劉煥鵬 嚴(yán)太華

摘 要：商業(yè)銀行貸款定價(jià)問(wèn)題得到了廣泛的研究，其不足之處是只考慮了商業(yè)銀行的短期最優(yōu)定價(jià)行為。本文針對(duì)信貸市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)性和商業(yè)銀行的長(zhǎng)期最優(yōu)貸款定價(jià)行為，應(yīng)用最優(yōu)控制理論對(duì)商業(yè)銀行的長(zhǎng)期最優(yōu)貸款定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究。通過(guò)將銀行貸款定價(jià)的長(zhǎng)期最優(yōu)化決策描述成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)控制問(wèn)題，并采用Matlab11.0對(duì)上述最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行求解和數(shù)值模擬。研究結(jié)果表明，在利率市場(chǎng)化條件下，信貸市場(chǎng)不僅會(huì)存在“道德風(fēng)險(xiǎn)”和“逆向選擇”，而且銀行之間的貸款定價(jià)不存在納什均衡。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制；利率市場(chǎng)化；貸款定價(jià)

中圖分類號(hào)：F832.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A〓 文章編號(hào)：1003-9031（2013）08-0013-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2013.08.03

一、引言

隨著社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的迅速推進(jìn)，我國(guó)商業(yè)銀行貸款利率日益市場(chǎng)化。而許多商業(yè)銀行長(zhǎng)期以來(lái)貸款定價(jià)的主要依據(jù)仍然是企業(yè)的信用等級(jí)和還款能力，沒(méi)有形成系統(tǒng)的、科學(xué)的貸款定價(jià)機(jī)制[1]。商業(yè)銀行對(duì)貸款利率是否進(jìn)行浮動(dòng)或浮動(dòng)多少一般都缺乏規(guī)范、精細(xì)的標(biāo)準(zhǔn)，其利率浮動(dòng)的幅度通常也不能反映借款人的信用水平及貸款項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)程度[2]。因此，隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，建立定量化的定價(jià)機(jī)制以靈活地應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變的市場(chǎng)環(huán)境勢(shì)在必行。

在利率市場(chǎng)化條件下，商業(yè)銀行貸款定價(jià)不是通過(guò)中央優(yōu)化集中來(lái)決定的，而是通過(guò)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制分散決定的[3]。在利率市場(chǎng)化程度較高的西方發(fā)達(dá)國(guó)家，商業(yè)銀行貸款定價(jià)機(jī)制主要有成本相加定價(jià)機(jī)制、客戶盈利分析模式等。但是，這些方法只考慮了貸款價(jià)格的短期優(yōu)化決策或銀行發(fā)放貸款的短視行為，即認(rèn)為在信貸市場(chǎng)中，貸款定價(jià)在每個(gè)決策時(shí)期都是獨(dú)立的，優(yōu)化的目標(biāo)為單個(gè)時(shí)期的利潤(rùn)最大化。實(shí)際上，貸款需求會(huì)隨著經(jīng)濟(jì)的波動(dòng)而變化，這種變化又會(huì)造成信貸市場(chǎng)的波動(dòng)。因此，可用動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型來(lái)描述商業(yè)銀行貸款的定價(jià)機(jī)制。給定系統(tǒng)的這種動(dòng)態(tài)性，商業(yè)銀行的信貸定價(jià)機(jī)制實(shí)際上就是一個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題。

在競(jìng)爭(zhēng)的信貸市場(chǎng)中，商業(yè)銀行首先向市場(chǎng)發(fā)出各自的貸款價(jià)格。企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)上的貸款報(bào)價(jià)和利潤(rùn)最大化原則決定接受某家銀行的貸款，并通過(guò)信貸市場(chǎng)將這一信息反饋給銀行，直至信貸市場(chǎng)供需平衡，市場(chǎng)出清。市場(chǎng)出清后，每家商業(yè)銀行知道了信貸市場(chǎng)的市場(chǎng)出清價(jià)格，在下一輪定價(jià)中，商業(yè)銀行會(huì)基于這些市場(chǎng)信息來(lái)調(diào)整自己的貸款價(jià)格以獲取更多利潤(rùn)。因此，把信貸市場(chǎng)的競(jìng)價(jià)過(guò)程視為一個(gè)動(dòng)態(tài)反饋系統(tǒng)能夠更好的描述這一機(jī)制。此動(dòng)態(tài)反饋過(guò)程，可以通過(guò)圖1來(lái)反映。

本文通過(guò)對(duì)利率市場(chǎng)化條件下貸款定價(jià)的動(dòng)態(tài)反饋性進(jìn)行描述，并假設(shè)企業(yè)貸款的目標(biāo)是為了獲得貸款投資收益最大化，然后在這一假設(shè)基礎(chǔ)上求出商業(yè)銀行面臨的信貸需求的動(dòng)態(tài)方程。將動(dòng)態(tài)方程中的市場(chǎng)信貸需求作為狀態(tài)變量，信貸價(jià)格作為控制變量，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，并采用Matlab11.0對(duì)上述最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行求解和數(shù)值模擬。

二、系統(tǒng)方程描述

在這一部分，我們應(yīng)用最優(yōu)控制理論構(gòu)建一個(gè)企業(yè)貸款投資收益最大化模型。為方便分析，在此假設(shè)信貸市場(chǎng)不存在不確定性。特別的，在我們的描述中，信貸市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)性將被考慮在內(nèi)。然后我們?cè)谄髽I(yè)貸款投資收益最大化模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建描述商業(yè)銀行貸款定價(jià)動(dòng)態(tài)機(jī)制的最優(yōu)控制理論模型。

（一）企業(yè)貸款投資收益最大化模型

假設(shè)信貸市場(chǎng)存在n家商業(yè)銀行，在競(jìng)爭(zhēng)性信貸市場(chǎng)中，商業(yè)銀行發(fā)放貸款供需平衡，市場(chǎng)正好出清。而商業(yè)銀行產(chǎn)品差異僅為信貸價(jià)格間的差異，即商業(yè)銀行之間僅僅能夠通過(guò)貸款價(jià)格的調(diào)整來(lái)參與市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)。我們假定商業(yè)銀行i面臨的信貸市場(chǎng)的需求函數(shù)，也即對(duì)應(yīng)的企業(yè)i對(duì)貸款的需求函數(shù)為：

其中，qi是商業(yè)銀行i面臨的信貸需求，即企業(yè)i的貸款需求；ri是商業(yè)銀行i的貸款價(jià)格，即貸款利率；ai，bi 為商業(yè)銀行i發(fā)放貸款的需求參數(shù)；dij為不同商業(yè)銀行信貸產(chǎn)品的替代系數(shù)；rj為商業(yè)銀行i以外的其他銀行的貸款利率。

假定銀行和企業(yè)用有相同的生產(chǎn)成本函數(shù)，假定都是線性的，即

其中，C（qi）為企業(yè)的生產(chǎn)成本，該函數(shù)包含了企業(yè)貸款的利息支出等費(fèi)用。為了分析方便，我們假設(shè)ci對(duì)企業(yè)來(lái)講是相同的值，對(duì)各商業(yè)銀行來(lái)講各不相同。

假定企業(yè)貸款的投資收益率為r，則企業(yè)向銀行借款的利潤(rùn)最大化函數(shù)為：

其中，qi是r的函數(shù)。對(duì)式（3）中的企業(yè)投資收益率一階求導(dǎo)，得到滿足企業(yè)利潤(rùn)最大化的一階最優(yōu)條件，即：

解得：

企業(yè)向銀行貸款時(shí)，只有滿足式（5）時(shí)才能達(dá)到利潤(rùn)最大化，即企業(yè)滿足該條件時(shí)企業(yè)才會(huì)向銀行借款，也只有滿足該條件時(shí)銀行發(fā)放的貸款才會(huì)有需求。在這里，我們可以把1/（r-ci）稱為銀行i的貸款調(diào)整因子或貸款調(diào)整強(qiáng)度。式（5）意味著銀行只有按照該條件調(diào)整貸款時(shí)才能獲得更多的利潤(rùn)。

（二）商業(yè)銀行貸款的最優(yōu)控制模型

在目前使用的定價(jià)方法中，商業(yè)銀行主要關(guān)注的是個(gè)體單個(gè)時(shí)期內(nèi)的最優(yōu)，目標(biāo)函數(shù)是單期利潤(rùn)最大化，即：max？仔■（t）。而長(zhǎng)期最優(yōu)意味著經(jīng)營(yíng)期內(nèi)的利潤(rùn)之和最大化，即max■？仔■（t）dt。如果系統(tǒng)總是靜態(tài)的或者只考慮單個(gè)時(shí)期內(nèi)的利潤(rùn)最大化，則各期的利潤(rùn)是獨(dú)立的，此時(shí)單期利潤(rùn)的最大值之和等于利潤(rùn)最大值的和，即max■？仔■（t）dt = ■max？仔■（t）dt。然而，各期利潤(rùn)可能不是獨(dú)立不相關(guān)的，所以各期利潤(rùn)之和的最大值應(yīng)該大于各期最大利潤(rùn)的和，即max■？仔■（t）dt >■max？仔■（t）dt。在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，長(zhǎng)期最優(yōu)被用來(lái)研究最優(yōu)控制問(wèn)題。接下來(lái)，我們將闡述最優(yōu)控制在貸款定價(jià)中的應(yīng)用。

據(jù)上所述，使用長(zhǎng)期最優(yōu)控制考慮了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性是更加合理的。在這一部分，最優(yōu)控制問(wèn)題將被描述成單個(gè)銀行i進(jìn)行長(zhǎng)期最優(yōu)決策的目標(biāo)是使各期利潤(rùn)之和最大化，即：

目標(biāo)函數(shù)式（6）受約束于式（5）。因此，式（5）和式（6）構(gòu)成了商業(yè)銀行長(zhǎng)期貸款最優(yōu)決策的最優(yōu)控制系統(tǒng)。式（5）為狀態(tài)方程，式（6）為目標(biāo)函數(shù)。ri為控制變量，qi為狀態(tài)變量。即：

式（7）即為反映商業(yè)銀行貸款長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)定價(jià)機(jī)制的最優(yōu)控制模型。通過(guò)求解該模型，我們可以得到商業(yè)銀行貸款定價(jià)的均衡解和商業(yè)銀行貸款利率與企業(yè)貸款投資收益率之間的關(guān)系。

三、模型求解與數(shù)值模擬

（一）模型求解

為了求解上述最優(yōu)控制問(wèn)題，我們構(gòu)造如下漢密爾頓函數(shù)：

其中， λi（t）為協(xié)態(tài)變量。

式（8）兩邊對(duì)ri（t）求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，得到漢密爾頓函數(shù)的最優(yōu)性條件：

式（9）兩邊對(duì)qi（t）求一階導(dǎo)數(shù)得到漢密爾頓函數(shù)的共態(tài)方程：

漢密爾頓函數(shù)式（8）的橫截性條件為：

通過(guò)對(duì)式（9）、式（10）求解，可以得到式（12）和式（13）：

式（15）即為商業(yè)銀行i貸款利率調(diào)整所需要遵循的動(dòng)態(tài)方程。對(duì)其他n-1家銀行進(jìn)行類似分析，可得到一個(gè)n維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。顯然可以表示為n個(gè)微分方程，即為n家銀行進(jìn)行信貸價(jià)格調(diào)整的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。若將有關(guān)參數(shù)代入，則可得到每家銀行信貸定價(jià)的調(diào)整過(guò)程，通過(guò)其特征值還可以判斷商業(yè)銀行利率是否存在均衡。

為了便于分析，我們假設(shè)只有兩家銀行，銀行1和其以外的其他銀行，即銀行2。于是可將（16）式化為微分方程組：

化簡(jiǎn)上式得：

式（17）中，當(dāng)r1'=0，r2'=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的方程組的解即為商業(yè)銀行1和其他商業(yè)銀行2進(jìn)行信貸競(jìng)爭(zhēng)的均衡利率 （r1*，r2*）。該均衡解滿足：

通過(guò)對(duì)式（18）進(jìn)行數(shù)值模擬可以得到商業(yè)銀行貸款利率與企業(yè)貸款投資收益率之間的關(guān)系。

（二）數(shù)值模擬

在這一部分，我們對(duì)商業(yè)銀行在利率市場(chǎng)化條件下的貸款定價(jià)進(jìn)行數(shù)值模擬。首先，我們給定銀行1和其他銀行2的各項(xiàng)參數(shù)（如表1）。

將參數(shù)代入式（17），我們可以求動(dòng)力系統(tǒng)的特征根和特征向量。通過(guò)使用Matlab11.0我們求出動(dòng)力系統(tǒng)的特征值為為0.0270和0.0030。有動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的奇點(diǎn)理論可知，當(dāng)兩個(gè)特征根同為正值時(shí)，是不穩(wěn)定的。因而我們可以判斷商業(yè)銀行貸款定價(jià)不存在納什均衡。

將參數(shù)代入式（18），可以得到商業(yè)銀行貸款利率與企業(yè)貸款投資收益率之間的關(guān)系（見(jiàn)圖2）。從圖中可以看出，當(dāng)企業(yè)貸款投資收益率不超過(guò)某個(gè)臨界值時(shí)，企業(yè)貸款投資收益率高于商業(yè)銀行貸款利率，利率隨企業(yè)貸款投資收益率的增加而上升，而且商業(yè)銀行1和2的利率基本相同。當(dāng)企業(yè)貸款投資收益率超過(guò)一定臨界值時(shí)，企業(yè)貸款投資收益率開(kāi)始下降，且銀行利率隨著企業(yè)貸款投資收益率的下降而增加，商業(yè)銀行的貸款利率將超過(guò)貸款投資收益率。

出現(xiàn)這樣的原因主要是，當(dāng)企業(yè)貸款投資收益率在一定臨界值之內(nèi)時(shí)，表明社會(huì)經(jīng)濟(jì)處于正常的穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)，產(chǎn)品市場(chǎng)供需穩(wěn)定，企業(yè)貸款投資收益率穩(wěn)步提高，商業(yè)銀行貸款供需平衡，因此，銀行利率隨著企業(yè)投資收益率的上升而上升。銀行利率隨著企業(yè)投資收益率的下降而上升是因?yàn)殡S著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行逐漸出現(xiàn)失衡，此時(shí)企業(yè)產(chǎn)品銷售不暢，企業(yè)貸款投資收益率降低，銀行信貸風(fēng)險(xiǎn)增加，因此，銀行會(huì)提高利率對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。預(yù)期還款可能性較高的優(yōu)質(zhì)企業(yè)雖然經(jīng)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)小，但是由于利潤(rùn)率偏低，不能獲得正常的貸款；相反，預(yù)期還款可能性較低的高風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)，反而能夠獲得銀行貸款，所以此時(shí)企業(yè)貸款投資收益率下降而銀行貸款利率上升，出現(xiàn)了“逆向選擇”行為。同時(shí)，高利率會(huì)誘使企業(yè)從事高風(fēng)險(xiǎn)的項(xiàng)目，放棄從事低風(fēng)險(xiǎn)的項(xiàng)目，從而使得信貸市場(chǎng)出現(xiàn) “道德風(fēng)險(xiǎn)”行為。這就使得商業(yè)銀行在較高的利率水平上拒絕了一部分優(yōu)質(zhì)貸款，使得貸款利率的上升提高了銀行的平均信貸風(fēng)險(xiǎn)，降低了預(yù)期收益率。這說(shuō)明，即使在利率市場(chǎng)化條件下，也會(huì)存在斯蒂格利茨所說(shuō)的“道德風(fēng)險(xiǎn)”和 “逆向選擇”。

四、結(jié)論

本文將信貸市場(chǎng)描繪成動(dòng)態(tài)反饋市場(chǎng)，將貸款定價(jià)機(jī)制描述成一個(gè)動(dòng)態(tài)的、非線性的系統(tǒng)。根據(jù)企業(yè)利潤(rùn)最大化原則建立了商業(yè)銀行貸款定價(jià)動(dòng)態(tài)的、非線性的最優(yōu)控制模型。并使用Matlab11.0進(jìn)行了求解和數(shù)值模擬。研究結(jié)果表明，在利率市場(chǎng)化條件下，商業(yè)銀行貸款定價(jià)并不存在納什均衡點(diǎn)。而且，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)正常運(yùn)行的條件下，商業(yè)銀行貸款供需平衡，貸款利率一般低于企業(yè)貸款投資收益率，并隨著企業(yè)貸款投資收益率的上升而增加。而當(dāng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行失衡時(shí)，企業(yè)貸款投資收益率降低，貸款利率隨著投資收益率的下降而上升，使得正常企業(yè)無(wú)法獲得貸款，而高風(fēng)險(xiǎn)企業(yè)卻因?yàn)椴粦掷⒏叨軌颢@得貸款，信貸市場(chǎng)便會(huì)出現(xiàn)逆向選擇和道德風(fēng)險(xiǎn)。

（責(zé)任編輯：湯戈于）

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