毛金平

函數(shù)圖像是函數(shù)的一種最形象、最直觀的表示方法，而導(dǎo)數(shù)則是研究函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的一個(gè)有力工具。這里，我就從描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、比較物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、探究物體形狀的設(shè)計(jì)三方面各舉一例，帶領(lǐng)大家通過觀察函數(shù)圖像，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，共同來探究事物的變化規(guī)律。

描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

例1：“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂。 如果煙花距地面的高度h（m）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)圖像如圖所示，試描述煙花升空后的運(yùn)動(dòng)狀況。

【分析】要描述煙花升空后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就得探究煙花升空后在不同時(shí)刻的瞬時(shí)速度的變化規(guī)律。結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是要探究煙花距地面的高度h（m）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)圖像上各點(diǎn)切線斜率的變化規(guī)律。

【解】由函數(shù)圖像，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以看出：

在t=1.5s附近曲線比較平坦，也就是說此時(shí)煙花的瞬時(shí)速度幾乎為0，達(dá)到最高點(diǎn)并爆裂；

在0～1.5s之間，曲線在任何點(diǎn)的切線斜率大于0且切線越來越“平緩”，也就是說煙花在達(dá)到最高點(diǎn)前，以越來越小的速率升空；

在1.5s后，曲線在任何點(diǎn)的切線斜率小于0且切線越來越“陡峭”，也就是說煙花達(dá)到最高點(diǎn)后，以越來越大的速率下降，直至落地。

比較物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

例2： 兩兄弟甲、乙同時(shí)從家里出發(fā)去游樂園，他們離家的距離s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像如右圖所示，試根據(jù)圖像比較他們在去游樂園途中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的異同。

【分析】要看兩兄弟在去游樂園途中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，直接分析他們離家的距離s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像在某點(diǎn)切線的斜率，即他們在任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度即可。

【解】由函數(shù)圖像，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，我們可以看出：

兩兄弟從家里出發(fā)后，均以各自不同的速度前往游樂園；

對于甲來說，隨著時(shí)間的推移，曲線切線的傾斜度先是不變，后是越來越“陡峭”，即甲先勻速前進(jìn)，后以越來越快的速度向游樂園趕去；而對于乙來說，隨著時(shí)間的推移，曲線切線越來越“平緩”，即乙是以越來越慢的速度向游樂園走去。

探究物體形狀的設(shè)計(jì)

例3：設(shè)計(jì)一個(gè)杯子的形狀，使得在向杯中勻速注水時(shí)，杯中水面的高度h隨著時(shí)間t變化的圖像與上面右圖的圖像相符合。

【分析】由圖可以看出，無論是在OA段還是在AB段，水面的高度都在均勻增加，不同的是AB段比OA段要“平緩”，也就是說，在OA段的時(shí)候高度增加得快，而在AB段的時(shí)候高度增加得慢。

【解】由題意知，我們可以將杯設(shè)計(jì)成上粗下細(xì)，如下面右圖所示：

小結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)探究事物的變化規(guī)律，其關(guān)鍵就是抓住導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)f（x）在x=x0的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線的斜率。當(dāng)函數(shù)圖像上曲線切線越來越“陡峭”且斜率大于0，或曲線切線越來越“平緩”且斜率小于0時(shí)，函數(shù)在此處的導(dǎo)數(shù)越來越大；反之，當(dāng)函數(shù)圖像上曲線切線越來越“陡峭”且斜率小于0，或曲線切線越來越“平緩”且斜率大于0時(shí)，函數(shù)在此處的導(dǎo)數(shù)越來越小。

封面鏡頭

上海交通大學(xué)老圖書館秘境

“不進(jìn)徐家匯的門，不算交大人”，去上海交通大學(xué)徐匯校區(qū)，一定不能錯(cuò)過老圖書館。建于1919年的老圖書館座東朝西，是一幢三層的混合結(jié)構(gòu)建筑，整個(gè)建筑由紅磚砌成，帶有英國伊麗莎白時(shí)代的建筑風(fēng)格。大樓的平面設(shè)計(jì)為“山”字形，整體比例對稱。立面樓體上的山墻醒目，底樓的門廊突出，門廊里有兩對科林斯雙柱支撐著二樓的露臺。二樓的窗體采用弧拱形，西部有華麗的巴洛克式雕刻。整個(gè)建筑渾然一體，設(shè)計(jì)上擺脫了早期古典主義的拘謹(jǐn)，顯得更為活潑輕松。

交大歷來教學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生個(gè)個(gè)勤奮好學(xué)，老圖書館便是最好的“見證人”。除了作為藏書樓之外，老圖書館還曾扮演過宿舍的角色?？箲?zhàn)剛勝利時(shí)，交大校園遭到嚴(yán)重破壞，甚至沒有專門的宿舍。正好圖書館是空的，所以學(xué)生就住在圖書館一樓，在整個(gè)大廳里一排排地放著單層床鋪。那時(shí)雖然物質(zhì)條件很差，但學(xué)生士氣很高，讀書都很用功。

今天的老圖書館也沒有書了，放的都是卷宗，它已經(jīng)成為上海交大的檔案館。在那里，能翻看到一張泛黃的工工整整的滿分“水力學(xué)”考卷，署名是“錢學(xué)森”。仔細(xì)看，考卷右上角分?jǐn)?shù)欄里填寫的“100分”旁，又有一個(gè)“96分”。原來是錢學(xué)森在一處連續(xù)等式后將“Ns”簡為“N”，老師未算錯(cuò)，錢老本人要求扣分，老師最后就給了他96分。還有在交大讀書讀到吐血的著名校友。比如鄒韜奮，在交大讀土木時(shí)由于交大理工科要求嚴(yán)格，讀到半夜，一口鮮血噴在書本上，讀不下去了，只好轉(zhuǎn)學(xué)到圣約翰大學(xué)去學(xué)新聞。要是鄒韜奮當(dāng)時(shí)沒有跑掉，不知道中國近代史上會不會少一位著名記者，而多一位科學(xué)家。