張 彧，王 文，趙小林，丁桂甫

(1.上海交通大學 制冷與低溫工程研究所，上海200240;2.上海交通大學 微納科學技術研究院微米/納米加工技術重點實驗室，上海200240)

0 引 言

靜電驅(qū)動器具有能量密度高、響應時間短、能量消耗低等特點，在MEMS 領域中受到極大關注。作為一種典型靜電驅(qū)動器件，靜電微泵在生物流體控制、環(huán)境監(jiān)測和電子器件熱管理方面具有重要的研究價值和廣泛的應用前景。

常見的靜電微泵一般為單腔結(jié)構，且振膜電極和腔體電極層多為平行布置［1～4］，這種布置形式導致微泵壓縮沖程和靜電力作用區(qū)間重合，會削弱微泵的壓縮效果。因此，Shannon M A 等人［5］介紹了一種高壓比的靜電驅(qū)動式微泵，將腔體的形式改為漸進型，同時使用柔性的振膜結(jié)構，大大提高了微泵的壓縮性能。針對Shannon M A 提出的微泵結(jié)構，Saif M T A 等人利用最小能量法分析了單腔微泵中各主要參數(shù)對其壓縮性能的影響［6］，Sathe A A 等人則利用有限分割法分析了雙腔靜電微泵的靜態(tài)和動態(tài)特性［7，8］。在 Saif 模型的基礎上，陳榮提出通過撓度試解方法確定振膜形狀，對具有簡單腔體和柔性振膜的雙腔靜電微泵進行了分析［9］。在上述文獻計算振膜變形時，均忽略了振膜變形的周向應變，但實際上周向應變對圓薄膜大變形的影響是不能忽略的［10～13］。

本文在Saif和陳榮的模型的基礎上，利用均勻壓力下圓薄膜大變形的半解析解與最小能量法相結(jié)合，建立針對具有圓拱形腔體和柔性振膜的靜電微泵的理論分析模型，并分析各主要參數(shù)對微泵壓縮性能的影響。

1 靜電微泵的建模

靜電微泵的理論分析模型分為均勻壓力作用下的圓薄膜大變形半解析解和最小能量法兩部分。均勻壓力下的圓薄膜大變形半解析解被用來計算一定壓力作用下振膜的形狀，而最小能量則被用來確定在一定電壓驅(qū)動下，振膜總能量最小時的平衡狀態(tài)。只要確定了振膜的平衡狀態(tài)，即可以得到微泵的壓升。本文建立了分別針對單腔和雙腔結(jié)構靜電驅(qū)動振膜微泵的理論分析模型，分析微泵設計參數(shù)對其性能的影響，并通過比較確定雙腔結(jié)構中利用上腔體抑制振膜變形對微泵壓升產(chǎn)生的影響。

1.1 基本假設

為了簡化分析和計算，需對模型進行一些基本的假設，主要有:

1)薄膜是各向同性的，各物理參數(shù)是均勻分布的;

2)薄膜在初始狀態(tài)下是松弛的，不存在初始應力;

3)膜片厚度遠小于膜片直徑，其彎曲應力可忽略，而徑向應力在厚度方向是一致的;

4)膜片與腔體壁面接觸是無摩擦的，腔內(nèi)工質(zhì)氣體壓縮遵循等溫壓縮過程。

1.2 振膜形狀

微泵中振膜處于平衡狀態(tài)的形狀是利用均勻壓力作用下的圓薄膜大變形半解析解來計算的。雖然雙腔微泵中的振膜在接觸上下腔體后即與腔體貼合，但未與上下腔體貼合的振膜形狀仍按均勻壓力作用下的圓薄膜大變形進行求解。

均勻壓力作用下圓薄膜大變形的徑向和周向受力平衡如圖1 所示，控制方程分別為

薄膜的應力-應變關系和應變-位移關系分別為 Nθ－νNr=Ehεθ，Nr－ νNθ=Ehεr，。

由于薄膜的四周固定，因此，邊界位置處的位移和撓度始終為0，即

其中，p 為壓力，w 為撓度，r 為半徑，R 為薄膜半徑，Nr，Nθ分別為徑向和周向合力，εr為徑向應變分量，εθ為周向應變分量，u 為徑向位移，h 為薄膜厚度，ν 為泊松比，E 為彈性模量。

引入無量綱參數(shù)(W =w/R，ρ=r/R，q =pR/Eh，N =Nr/pR)，控制方程轉(zhuǎn)化為

圖1 均勻壓力下圓薄膜的平衡狀態(tài)Fig 1 Equilibrium state of round diaphragm under uniform pressure

邊界條件則變?yōu)?/p>

在上述方程中含有無量綱徑向應力N 和無量綱撓度W 2 個未知數(shù)。為了方便計算，假定這2 個參數(shù)是與無量綱半徑相關的冪級數(shù)

將式(6)代入方程(4)可以求得冪級數(shù)的系數(shù)，帶入公(5)則可以得到所有系數(shù)之間的關系

無量綱載荷q 和薄膜泊松比ν 確定后，即可以得到無量綱應力的常數(shù)項n0，進而求得無量綱應力和無量綱撓度的其他系數(shù)。薄膜中存在初始應力σ0時，N0=hσ0/pR，薄膜的控制方程保持不變，而邊界條件發(fā)生變化

圖2 所示為均勻壓力作用下的圓薄膜變形半解析解計算結(jié)果與實驗測試結(jié)果的比較。與Stanford B 等人［13］的實驗數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)，當壓力為600 Pa 時，對于初始應變?yōu)?.044的圓薄膜，使用半解析解得到的薄膜形狀與實驗測量值的誤差僅在1%左右。因此，均勻壓力下圓薄膜變形半解析解具有足夠高的精確度。

1.3 最小能量法

圖2 均勻壓力作用下的圓薄膜變形半解析解計算結(jié)果與實驗測試結(jié)果的比較Fig 2 Comparison of round diaphragm deflections between nalytical solution and experimental results under uniform pressure

振膜受靜電力驅(qū)動時，功作用在膜片和氣體上。因而，膜片應變能US和氣體做功Up均會增加，而當膜片與腔體逐步貼合，膜片與腔體之間的電容能Uc也會增大。當振膜達到平衡時，由能量守恒可知，膜片應變能變化dUS，氣體做功dUp和電容能變化－dUc，總和應等于0，即dU=dUS+dUp－dUc=0。圖3 和圖4 分別給出了單腔和雙腔微泵處于平衡狀態(tài)時振膜形狀的示意圖。

圖3 單腔靜電柔性振膜微泵示意圖Fig 3 Schematic diagram of an electrostatically actuated single-cavity flexible diaphragm micropump

圖4 雙腔靜電振膜微泵示意圖Fig 4 Schematic diagram of an electrostatically actuated double-cavity diaphragm micropump

根據(jù)假設式(3)，振膜為絕對柔性膜，因此，其應變能US只考慮拉伸應變能

其中，σr為振膜徑向拉伸應力，E*=E/(1 － ν2)。根據(jù)圖3 和圖4 中振膜平衡狀態(tài)，單腔微泵中振膜的應變由公式(10)計算，而雙腔微泵中振膜的應變則由公式(11)計算

由于振膜未與腔體貼合區(qū)域的電容能遠遠小于貼合區(qū)域的電容能，因此，計算振膜與腔體之間的電容能只考慮二者貼合區(qū)域。在這一區(qū)域，可以將振膜和腔體假定為相互平行，因此，電容能只與驅(qū)動電壓和二者之間的貼合面積相關

其中，C = ε0kA/d，代表振膜和腔體貼合區(qū)域的電容，k 為腔體表面介電層的介電常數(shù)，A 為振膜和腔體貼合區(qū)域的面積，Va為驅(qū)動電壓。根據(jù)腔體的形狀，單腔微泵中的貼合面積A 可以表示為

而在雙腔微泵中，上腔體與振膜的電位是相同的，一般為接地，所以，二者之間不存在靜電吸引力。因此，雙腔微泵中的貼合面積A 也可以由公式(13)來計算。

振膜對腔體內(nèi)外氣體做的功與振膜和腔體所封閉容積的初始值以及達到平衡狀態(tài)時的數(shù)值相關。腔體內(nèi)外的初始壓力均為p0，而腔體的初始容積為V0。施加驅(qū)動電壓后，振膜向腔體貼合，腔體容積減小為V，并由此對腔體內(nèi)的氣體產(chǎn)生壓縮效果，使腔體內(nèi)氣體的壓力出現(xiàn)Δp 的升高，而腔體外的壓力始終維持為p0。根據(jù)等溫壓縮假設，(p0+Δp)V = p0V0，因此，振膜對腔體內(nèi)氣體所做的功為

而腔體外氣體的做功為

因此，振膜對氣體所做的總功為

計算封閉容積初始值時，假定振膜初始時刻處于水平狀態(tài)，因此，單腔微泵和雙腔微泵的腔體初始容積相同

振膜達到平衡狀態(tài)時，根據(jù)振膜的形狀，單腔微泵中腔體的壓縮終止容積由公式(18)計算，而雙腔微泵壓縮終了的容積則由公式(19)表示。

式中 zup為下腔體型線，而zlow為上腔體型線。

通過對上述推導進行分析可以看出:在單腔微泵中，Us，Uc和 Up都是壓力 p 和貼合半徑 R1的函數(shù)，而壓力 p 由R1對應的振膜形狀迭代得到，因此，振膜各部分能量均為R1的函數(shù)。而在雙腔微泵中，Us，Uc和 Up都是壓力 p、下腔體貼合半徑R1和上腔體貼合半徑R2的函數(shù)，其中，R2由R1和振膜形狀來確定，壓力p 也可由R1，R2對應的振膜形狀迭代得到，因此，振膜各部分能量也均是R1的函數(shù)。

2 結(jié)果與討論

腔體型線方程為z0=cr2，腔體半徑R =5 mm，c =4 時，腔體最大深度為100 μm，表面介電層厚度d =0.4 μm，相對介電常數(shù) k=3，真空介電常數(shù) ε0=8.85 ×10－12F/m。振膜采用聚酰亞胺，彈性模量約為2.47 ×109Pa，厚度h=13 μm。初始壓力為5 bar，驅(qū)動電壓Va的變化范圍為100 ～250 V。

圖5 給出了利用本文模型和Saif 模型［7］計算出的單腔靜電微泵壓升，以及利用本文模型和陳榮模型［10］計算出的雙腔靜電微泵壓升。通過比較發(fā)現(xiàn)，無論是單腔微泵還是雙腔微泵，利用本文模型計算得到的微泵壓升，均比利用其他2 種模型計算得到的微泵壓升有明顯降低。這一偏差是由于本文模型考慮了振膜變形過程中的周向應變所導致的。因此，振膜變形過程中周向應變對振膜的變形起到極大的抑制作用，導致微泵壓縮效果出現(xiàn)降低。

圖5 不同模型計算得到的單腔和雙腔微泵的壓升Fig 5 Pressure rise of different models for both single-cavity and double-cavity micropumps

在上述腔體和振膜結(jié)構的條件下，改變介電層厚度(0.2，0.4 μm 和1 μm)，得到不同電壓下的微泵壓升，如圖6所示。在相同的驅(qū)動電壓下，單腔和雙腔微泵的壓升均隨介電層厚度的減小出現(xiàn)顯著升高，這與文獻［6 ～10］的結(jié)果是一致的。同時，由于上腔體對振膜變形的限制作用，雙腔微泵的壓升會略高于單腔微泵。但隨著介電層厚度的增大，上腔體對振膜變形的抑制作用會降低，因此，壓升提高的幅度也會降低。

另外，不同的腔體尺寸也會對微泵的壓升產(chǎn)生影響。在給定腔體半徑(R =5 mm)的條件下，改變腔體深度(50，75，100 μm，即 c 為 2，3，4)，計算得到的微泵壓升如圖 7 所示。而在給定腔體深度(100 μm)的條件下，改變腔體半徑(5，7.5，10 mm)，計算得到的微泵的壓升見圖8?？梢钥闯?無論是單腔微泵還是雙腔微泵，減小腔體深度和半徑都有利于提高微泵壓升，其中，腔體深度變化對微泵壓升的影響更為顯著。同時，腔體深度和半徑變化對雙腔微泵壓升的影響大于其對單腔微泵壓升的影響，說明上腔體對振膜變形的抑制作用會增大腔體尺寸變化對微泵壓升的影響。

圖6 不同介電層厚度下微泵的壓升Fig 6 Pressure rise of micropumps with different dielectric thicknesses

圖7 腔體深度不同時微泵的壓升Fig 7 Pressure rises of micropumps with different cavity depths

圖8 腔體半徑不同時微泵的壓升Fig 8 Pressure rises of micropumps with different cavity radius

3 結(jié) 論

本文將均勻壓力下圓薄膜大變形的半解析解與最小能量法相結(jié)合，建立了針對靜電驅(qū)動柔性振膜微泵的理論分析模型，分析了各設計參數(shù)對具有圓拱形腔體結(jié)構的靜電微泵壓升的影響。結(jié)果表明:振膜變形過程中的周向應變會使微泵的壓升出現(xiàn)明顯降低;在微泵的各個設計參數(shù)中，介電層厚度對微泵壓升的影響最為顯著，驅(qū)動電壓一定時，在滿足絕緣強度的條件下盡可能減小介電層厚度有利于獲得更高的壓升;減小腔體深度和半徑同樣可以提高微泵的壓升，其中腔體深度變化對微泵壓升的影響更為明顯。此外，采用雙腔結(jié)構也有利于靜電驅(qū)動振膜微泵獲得更高壓升。

［1］ Zengerle R，Richter A，Sandmaier H.A micro membrane pump with electrostatic actuation［C］∥Proc of IEEE Micro－Electro－Mechanical Systems Conf on An Investigation of Micro Structures，Sensors，Actuators，Machines and Robot，Travemunde，Germany，1992:19 －24.

［2］ Zengerle R，Ulrich J，Kluge S，et al.A bidirectional silicon micropump［J］.Sensors and Actuators A，1995，50:81 － 86.

［3］ 李麗偉，朱 榮，周兆英.基于能量法的微驅(qū)動器靜電彈性耦合分析［J］.MEMS 器件與技術，2006，5:244 －246.

［4］ Li J，Ying J，Xue L Y.Maeromodeling of the electrostatically actuated circular plate based on mode superposition method［C］∥The 9th IEEE International Conference on Electronic Measurement ＆ Instruments，Beijing，2009:459 －464.

［5］ Shannon M A，Philpott M L，Miller N R，et al.Integrated mesoscopic cooler circuits (IMCCS)［C］∥ASME International Mechanical Engineering Congress and Exhibition，Advanced Energy System Division，1999:75 －82.

［6］ Saif M T A，Alaca B E，Sehitoglu H.Analytical modeling of electrostatic membrane actuator for micro pumps［J］.IEEE Journal of Micro－Electro－Mechanical Systems，1999，8(3):335 － 345.

［7］ Sathe A A，Groll E A，Garimella S V.Analytical model for an electrostatically actuated miniature diaphragm compressor［J］.Journal of Micromechanics and Microengineering，2008，18:035010.

［8］ Sathe A A，Groll E A，Garimella S V.Dynamic analysis of an electrostatic compressor［J］.International Journal of Refrigeration，2010，33:889 －896.

［9］ 陳 榮，王 文.靜電驅(qū)動柔性振膜型微泵的動力學分析［J］.工程熱物理學報，2010，31 (2):197 －200.

［10］ Fichter W B.Some solutions for the large deflections of uniformly loaded circular membranes［R］.Washington:NASA，1997:3658.

［11］ Stevens H.Behavior of circular membranes stretched above the elastic limit by air pressure［C］∥Proceedings of the Society for Experimental Stress Analysis，Boston，1944:18 －20.

［12］ Palisoc A，Veal G，Cassapakis C，et al.Geometry attained by pressurized membranes［C］∥Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering，1998:747 －757.

［13］ Stanford B，Ifju P.The validity range of low fidelity structural membrane models［J］.Experimental Mechanics，2008，48:697 －711.