陳德健，藍(lán)師義

(廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西 南寧 530006)

圓填充是指具有特定相切模式的一種圓格局，其理論在復(fù)分析與離散幾何的交叉學(xué)科中是當(dāng)今一個(gè)快速發(fā)展的研究領(lǐng)域。近幾年來在這個(gè)領(lǐng)域研究所取得的成就起源于Fields獎(jiǎng)得主Thurston[1]在1985年提出這樣的猜測(cè)：六邊形圓填充可用來近似Riemann映射。1987年Rodin等[2]證明了該方案的收斂性。 隨后出現(xiàn)大量關(guān)于圓填充理論及其應(yīng)用的研究(見文[3-6]等)。共形粘合最近重新引起人們的研究興趣，是因?yàn)樗趫D像識(shí)別和弦理論研究中有著重要的應(yīng)用。例如，Mumford等[7]用共形粘合作為關(guān)鍵步驟來研究圖像識(shí)別方法；Radnell[8]證明了有界Riemann曲面的擬對(duì)稱粘合可以給弦理論提供一個(gè)模型；Williams[9]用離散粘合技術(shù)構(gòu)造了三角剖分曲面的共形映射。

對(duì)共形粘合的離散逼近的研究，Williams[10]已經(jīng)建立了共形粘合的六邊形圓填充離散逼近。在本文，我們將Williams的結(jié)果推廣到非六邊形圓填充即有界度圓填充的情形。首先，我們討論平面內(nèi)兩個(gè)不相交圓盤的共形粘合。從復(fù)平面內(nèi)無限有界度圓填充的載體我們可以構(gòu)造這兩個(gè)圓盤的近似區(qū)域，將組合粘合技術(shù)應(yīng)用于這兩個(gè)近似區(qū)域，我們得到球面上的一個(gè)三角剖分。根據(jù)圓填充定理，就得到Riemann球面上一個(gè)相關(guān)的圓填充。由此我們可建立兩個(gè)離散近似映射。然后，證明了它們分別收斂于由一個(gè)擬對(duì)稱誘導(dǎo)的兩個(gè)共形粘合映，并且散粘合曲線也收斂于該擬對(duì)稱誘導(dǎo)的擬圓周；其次，我們研究上半平面與下半平面的共形粘合。應(yīng)用兩個(gè)有限正方形區(qū)域序列分別近似上半平面與下半平面，對(duì)于每一對(duì)正方形區(qū)域，類似于前面的做法，我們可以得到它們的有界度圓填充離散近似區(qū)域，對(duì)這兩個(gè)近似區(qū)域應(yīng)用組合粘合方法就得到一個(gè)拓?fù)鋱A盤的三角剖分，這就給出復(fù)平面上一個(gè)相關(guān)的圓填充。基于此，我們就可以建立兩個(gè)離散近似映射，然后推出它們的收斂性。

本文工作與文[10]的主要不同是：第一，構(gòu)造離散共形粘合所使用的圓填充不同，文[10]應(yīng)用六邊形圓填充即每個(gè)圓的周圍都有六個(gè)相鄰圓，而我們應(yīng)用有界度圓填充，也就是每個(gè)圓的周圍不一定都有六個(gè)相鄰圓，但只要其相鄰圓的個(gè)數(shù)有界就可以； 第二，所粘合的區(qū)域不一樣，我們將文[10]所討論的單位圓盤與單位圓盤外部的離散粘合推廣到復(fù)平面內(nèi)任意兩個(gè)相交圓盤的情形。本文組織如下：在第1節(jié)給出圓填充與共形粘合的基本概念及一些相關(guān)結(jié)果；在第2節(jié)討論平面兩個(gè)不相交圓盤的離散共形粘合；上半平面與下半平面的離散共形粘合在第3節(jié)討論。

1 圓填充與共形粘合

在這一節(jié)我們將簡(jiǎn)要給出圓填充與共形粘合的基本概念及其相關(guān)結(jié)果，更詳細(xì)的背景知識(shí)，可參見文[6,11]等。

定義1 給定一個(gè)三角剖分K，我們稱復(fù)平面內(nèi)一個(gè)圓集合P為關(guān)于K的圓填充， 若下面條件成立：

(i) 對(duì)于K中每個(gè)頂點(diǎn)u，在P中都有一個(gè)圓Cu與之對(duì)應(yīng)；

(ii)若[u,v]是K的一條邊，則圓Cu與Cv外切；

(iii) 若u,v,w是K內(nèi)的一個(gè)正向面，則Cu,Cv,Cw組成P中一個(gè)正向的兩兩相切的三個(gè)圓。

一個(gè)圓填充稱為單葉的， 如果它所有的圓都不重疊， 也就是沒有兩個(gè)圓相交多于一點(diǎn)。 一個(gè)圓填充稱為有界度圓填充，若其每個(gè)圓的相鄰圓的個(gè)數(shù)都小于或等于某個(gè)常數(shù)。用測(cè)地線連接圓填充P中所有相切圓的中心所形成的幾何復(fù)形稱為P的載體，記為carr(P)，也稱為復(fù)形K在歐式平面上的嵌入。

關(guān)于圓填充的存在唯一性，我們給出下面本文將用到的兩個(gè)結(jié)果，它們可以從文[6]得到。

命題2 一定存在復(fù)平面內(nèi)無限的有界度單葉圓填充P，使得其載體填滿整個(gè)復(fù)平面，即carr(P)=。

定義2 給定兩個(gè)Jordan區(qū)域D1和D2以及它們邊界上的一個(gè)同胚映射φ:?D1→?D2， 如果等同點(diǎn)x∈D1與φ(x)∈D2，那么就可以把D1和D2粘合在一起。進(jìn)一步，若存在兩個(gè)共形映射f:D1→Ω與g:D2→Ω*，使得在邊界上有g(shù)=f°φ，其中Ω和Ω*分別為Riemann球面S2內(nèi)某一條Jordan曲線Γ的有界分支與無界分支，則稱φ為一個(gè)共形粘合。

定義3 設(shè)D和D*是復(fù)平面內(nèi)的兩個(gè)圓盤，映射φ:?D*→?D是一個(gè)保向同胚映射。若一個(gè)存在常數(shù)K，使得?D*上任意具有相同長(zhǎng)度(|I|?D*=|J|?D*)的兩個(gè)相鄰的子區(qū)間I與J，有則稱φ為一個(gè)K擬對(duì)稱映射。

定義4 設(shè)Γ1和Γ2是復(fù)平面內(nèi)的兩條Jordan曲線，稱映射φ:Γ1→Γ2為一個(gè)K-雙lipschitz同胚映射，若對(duì)所有x,y∈Γ1，有

容易知道，任意一個(gè)K-雙Lipschitz映射都是一個(gè)K2-擬對(duì)稱映射。關(guān)于兩個(gè)區(qū)域的共形粘合問題，有下面著名結(jié)果，也稱為共形粘合定理，它可由文[11]得到。

命題3 (共形粘合定理) 設(shè)D,D*?是兩個(gè)不相交的圓盤，φ:?D*→?D是一個(gè)擬對(duì)稱映射，則存在兩個(gè)共形映射f:D→Ω和g:D*→Ω*，使得它們?cè)谶吔缟蠞M足g=f°φ，這里Ω與Ω*是S2上某一條Jordan曲線的兩個(gè)分支。

本文的主要目標(biāo)是應(yīng)用有界度圓填充方法構(gòu)造命題3中f與g的離散近似映射，并證明它們的收斂性。

2 圓盤粘合的離散近似

在這一節(jié)我們將討論兩個(gè)拓?fù)鋱A盤的離散共形粘合。也就是，我們應(yīng)用有界度圓填充技術(shù)構(gòu)造兩個(gè)圓盤粘合的離散近似映射，然后證明這些離散粘合映射收斂于共形粘合映射。 這分為下面三個(gè)步驟進(jìn)行。

第一步，首先描述兩個(gè)三角剖分的組合粘合。設(shè)T和T*是兩個(gè)拓?fù)鋱A盤的三角剖分， 且假設(shè)它們被嵌入到復(fù)平面內(nèi)，使得它們的每個(gè)三角形都是歐氏三角形。將T的邊界頂點(diǎn)，按逆時(shí)針記為v1,v2,…,vn，T*的邊界頂點(diǎn)按順時(shí)針記為w1,w2,…,wm。設(shè)φ:?T*→?T是一個(gè)K-雙lipschitz同胚映射。為了確保T*中每個(gè)邊界頂點(diǎn)在φ下的像都是T中某一邊界頂點(diǎn)，因此，我們需要對(duì)T*的每個(gè)邊界頂點(diǎn)ωi(i=1,2,…,m)按下面添加一個(gè)頂點(diǎn)

引理2 假設(shè)三角剖分T和T*的每個(gè)三角形的內(nèi)角都屬于區(qū)間[α,β]，其中0<α≤β<π是兩個(gè)常數(shù)。則它們的擴(kuò)張三角剖分T*和T中每個(gè)面的內(nèi)角θ也屬于某區(qū)間[α*,β*]，這里0<α*≤β*<π僅依賴于α,β,K和比率C=l/l*，而l和l*分別表示T和T*中包含一個(gè)邊界頂點(diǎn)的邊的最大長(zhǎng)度和最小長(zhǎng)度。

圖1 兩個(gè)三角剖分的組合粘合 Fig.1 Combinatorial welding of two triangulations

第二步，用有界度圓填充構(gòu)造兩個(gè)圓盤的離散近似區(qū)域。考慮復(fù)平面內(nèi)如命題3中兩個(gè)不相交的圓盤D與D*。根據(jù)命題2，我們知道，必存在一個(gè)填滿整個(gè)復(fù)平面的有界度無限單葉圓填充Q，不妨假設(shè)Q中每個(gè)圓的半徑不超過1/(2n)，其中n∈。設(shè)QD是包含于D內(nèi)的Q的最大子圓填充，記其載體carr(QD)=Tn。令Dn表示Tn的多面體，則Dn?D為D的一個(gè)離散近似區(qū)域，如圖2所示。完全類似地，我們可以得到包含于D*內(nèi)的一個(gè)三角剖分及其相應(yīng)的離散近似區(qū)域并取定的一個(gè)內(nèi)部頂點(diǎn)為w∞。容易知道，當(dāng)n→∞時(shí)，

圖2 一個(gè)圓盤D的離散近似區(qū)域Dn的構(gòu)造Fig.2 The construction of discrete approximating regions Dnof a disc D

(ii)對(duì)每一個(gè)n∈，fn與gn都是K1-擬共形映射，這里K1-只依賴于圓填充Q的度；

(iii)對(duì)每一個(gè)n∈，曲線Γn是K2-擬圓周，其中而K2僅依賴于常數(shù)K和圓填充Q的度。

定理1 給定復(fù)平面內(nèi)兩個(gè)不相交的圓盤D和D*， 設(shè)φ:?D*→?D是一個(gè)雙Lipschitz擬對(duì)稱映射，則存在離散近似映射序列fn和gn分別在D和D*的緊子集上一致收斂于由φ誘導(dǎo)的共形粘合映射f和g，當(dāng)n→∞時(shí)。而且當(dāng)n→∞時(shí)，離散粘合曲線Γn收斂于由φ誘導(dǎo)的擬圓周Γ。

其次，根據(jù)引理 3 (ii)，我們知道，對(duì)于每一個(gè)n∈，fn和gn都是K1-擬共形映射。 由歐氏平面圓填充的面積長(zhǎng)度引理[2]，用類似于文[12-13]的方法， 我們可以推出當(dāng)n→∞時(shí)，fn:Dn→Ωn與分別在D與D*的緊子集內(nèi)一致收斂于共形映射f:D→Ω和g:D*→Ω*。

最后， 注意到對(duì)于每個(gè)n∈， 成立同時(shí)當(dāng)n→∞時(shí)， (pn)-1與分別收斂于恒等映射。因此，我們推出當(dāng)n→∞時(shí)，φn一致收斂于φ。這樣在引理3(i)中令n→∞，我們就得到g=f°φ.此外，引理3(iii)給出了對(duì)于每個(gè)n∈，Γn是一個(gè)擬圓周，再根據(jù)環(huán)引理[2]，我們可以推出Γn一致收斂于某一個(gè)擬圓周Γ， 當(dāng)n→∞時(shí)。 于是就完成了這個(gè)定理的證明。

如果把上面定理中的雙Lipschitz映射φ改為是一個(gè)擬對(duì)稱映射，則結(jié)論也成立。也就是以下定理。

定理2 給定復(fù)平面內(nèi)兩個(gè)不相交的圓盤D和D*，設(shè)φ:?D*→?D是一個(gè)擬對(duì)稱映射，則存在離散近似映射序列fn和gn分別在D和D*的緊子集上一致收斂于由φ誘導(dǎo)的共形粘合映射f和g，當(dāng)n→∞時(shí)。而且當(dāng)n→∞時(shí)，離散粘合曲線Γn收斂于由φ誘導(dǎo)的擬圓周Γ。

證明 根據(jù)文[11，14]，我們知道，雙Lipschitz映射在所有擬對(duì)稱映射組成的集合中是稠密的，由此，我們推出該定理成立。

3 半平面粘合的離散近似

在這一節(jié)我們將應(yīng)用有界度圓填充技術(shù)構(gòu)造上半平面U與下半平面L粘合的離散近似映射，然后，證明它們的收斂性。

首先，構(gòu)造離散近似映射。設(shè)φ是上的一個(gè)K-雙Lipschitz擬對(duì)稱映射使得0和∞是它的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)每個(gè)n∈，用a與b分別表示滿足下面條件的1/n的兩個(gè)最小倍數(shù):a≤φ(-n),φ(n)≤b。如在第3節(jié)假設(shè)Q為填滿整個(gè)復(fù)平面的無限有界度單葉圓填充且Q中每個(gè)圓的半徑小于或等于1/n。用TUn和TLn分別是包含于區(qū)域[a,b]×[0,b-a]和[-n,n]×[-2n,0]中的 carr(Q)的兩個(gè)最大子復(fù)形。將TUn中位于0和1的頂點(diǎn)分別記為v0和v1，且用Ln和Un分別表示TLn和TUn所形成的多面體區(qū)域。上面的條件保證了TLn∩的頂點(diǎn)在φ下的像位于TUn∩的邊上，應(yīng)用第3節(jié)的粘合方法，通過φ我們分別TUn和TLn擴(kuò)張為Un和Ln。

其次，證明離散近似映射fn和gn的收斂性。因?yàn)棣帐且粋€(gè)保向的實(shí)同胚，所以φ在上遞增的。由此，我們得到，當(dāng)n→∞時(shí)，a→-∞,b→+∞且Ln∪Un→。由假設(shè)φ是雙Lipschitz映射，而Kn是有界度的，因此fn和gn均是K1-擬共形映射，其中K1不依賴于n。同時(shí)，由構(gòu)造我們推出，等式gn=fnφn在[-n,n]成立。進(jìn)一步，我們有

引理4 近似映射fn和gn都能通過成為擴(kuò)張的K-擬共形映射。而且，對(duì)于給定的任意緊子集E，則當(dāng)n充分大時(shí)，映射fn和gn在E上都有定義。

由Un的構(gòu)造我們知道，當(dāng)n→∞時(shí)，Un→U。 因此，對(duì)于給定的緊子集E，當(dāng)n足夠大時(shí)，Un將覆蓋為了保證fn在上有定義，下證對(duì)足夠大的n，Φn(Ln)也將覆蓋由Beurling-Ahlfors擴(kuò)張的構(gòu)造[16]知，當(dāng)n→∞時(shí)，Φn局部一致收斂于Φ，其中Φ是φ的Beurling-Ahlfors擴(kuò)張。因此，對(duì)每個(gè)i=1,2,…,Φ(Li)必包含0的一個(gè)相對(duì)開鄰域假設(shè)Ri是這樣一個(gè)開鄰域的最大半徑。則因?yàn)棣凳钦嬗成淝耶?dāng)n→∞時(shí)Ln→L，所以必有Ri→∞，當(dāng)i→∞時(shí)。然而，由于Li是緊的，因此Φn在Li上一致收斂于Φ。于是，對(duì)每個(gè)i，一定能找到Ni∈，使得對(duì)所有n≥Ni，有特別地，對(duì)所有n≥Ni，有

?Φn(Ln)

由于每個(gè)fn都使得0和1為不動(dòng)點(diǎn)而忽略∞，因此由文[11]我們知道，{fn}是正規(guī)族且存在一個(gè)子序列局部一致收斂于上的一個(gè)K-擬共形同胚映射f。通過重新組合，我們可假設(shè)整個(gè)序列{fn}收斂于f。因?yàn)閒的定義域是整個(gè)復(fù)平面，所以Liouville’s定理給出f的值域也是整個(gè)復(fù)平面。事實(shí)上，通過令f(∞)=∞可以使∞為f的可去奇點(diǎn)，于是f(∪{∞})是在S2上過0,1和∞的一條Jordan曲線。

根據(jù)fn的構(gòu)造和圓填充的環(huán)引理，我們推出當(dāng)n→∞時(shí)，fn在U的任意緊子集上的最大伸縮商趨近于1。由此我們得到f在U上是共形的。同理，我們推出{gn}也收斂于L上的一個(gè)共形映射g。從而我們有

定理3 若給定一個(gè)雙Lipschitz擬對(duì)稱映射φ，則一定存在兩個(gè)離散近似映射序列fn和gn分別在U和L的緊子集上一致收斂于由φ誘導(dǎo)的共形粘合映射f和g。而且，由fn和gn的像的公共邊界形成的離散粘合曲線Γn是一個(gè)擬圓周，它一致收斂于由φ誘導(dǎo)的擬圓周Γ。

證明由于f和g在上是K-擬共形的，因此f(∪{∞})=g(∪{∞})是一個(gè)擬圓周。另外，注意到對(duì)每個(gè)n∈，有g(shù)n=fnφn，并且fn，gn和φn在上分別一致收斂于f，g和φ，所以我們有g(shù)(x)=fφ(x),x∈。

根據(jù)共形粘合定理的唯一性， 我們知道f|U和g|L必是對(duì)應(yīng)于φ的兩個(gè)共形粘合映射。這蘊(yùn)含著原來構(gòu)造的兩個(gè)序列{fn} 與{gn}的收斂性。由引理4我們知道， {fn} 與{gn}都是擬共形映射，于是Γn是一個(gè)擬圓周。此外，由構(gòu)造我們知道，f|L與g|U分別為粘合映射f與g通過Γ的擴(kuò)張。因此由fn和gn在上的一致收斂性推出Γn也一致收斂于Γ，當(dāng)n→∞時(shí)。這樣我們就完成了這個(gè)定理的證明。

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