上板書，其他同學(xué)在導(dǎo)學(xué)案上做。

師生：針對學(xué)生的板書，師生共同評價，利用多媒體PPT課件展示規(guī)范解題過程。

解：∵f（x）=x2e-ax （a>0），∴f′（x）=2xe-ax+x2·（-a）e-ax=e-ax（-ax2+2x）

令f′（x）=0，即e-ax（-ax2+2x）=0，得x=0或x=■

①當(dāng)0<■<1，即a>2時，f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，∴f（x）max=f（1）=e-a

②當(dāng)1≤■≤2，即1≤a≤2時，f（x）在[1，■）上是增函數(shù)，在（■，2]上是減函數(shù)，

∴f（x）max=f（■）=4a-2e-2

③當(dāng)■>2，即0

綜上所述，當(dāng)0

當(dāng)1≤a≤2時，f（x）的最大值為4a-2e-2；當(dāng)a>2時，f（x）的最大值為e-a。

學(xué)生：根據(jù)教師的講解，學(xué)生糾錯整理到導(dǎo)學(xué)案上。

【設(shè)計意圖：①教師可通過學(xué)生板書，訓(xùn)練其對數(shù)學(xué)問題的分析和表達(dá)能力；②教師板書展示解題步驟，強(qiáng)調(diào)解題的規(guī)范性； ③教師可檢驗(yàn)學(xué)生的落實(shí)情況?！?/p>

【學(xué)情預(yù)設(shè)：考慮到學(xué)生各組的水平有所不同，教師應(yīng)巡視，做適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)?！?/p>

教師：讓學(xué)生討論曾經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)思想以及分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，有哪些？

學(xué)生：各學(xué)習(xí)小組推選學(xué)生代表，展示討論的成果。

師生：共同評價小組討論的成果，然后教師用多媒體幻燈片展示成果，學(xué)生記錄。

【探究提高】（成果總結(jié)）

（1）解題中要注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化與化歸思想、 數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等。

（2）常見分類討論的標(biāo)準(zhǔn)

①二次項系數(shù)的正負(fù) ②方程是否有根 ③根的大小 ④點(diǎn)是否在定義域內(nèi)

【設(shè)計意圖：學(xué)生通過例2的合作探究并結(jié)合教師的點(diǎn)撥歸納，讓學(xué)生回憶起在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中常見的分類討論的角度，進(jìn)行歸納引申，達(dá)到思維升華的目的，從而解決第2個學(xué)習(xí)重點(diǎn)：分類討論思想的應(yīng)用。】

【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f（x）=■x2-ax+（a-1）ln x，a>1.討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性。

【設(shè)計意圖：當(dāng)堂檢測學(xué)生對知識與分類討論思想的掌握情況，便于落實(shí)?！?/p>

（三）課堂小結(jié)（思想方法與感悟提高）

先由學(xué)生總結(jié)，板書到黑板上，然后教師總結(jié)補(bǔ)充（由多媒體PPT課件展示），最后由學(xué)生填寫到導(dǎo)學(xué)案上。

【設(shè)計意圖：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生重新梳理、回顧所學(xué)的知識與技能、數(shù)學(xué)思想與方法，使學(xué)生學(xué)在情境中，思在情理中，感悟在內(nèi)心中?！?/p>

（四）課后作業(yè)（分層訓(xùn)練）

A組：1.已知f（x）=x2，g（x）=（■）x-m，若對？坌x1∈[-1，3]，？堝x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____。

2.已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1），

（1）當(dāng)時a>1，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

（2）若函數(shù)y=|f（x）-t|-1有三個零點(diǎn)，求t的值；

（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，試求的取值范圍。

B組：1.已知函數(shù)f（x）=x2-（2a+1）x+alnx

當(dāng)a =1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；求函數(shù)f（x）區(qū)間[1，e]上的最小值。

設(shè)g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[■，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【設(shè)計意圖：題目要精選，不要太多。A組要求所有學(xué)生完成；B組只要求學(xué)有余力的同學(xué)完成，體現(xiàn)了差異發(fā)展教學(xué)，鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。】

八、教學(xué)反思

1.本節(jié)課教學(xué)是以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，小組合作探究學(xué)習(xí)，既為學(xué)生提供展示才華的舞臺，嘗試成功感；又讓學(xué)生親歷知識掌握的構(gòu)建過程，順利掌握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。讓教師可以真正做到“授之以漁”，而非“授之以魚”。

2.在教學(xué)過程中不斷向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在活動中感受數(shù)學(xué)思想方法之美，學(xué)生還能自覺運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想方法去分析、思考問題，使學(xué)生學(xué)在情境中，思在情理中，感悟在內(nèi)心中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。