孫長(zhǎng)軍，崔衛(wèi)平，陳 雷，秦麗娟

（1.唐山曹妃甸發(fā)展投資集團(tuán)有限公司，唐山 063210；2.武漢理工大學(xué)硅酸鹽建筑材料國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430070）

瀝青混凝土是一個(gè)具有復(fù)雜幾何特征的由多種級(jí)配集料組成的復(fù)合材料體系，其內(nèi)部微觀粘結(jié)裂縫的分布不僅總體具有分形特征，而且具有自相似性，可用分形幾何學(xué)來(lái)加以描述和分析。瀝青混凝土疲勞開(kāi)裂過(guò)程是其內(nèi)部微觀裂縫不斷生長(zhǎng)并擴(kuò)展的過(guò)程。該文通過(guò)建立分形維數(shù)與疲勞開(kāi)裂過(guò)程的關(guān)系，用分形理論來(lái)探究疲勞開(kāi)裂過(guò)程中瀝青混凝土裂縫的生長(zhǎng)與擴(kuò)展過(guò)程，為瀝青混凝土的開(kāi)裂過(guò)程研究提供一種新的方法和思路。

1 分形理論概述

分形（fractal）是由美國(guó)哈佛大學(xué)的教授Mandelbrot于1975年首次提出來(lái)的。分形幾何是一門(mén)以非規(guī)則幾何形狀為研究對(duì)象的幾何學(xué)?；炷磷鳛榈湫偷亩嗫捉橘|(zhì)，其內(nèi)部圖形是如此的不規(guī)則，以致它的整體與局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述，因此可用分形集合來(lái)討論和分析。

分形幾何圖形最基本的特征就是自相似性和它的標(biāo)度不變形。表征這兩種分形性質(zhì)的定量參數(shù)為分形維數(shù)（Fractal Dimension），它是用來(lái)描述一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的復(fù)雜、不規(guī)則程度的參數(shù)。分形集的維數(shù)有多種多樣的定義，常見(jiàn)的有豪斯道夫（Hausdorff）維數(shù)、相似維數(shù)DS（similarity Dimension）、分配維數(shù)Dd（Divider Dimension）、盒維數(shù)（又稱Bouligand維）等。

因盒維數(shù)是由相同形狀集覆蓋確定的，計(jì)算比較容易，其應(yīng)用較為廣泛。以分形曲線為例介紹盒維數(shù)的概念。把曲線放在一個(gè)邊長(zhǎng)為ε1的網(wǎng)格內(nèi)，如圖1（a）。數(shù)出和曲線相交的網(wǎng)格（即盒子）數(shù)Ni（ε1）＝13。如把碼尺縮小一倍，ε2＝ε1/2，即把網(wǎng)格變小（一個(gè)盒子成為4個(gè)盒子），如圖1（b）。

這時(shí)和曲線相交的盒子數(shù)N2＝29。繼續(xù)這個(gè)過(guò)程，網(wǎng)格不斷變小，對(duì)一組ε1，ε2，ε3，…，εi，可測(cè)出一組N1，N2，N3，…，Ni。令r＝εi（r和εi均是相對(duì)值），N＝Ni，根據(jù)分形維數(shù)定義

可得

式中，A為比例常數(shù)。

對(duì)上式取對(duì)數(shù)并作圖，則logNi和logεi的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上就會(huì)出現(xiàn)一條直線，用最小二乘法來(lái)擬合logNi～logεi，求出斜率即為對(duì)應(yīng)的分形維數(shù)值D，稱之為盒維數(shù)。在直線上取兩點(diǎn)（Ni，εi）和（Ni＋1，εi＋1），則盒維數(shù)為

2 實(shí)驗(yàn)方法

按照《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗(yàn)規(guī)程》JTG E20—2011要求成型馬歇爾試件。試驗(yàn)在UTM－25動(dòng)態(tài)材料試驗(yàn)系統(tǒng)中進(jìn)行，在25℃下將試件保溫4h。試驗(yàn)加載模式為應(yīng)力控制模式，加載頻率2Hz，加載波形為正弦波，荷載大小采用試件破壞荷載的0.4倍。按照上述參數(shù)控制對(duì)試件進(jìn)行疲勞加載，同時(shí)在加載過(guò)程中記錄試件縱向變形量S。

在疲勞加載過(guò)程中，用數(shù)碼相機(jī)提取不同加載階段下試件的表形貌圖，如圖2（a）～2（d）所示。圖2（a）和圖2（d）分別對(duì)應(yīng)于疲勞加載破壞的開(kāi)始階段和疲勞開(kāi)裂破壞階段。

在獲得疲勞加載破壞不同階段試件表面裂縫形貌圖后，還需要對(duì)圖片進(jìn)行軟件處理。剪除圖像中無(wú)用部分，挑選成像質(zhì)量較好并無(wú)干擾的區(qū)域作為計(jì)算區(qū)域，并盡量全部覆蓋裂縫，然后轉(zhuǎn)換為灰度圖像。然后對(duì)圖像進(jìn)行增益降噪處理，增益除噪的目的是使裂縫與其他圖像信息最大程度地分離。處理后得到比較清晰的裂縫圖像，以最終破壞形貌圖2（d）為例，處理前后如圖3所示。

3 結(jié)果與分析

3.1 裂縫的分形特征

以時(shí)間最終破壞時(shí)裂縫形貌為例，對(duì)處理后的圖3（b）進(jìn)行盒維數(shù)覆蓋，計(jì)算分形維數(shù)D。用不同大小網(wǎng)格覆蓋得到的結(jié)果如表1和圖4所示。然后對(duì)log（1/ε）與log（N（ε））的雙對(duì)數(shù)關(guān)系進(jìn)行線性回歸分析，回歸得到的直線斜率即為分形維數(shù)D。

表1 盒覆蓋處理結(jié)果

由圖4可知，相關(guān)系數(shù)為0.994 1，log（N（ε））與log（1/ε）呈現(xiàn)良好的線性相關(guān)性，說(shuō)明開(kāi)裂裂縫有明顯的統(tǒng)計(jì)相似性，裂縫具有明確的統(tǒng)計(jì)意義上的分形特征。從回歸結(jié)果可知該裂縫對(duì)應(yīng)分度維數(shù)（圖4中直線的斜率）為1.388。

3.2 開(kāi)裂過(guò)程的分形特征

試件經(jīng)過(guò)近6 000s出現(xiàn)徹底破壞，計(jì)算不同階段提取圖像的分形維數(shù)，得到在加載不同階段的縱向變形位移S與分形維數(shù)D的關(guān)系，如圖5所示。

由圖5可知，試件疲勞開(kāi)裂裂縫的分形維數(shù)隨著裂縫的生長(zhǎng)與擴(kuò)展而增大，且在破壞不同階段增大的趨勢(shì)也不同。隨著加載的進(jìn)行，試件疲勞開(kāi)裂主要分為三個(gè)階段，短期內(nèi)迅速變形，此時(shí)分形維數(shù)主要表征試件表面原有細(xì)觀裂縫；平穩(wěn)破壞階段，變形位移平穩(wěn)增加，裂縫逐漸生長(zhǎng)擴(kuò)展，表現(xiàn)出分形維數(shù)逐漸增加；當(dāng)試件疲勞破壞明顯開(kāi)裂時(shí)，縱向形變量S短時(shí)間迅速上升，分形維數(shù)繼續(xù)增大到破壞時(shí)的1.388且上升趨勢(shì)也相應(yīng)增加。

4 結(jié) 語(yǔ)

瀝青混凝土開(kāi)裂裂縫有明顯的統(tǒng)計(jì)相似性，裂縫具有明確的統(tǒng)計(jì)意義上的分形特征；在疲勞加載開(kāi)裂過(guò)程中，瀝青混凝土具有分形演變特征；隨著瀝青混凝土裂縫的生長(zhǎng)與擴(kuò)展，分形維數(shù)和縱向形變位移變化相一致，共為3個(gè)階段，分別是短時(shí)間內(nèi)迅速增加、較長(zhǎng)時(shí)間平穩(wěn)增加、短時(shí)間迅速增大。

［1］ 謝和平，薛秀謙.分形應(yīng)用中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1997.

［2］ 中華人民共和國(guó).公路工程瀝青及瀝青混合料試驗(yàn)規(guī)程（JTJ E20—2011）［S］.北京：人民交通出版社，2011.

［3］ 黃曉明，吳少鵬，趙永利.瀝青與瀝青混合料［M］.南京：東南出版社，2002.

［4］ Changjun Sun，Shaopeng Wu，Ning Tang etc.Fractal Features of Cracking of Self－monitoring Asphalt Concrete.2011International Conference on Mechatronic Science，Electric Engineering and Computer，2011：475－477.

［5］ 吳國(guó)雄，李 亮，胡敢峰.纖維瀝青混凝土低溫開(kāi)裂的分形研究［J］.重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，28（3）：539.