孫志禮，王宇寧，印明昂，楊 麗，楊 強

（東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110189）

0 引言

齒輪傳動具有傳動平穩(wěn)、高效，結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用到制造、交通運輸、冶金、化工、制藥以及航空航天等各個領(lǐng)域，以高速、質(zhì)載和輕質(zhì)量為特征的航空齒輪傳動更是占據(jù)著越來越重要的地位。航空齒輪在傳動過程中會產(chǎn)生大量的熱，并且會形成不均勻的溫度場，其溫度場的分布情況對齒輪系統(tǒng)的傳動效率、動態(tài)性能以及承載能力等具有重要的影響，并且溫度場對于傳動系統(tǒng)的工作強度、動力性能、抗膠合能力、熱變形等問題也都具有重要影響[1]。國內(nèi)外很多學(xué)者對齒輪溫度場的進行了理論、實驗研究和仿真分析。劉志全等[2]采用熱網(wǎng)絡(luò)法分別研究了軍用直升機齒輪傳動系統(tǒng)的瞬態(tài)溫度場的分布規(guī)律。Wang K L和Cheng H S[3]研究了齒輪嚙合瞬時的閃現(xiàn)溫度，分析了齒輪閃現(xiàn)溫度和本體溫度的分布情況，并研究了齒寬、分度圓以及齒頂尺寸等對齒輪溫度場分布的影響。呂品[4]等研究了溫度分布對自由盤層流換熱的影響。楊志民[5]等采用雙向測量方法對航空發(fā)動機燃燒室出口溫度場進行了分析和研究。

本文以直齒圓柱齒輪為研究對象，運用有限元方法和傳熱學(xué)理論建立直齒圓柱齒輪模型，研究分析不同周期溫度場隨時間的變化以及嚙合點溫度的變化。對于指導(dǎo)齒輪可靠性設(shè)計和熱應(yīng)力與熱變形等計算提供了重要依據(jù)。

1 齒輪瞬態(tài)溫度場的微分方程和定解條件

有限元方法與熱網(wǎng)絡(luò)法相比，在溫度場求解過程中具有較高的計算精度，在進行齒輪瞬態(tài)溫度場的有限元仿真時，采用精度更高、速度更快的熱分析實體單元Solid70，加載時將齒輪摩擦產(chǎn)生的熱量當做移動熱源，用此熱源沿嚙合面的移動來模擬齒輪嚙合的過程。

傳熱學(xué)以能量守恒定律和傅里葉定律為基礎(chǔ)，主要研究由溫度差引起的熱量傳遞過程和由物質(zhì)組成質(zhì)量分數(shù)差引起的物質(zhì)遷移現(xiàn)象，對嚙合齒輪進行熱分析應(yīng)建立數(shù)學(xué)模型和定解條件。本研究根據(jù)傅里葉定律和能量守恒定律來建立物體中各點溫度應(yīng)該滿足的關(guān)系變化式就是導(dǎo)熱微分方程[6]，即

式中：λ為齒輪材料各方向的導(dǎo)熱系數(shù)；Φ˙為物體中的內(nèi)熱源；ρ為微元體的密度；c為微元體的比熱。

對齒輪來說，把嚙合面摩擦的熱流量作為邊界條件施加于外表面，所以齒輪瞬態(tài)溫度場的導(dǎo)熱微分方程中不包含熱源項。另外，齒輪材料各方向的導(dǎo)熱系數(shù)相同，其導(dǎo)熱微分方程為

對于瞬態(tài)導(dǎo)熱，定解條件包括2方面：給出初始時刻的溫度場分布，即初始條件；給出導(dǎo)熱物體邊界的溫度或換熱情況條件，即邊界條件。初始時刻的溫度分布，可以是均勻的，也可以是非均勻的。

初始條件可以表示為

2 齒輪各界面邊界條件分析

正確計算齒輪各界面的邊界條件是齒輪瞬態(tài)溫度場分析結(jié)果的前提，求解直齒圓柱齒輪瞬態(tài)溫度場，除了要滿足式（2）外，還要確定各表面的邊界條件，如圖1所示[7]。

（1）齒面嚙合區(qū)（m區(qū)）

圖1 齒輪單齒計算區(qū)域

齒面嚙合區(qū)既有摩擦熱流量的輸入，又有對流換熱邊界條件，同時符合第2、3類邊界條件，所以其邊界條件為

（2）齒頂面、齒根面及嚙合面非工作區(qū)（t區(qū)）

齒輪齒頂面、齒根面及嚙合面非工作區(qū)只有對流換熱邊界條件，屬于第3類邊界條件

（3）齒輪端面（s區(qū)）

齒輪端面和齒頂面一樣邊界條件為對流換熱

（4）齒輪底面（d區(qū)）

齒輪底面因為離嚙合面較遠，溫度梯度變化小，可以假設(shè)為絕熱表面，其邊界條件為

（5）齒輪分齒截面（f區(qū)）

齒輪分齒截面符合導(dǎo)熱邊界條件，其邊界條件為

嚙合接觸區(qū)的摩擦生熱主要與接觸區(qū)的壓力、摩擦系數(shù)和相對滑動速度有關(guān)。本文采用計算接觸區(qū)單位面積的瞬時摩擦熱流量，即熱流密度q

由于所分析的航空傳動齒輪圓周速度較高，所以采用嚙出側(cè)噴油潤滑方式冷卻，將潤滑油直接噴到嚙合面的節(jié)點位置，以較多量的潤滑油帶走較大的熱量，嚙合面對流換熱系數(shù)hm的計算公式為

式中：ω為齒輪的旋轉(zhuǎn)角度速度；ko為潤滑油的熱傳導(dǎo)率；ρo為潤滑油的密度；co為潤滑油的比熱容；δo＝ko/ρoco為潤滑油的導(dǎo)溫系數(shù)；vo1為潤滑油的運動黏度；rc為齒輪分度圓半徑；H為輪齒的高度；qtot為標準化冷卻量。

3 直齒圓柱齒輪的瞬態(tài)溫度場的有限元分析

齒輪傳動系統(tǒng)連續(xù)穩(wěn)定工作一段時間達到熱平衡狀態(tài)，本體溫度場不再隨時間變化，但是齒輪傳動系統(tǒng)從開始啟動到溫度場達到平衡這段時間，其溫度場是隨時間變化的瞬態(tài)溫度場。

在進行齒輪瞬態(tài)溫度場計算之前，根據(jù)Blok H理論做如下假設(shè)[8]：

油價越來越貴怎么辦？湖北黃梅縣一輛轎車停在應(yīng)急車道上。司機稱，自己車子沒油了，上網(wǎng)查了后發(fā)現(xiàn)可以加水當油，便加了1升水，結(jié)果發(fā)現(xiàn)車不能開，又叫拖車拖到加油站加了9升油，結(jié)果車子在高速上拋錨了！

（1）在輪齒的嚙合過程中，摩擦熱量只傳給相互嚙合的輪齒，熱量沒有向周圍的流體擴散。

（2）嚙合區(qū)發(fā)熱量的分布和壓力分布一樣，呈拋物線規(guī)律。

（3）和齒輪溫度場發(fā)生變化的時間相比，齒輪旋轉(zhuǎn)1周所需時間較短。對每個齒來說，在齒輪嚙合過程所經(jīng)歷的過程完全相同，所有只選取1個輪齒分析。

（4）齒輪在轉(zhuǎn)動1周的過程中，每個輪齒輸入的熱量相同。

3.1 直齒圓柱齒輪有限元模型的建立

以直齒圓柱齒輪主動輪為例，如圖2所示。齒輪的材料熱物理屬性見表1，齒輪的主要幾何參數(shù)見表2，齒輪的扭矩為175 N·m，轉(zhuǎn)速為9280 r/min。

ANSYS熱分析涉及的單元大約有40余種，3維實體單元有SOLID87、SOLID70和 SOLID90。所采用的單元是熱分析實體單元Solid70，如圖3所示。此單元是8節(jié)點六面體單元，可以退化為棱柱單元、四面體單元和金字塔單元。和SOLID87單元相比有更高的精度，和SOLID90單元相比有更快的速度。

圖2 齒輪實體模型

表1 齒輪材料的屬性

表2 齒輪的基本參數(shù)

圖3 SOLID70單元結(jié)構(gòu)

設(shè)置彈性模量、比熱、導(dǎo)熱系數(shù)和密度等材料屬性，然后運用掃略的方式進行網(wǎng)格劃分，生成規(guī)則的六面體網(wǎng)格。根據(jù)已做的假設(shè)，采用單齒模型進行分析，實體模型和有限元模型分別如圖4、5所示。

圖4 單齒實體模型

圖5 單齒有限元模型

3.2 邊界條件的加載

熱源通過嚙合面某節(jié)點組的時間，即熱源作用于這一節(jié)點組的時間。在嚙合面尺高方向上設(shè)定n組節(jié)點（圖5），熱源從下到上分別依次通過到這些節(jié)點組，并且依次加載，熱源的每次加載都進行1次求解，用第k次求解的齒輪溫度場Tk作為第k+1次求解時的初始條件，進行第k+1次求解，然后通過遞推依次向后求解。

熱源在嚙合面上的速度如圖6所示，圖中橫坐標表示熱源在嚙合面上的位置，即嚙合點所對應(yīng)的半徑，縱坐標表示移動的速度。

圖6 熱源移動速度

由邊界條件的計算公式可知，嚙合面的對流換熱系數(shù)和潤滑油的溫度有關(guān)，齒輪端面、齒頂面、齒根面和非嚙合齒面的對流換熱系數(shù)與潤滑油和空氣混合物的溫度有關(guān)，在齒輪開始工作到溫度場達到平衡的過程中，二者的溫度隨時間發(fā)生變化[9]。潤滑油和油氣混合物的溫度隨時間的變化規(guī)律應(yīng)該由試驗測定，在沒有試驗數(shù)據(jù)的情況下，為了得到簡化，以接近平衡狀態(tài)時的溫度場為初始條件，此時的潤滑油溫度、油氣混合物的溫度和穩(wěn)態(tài)溫度場時的溫度很接近，可以認為他們相等。在施加完熱流密度、對流換熱系數(shù)等邊界條件后，進行循環(huán)求解。

3.3 直齒圓柱齒輪瞬態(tài)熱分析結(jié)果

進入通用后處理器（POST1），查看不同嚙合周期的溫度場，并顯示溫度場。然后進入時間歷程后處理器（POST26），定義齒面1節(jié)點的溫度為變量，顯示節(jié)點溫度的變化曲線。不同嚙合周期溫度場和節(jié)點溫度變化曲線如圖7所示。

從圖7可見，不同周期齒輪溫度場和節(jié)點溫度變化具有如下特點：

（1）不同周期齒輪溫度場的分布基本不變，只是溫度隨著嚙合周期的增多而升高。

（2）可將1個旋轉(zhuǎn)周期分為嚙合階段和非嚙合階段。在嚙合階段節(jié)點溫度有一個急劇升高，在退出嚙合后進入非嚙合階段，溫度逐漸降低。

（3）齒面溫度升高后與流體的溫差加大，散失的熱量相應(yīng)增多，在非嚙合階段，溫度的下降相應(yīng)增大，但由于嚙合階段溫升仍然大于非嚙合階段溫度的下降，所以該節(jié)點溫度總體趨勢還是升高。

以齒輪本體溫度場為初始條件得到的該節(jié)點溫度變化如圖8所示，可以認為溫度變化曲線是齒輪達到平衡狀態(tài)后的溫度變化曲線。

圖8 平衡狀態(tài)時溫度變化曲線

4 結(jié)論

（1）移動熱源法進行齒輪的瞬態(tài)溫度場分析是準確可行的。

（2）隨著嚙合周期的增加，嚙合階段溫升仍然大于非嚙合階段溫度的下降，齒面節(jié)點的溫度相應(yīng)增高，但溫度曲線的變化越來越平緩。

（3）當?shù)竭_一定的周期后，嚙合階段的溫升和非嚙合階段溫度下降相等，此時齒輪的溫度場達到平衡狀態(tài)。

（4）瞬態(tài)溫度場仿真對齒輪的壽命和生存能力預(yù)測具有重要意義，有必要在齒輪乏油和無油潤滑狀態(tài)下進一步深入研究。

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