王 磊
為了敘述的方便,首先給出幾個定義和引理.
定義1[1]設(shè)V(x)在Rn中原點的某鄰域U內(nèi)有定義,V(x)在U中連續(xù)可微,且滿足V(0)=0,若對所有0≠x∈U,均有V(x)>0(V(x)<0),則稱V(x)為正定函數(shù)(負定函數(shù));若對所有x∈U,均有V(x)≥0(V(x)≤0),則稱V(x)為半正定(半負定)函數(shù).
定義2[1]設(shè)n維自治系統(tǒng)
(1)
的解為x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T,則稱
為V(x)沿系統(tǒng)(1)軌線的全導數(shù).
運用李雅普諾直接方法研究平凡解的穩(wěn)定性的核心問題是李雅普諾夫(下簡稱為李氏)函數(shù)的構(gòu)造,對于n階常系數(shù)線性系統(tǒng)的李氏函數(shù)公式可采用數(shù)學歸納法導出,當n=3時,文[1]和[2]采用“類比法”構(gòu)造了多種李氏函數(shù),并研究了三階非線性系統(tǒng)平凡解的穩(wěn)定性問題;文[3]和[4]運用“類比法”給出了幾個四階非線性系統(tǒng)的平凡解穩(wěn)定的充分條件. 本文利用這一方法構(gòu)造一類4階非線性系統(tǒng)的李氏函數(shù),得到該系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.
考慮四階非線性系統(tǒng)
(2)
其中,a>0,b>0為常數(shù),f(x)具有連續(xù)的一階導函數(shù)且f(0)=0.作變換
則系統(tǒng)(2)可化為下列等價系統(tǒng)
(3)
系統(tǒng)(3)對應(yīng)的常系數(shù)線性系統(tǒng)為
(4)
由四階巴爾巴欣公式[4],取系統(tǒng)(4)的一個李氏函數(shù)為
V=abdx2+(ab2-ad)y2+2a2dxy+2abyu+
2adxz+2a2byz+2a2zu+a3z2+au2
V(x,y,z,u)=a(bf(y)+1)x2+ab2y2-
2axzf(y)+2a2byz+2a2zu+a3z2+au2(5)則V(x,y,z,u)沿著系統(tǒng)(3)的全導數(shù)為
2ab2yz-2af(y)yz+2a2xf(y)z+
2abzu+2aby(-au-bz-f(y)x)+
2ayzf(y)+2axuf(y)+2axzf′(y)z+
2a2bz2+2a2byu+2a2u2+2a2z(-au-bz-f(y)x)+2a3zu+2au(-au-bz-f(y)x)
化簡得
因此,可得下面的結(jié)論
定理對于系統(tǒng)(3)滿足下列條件:
1)a>0,b>0,f(0)=0,f(y)<0(y≠0);
2)zf′(y)<0(z≠0),xf′(y)<0(x≠0).
則當xy≤0時,系統(tǒng)(3)的零解局部漸進穩(wěn)定.
證明將系統(tǒng)(3)的李氏函數(shù)(5)式寫為
V(x,y,z,u)=a(u+az+by)2+ax2+
又由定理條件,顯然有
李雅普諾夫函數(shù)的合理構(gòu)造是解決平凡解穩(wěn)定性的關(guān)鍵和難點,雖然隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加,李氏函數(shù)的結(jié)構(gòu)越來越復雜,類比也越來越困難,主要條件有時難以滿足,但是 “類比法”是切實可行的方法.關(guān)于三階和四階的情況已有很多好的結(jié)果,但運用 “類比法”研究五階及以上階數(shù)的平凡解穩(wěn)定性的結(jié)果還相對較少,這是下一步可以考慮的工作.
[參 考 文 獻]
[1] 馬知恩,周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京:科學出版社,2001.
[2] 吳 檀,鄒長安,車克健.一類三階非線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性[J].應(yīng)用數(shù)學學報,1997,20(3).
[3] 黃明謙.一類4階非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造[J].湖南師范大學自然科學學報,1989(1):295-300.
[4] 梁在中.關(guān)于一類四階非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造的研究[J].應(yīng)用數(shù)學和力學,1995,16(2).
[5] 廖曉昕.穩(wěn)定性的數(shù)學理論及應(yīng)用 [M].武漢:華中師范大學出版社,1988.