李鳳清

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川遂寧 629000）

運(yùn)用幾何變換，探究幾何性質(zhì)

李鳳清

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川遂寧 629000）

本文通過(guò)兩個(gè)實(shí)例，闡述如何運(yùn)用幾何變換，來(lái)得到幾何性質(zhì)的探究方法，并由此得到一些有趣的幾何性質(zhì).

位似變換；旋轉(zhuǎn)變換；幾何性質(zhì)；探究

問(wèn)題1

P為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，三角形PAB，PBC，PCA的重心分別為D，E，F(xiàn)，三角形DEF是否為正三角形？

我們先是用計(jì)算的方法作探究.不妨設(shè)正三角形ABC的外接圓半徑為1，在直角坐標(biāo)系下

DEF為正三角形.

我們運(yùn)用位似變換，即可以得到正多邊形的幾個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)1對(duì)正n邊形A1A2…An與一個(gè)定點(diǎn)M，三角形MA1A2,MA2A3，…,MAnA1的重心分別為C1,C2，…,Cn，則多邊形C1C2…Cn是正n邊形.

性質(zhì)2對(duì)正n邊形A1A2…An及其外接圓上一個(gè)定點(diǎn)M，三角形MA1A2，MA2A3，…，MAnA1的垂心分別為D1，D2，…,Dn則多邊形D1D2…Dn是正n邊形.

性質(zhì)3對(duì)正n邊形A1A2…An及其外接圓上一個(gè)定點(diǎn)M，三角形MA1A2，MA2A3，…，MAnA1的九點(diǎn)圓心分別為E1，E2，…，En，則多邊形E1E2…En是正n邊形.

我們還可以得到正四面體的兩個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)4對(duì)中心為O的正四面體ABCD與空間一定點(diǎn)M，設(shè)四面體MBCD,MACD,MABD,MABC的重心分別是O1，O2，O3，O4，則四面體O1O2O3O4是正四面體.

性質(zhì)5對(duì)中心為O的正四面體ABCD與空間一定點(diǎn)M，設(shè)三角形MAB,MAC,MAD,MBC,MBD, MDC的重心分別是O1，O2，O3，O4，O5，O6，則O1，O2，O3，O4，O5，O6，一個(gè)正八面體的六個(gè)頂點(diǎn).

證明略.

用變換的觀點(diǎn)來(lái)看待幾何,乃是德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因(F.Klein)的首創(chuàng)，也是新課標(biāo)的倡導(dǎo)與要求.從上面例子看出，運(yùn)用變換的觀點(diǎn)來(lái)看一些幾何圖形，的確能把握幾何性質(zhì)的實(shí)質(zhì)。下面再舉一例.

問(wèn)題2

如圖1，三角形ABC與三角形ADE滿(mǎn)足AB= AD,AC=AE,且∠DAB=∠EAC=900.則三角形ABC邊BC的中線(xiàn)AF必垂直于直線(xiàn)DE.

該題的證明也很多，是一道幾何名題.但我們用旋轉(zhuǎn)變化即可揭示其本質(zhì).將圖1中三角形ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)直角后變成圖2情形，由三角形中位線(xiàn)定理，顯然圖2中AF∥DE,那么圖1中AF必垂直于直線(xiàn)DE.

根據(jù)上面方法，我們即可得到問(wèn)題2的推廣.

命題如圖3，三角形ABC與三角形ADE滿(mǎn)足AB=AD,AC=AE且∠DAB+∠EAC=1800，F(xiàn)為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，直線(xiàn)AF與直線(xiàn)DE相交于G.則∠FGD=∠BAD.

證明略.

[1]徐峰.正多邊形的兩個(gè)性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013,(01): 61-63.

責(zé)任編輯：張隆輝

G633.63

A

1672-2094(2013)05-0144-02

2013-08-15

李鳳清（1978-），女，四川遂寧人，四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系講師。