陳 思

（福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350000）

0 背景

德克薩斯撲克全稱Texas Hold’em poker，中文簡稱“德州撲克”。它是一種玩家對玩家的公共牌類游戲。一張臺面至少2人，最多22人，一般是由2－10人參加。德州撲克一共有52張牌，沒有王牌。每個玩家分兩張牌作為“底牌”，五張由荷官陸續(xù)朝上發(fā)出的公共牌。開始的時候，每個玩家會有兩張面朝下的底牌。經(jīng)過所有押注圈后，若仍不能分出勝負(fù)，游戲會進(jìn)入“攤牌”階段，也就是讓所剩的玩家亮出各自的底牌以較高下，持大牌者獲勝。因技巧性強(qiáng)，易學(xué)難精又被稱為“撲克游戲中的凱迪拉克”。

在這個游戲里，如何根據(jù)手頭的牌以及桌面上的牌計算概率，成為勝負(fù)的關(guān)鍵。與一副牌的已知牌型計算不同，德州撲克不但需要計算牌型的RANK（即排名）值，更需要計算出當(dāng)前牌型的具體勝率。其中具體的勝率計算非常復(fù)雜，筆者將在本文中探討一種可行的方式。

1 游戲介紹

由于本文為概率計算介紹，不在贅述德州撲克中關(guān)于籌碼的計算規(guī)則，僅把撲克的基本勝負(fù)規(guī)則做一個闡述。

每個玩家擁有兩張底牌，桌面上將陸續(xù)發(fā)至5張公共牌。當(dāng)全部5張公共牌發(fā)完后，玩家用自己的2張底牌和5張公共牌結(jié)合在一起，選出5張牌，不論手中的牌使用幾張（甚至可以不用手中的底牌），湊成最大的成牌，跟其他玩家比大小。

比牌先比牌型，大的牌型大于小的牌型，牌型一般分為10種，從大到小為:皇家同花順（royal flush）:由AKQJ10五張組成，并且這5張牌花色相同；同花順(straight flush）:由五張連張同花色的牌組成；4條（four of a kind）:4張同點(diǎn)值的牌加上一張其他任何牌；滿堂紅（full house）（又稱“葫蘆”）:3 張同點(diǎn)值加上另外一對；同花（flush）:5 張牌花色相同，但是不成順子；順子（straight）:五張牌連張，至少一張花色不同；3條（three of a kind）:三張牌點(diǎn)值相同，其他兩張各異；兩對（two pairs）:兩對加上一個雜牌；一對（one pair）:一對加上 3張雜牌；高牌（high card）:不符合上面任何一種牌型的牌型，由單牌且不連續(xù)不同花的組成。

2 問題詳述與分解

在本文中，筆者們的主要問題就是，需要計算玩家的勝率。換句話來說，假設(shè)當(dāng)玩家持有AK（不同花色）時，桌面上為2,3,4,K,Q，且此時共同游戲的玩家有9名 （即競爭對手有8名），這種情況的勝算是多大，就是筆者們需要計算的值。

由于筆者們對于另外8個競爭對手手上的牌一無所知，計算勝率時，筆者們需要窮舉所有的8名玩家可能出現(xiàn)的所有牌型，并一一分析，最后得出實際勝率。

為了研究簡便，筆者們將游戲被分解為這樣的問題:

1）一副牌中，任意取出五張，需要程序馬上計算出它在所有牌型中的排名；

2）已知七張牌中，計算這7張牌能湊出的最大牌型；

3）根據(jù)當(dāng)前公共牌面、人數(shù)，窮舉所有情況，并一一對比從而計算勝率（后續(xù)內(nèi)容將證明這種方式并不科學(xué)并會給出解決方案）。

本論文中將解決以上問題，并編寫為IPHONE APP。解決問題時，考慮到IPHONE處理器的處理水平，解決過程進(jìn)行過專門的優(yōu)化處理。

2.1 牌型的排名

計算牌型的排名涉及到牌型之間的對比。由于上述的分解步驟中，第三部（即窮舉步）將進(jìn)行大數(shù)量級的牌型對比，在這種對比中，每次都調(diào)用牌型分析函數(shù)是不明智的，筆者們需要將牌型以及其對應(yīng)的排名一次性計算出來，并予以儲存，方便快速調(diào)用。

一副撲克一共有52張，從其中抽出5張的可能性一共有:2598960種可能性。如果將以上情況一一存儲（需要存儲牌值以及排名），至少需要20M左右的存儲空間。這不但會讓整個應(yīng)用程序變的臃腫，更會大幅降低檢索速度。

本文采取的方式如下:

2.1.1 考慮到德州撲克的牌型大小對比時，不考慮花色。即紅桃10JQKA與黑桃的10JQKA被認(rèn)為是一樣大。每次計算某5張牌的值時，用這種方式表示當(dāng)前牌型:

1）不管牌型花色；

2）計算牌型中重復(fù)的牌，并對其計數(shù)。

編碼規(guī)則:

筆者設(shè)立了一個長度為52的數(shù)組，其中0,4,8,12….48所有被4整除的整數(shù)將分別用于代表撲克上的數(shù)字，規(guī)則是n代表(n/4)+1。在這里筆者們將撲克A計數(shù)為1，K計數(shù)為13，Q計數(shù)為12，而J技術(shù)為11。而無法被4整除的數(shù)，將用來代表上述數(shù)字的牌面，出現(xiàn)了多少次。

舉例來說:紅桃A,黑桃A，方塊K，梅花K，黑桃6這個牌型，經(jīng)過以上整理，被編碼為:2,50,20。 （例 3.1）

用數(shù)學(xué)表達(dá)來說，假設(shè)編碼后的數(shù)字為i,j,k，則代表原牌型為:

(i%4+1)張的(i－i%4)/4+1,(j%4+1)張的(j－j%4)/4+1,(k%4+1)張的(kk%4)/4+1

從以上例子來看，2,50,20并不僅僅代表紅桃A,黑桃A，方塊K，梅花K，黑桃6這種情況，實際上，它代表了所有一對A，一對K以及一張單張6的牌型而不管花色如何。

2.1.2 為了方便數(shù)據(jù)存儲并保證牌型的唯一性（即確保不一樣的牌型筆者們會以不同的數(shù)據(jù)存儲起來），筆者采用64位隨機(jī)數(shù)來代表所有牌型。

代碼如下:

PNC數(shù)組即代表不同數(shù)字（1－K）以及不同數(shù)量（1張到4張）的所有情況。以之前的“紅桃A,黑桃A，方塊K，梅花K，黑桃6”牌型為例，如果需要將該牌型進(jìn)行唯一標(biāo)識，采取以下方式:

Zobrist=PNC[2]^PNC[20]^PNC[50];//Zobrist即計算出的牌型值，它是唯一的。

2.1.3 有了以上的數(shù)組后，即可以通過遍歷所有牌型情況，給每一種牌型進(jìn)行評分。為了方便計算，采取的方法是將牌型由大到小進(jìn)行排列，將最大的牌型記為1分，第二大的牌型記為2分，相同的牌型分值相同，以此類推。

相關(guān)代碼示例如下:

2.2 概率的計算

根據(jù)2.1節(jié)所述，我們可以知道當(dāng)所有桌面牌都被發(fā)下后，可以通過簡單的排列組合得出手上兩張牌與桌面5張牌結(jié)合中最大的牌型，舉例來說:

玩家手牌:紅桃K,黑桃A

桌面牌:梅花 K,方塊K,紅桃Q,黑桃 J,方塊 10

則最大牌型為順子，即:黑桃A，方塊K（或者其他兩色K），紅桃Q,黑桃J,方塊10。接下來，需要根據(jù)手頭的牌型以及桌面的5張牌，計算勝率。由于德州撲克的復(fù)雜性，前面說到，如果要精確計算概率，那么其數(shù)量級是非常龐大的，當(dāng)玩家超過3名以后，當(dāng)前的計算機(jī)也無法完成這樣的計算任務(wù)。（具體算法如下）

一般德州撲克的玩家是6名以上，這樣計算勝率根本是不現(xiàn)實的。但是，我們注意到，概率計算除了精確計算以外，我們可以采取非精確估計法。

舉例來說，玩家的某個牌型，我們并不清楚其究竟是否會獲勝，我們可以隨機(jī)生成其余玩家的牌型，我們把生成完畢的情況稱為一組牌局，每隨機(jī)生成一組牌局，我們就對比當(dāng)前玩家與其他隨機(jī)生成玩家的牌型，以計算當(dāng)前玩家是否獲勝，如果獲勝，就把勝利局?jǐn)?shù)計數(shù)器加1，當(dāng)模擬牌局?jǐn)?shù)量超過某個值時，計算模擬局中當(dāng)前玩家獲勝的次數(shù)與總牌局?jǐn)?shù)量的比值，即為我們想要的勝率。

這樣，我們將一個天文數(shù)字的牌局對比，下降到計算機(jī)可以接受的程度，以6名玩家為例，總共需要計算的牌型情況為:

如果我們設(shè)置總局?jǐn)?shù)為10000局，則計算總數(shù)為1260000，該數(shù)量級對于計算機(jī)來說非常輕松，實際測試中，一臺普通配置的個人電腦可以在3秒內(nèi)完成該計算。局?jǐn)?shù)越多，則計算出的概率與實際值就越接近，根據(jù)2玩家小規(guī)模測試，總局?jǐn)?shù)在2000局以上時，計算出的概率已經(jīng)非常接近于真實值，局?jǐn)?shù)大幅增加雖然讓數(shù)字更加接近，但實際意義并不大。

3 總結(jié)

通過牌型的存儲與計算以及一種基于概率的非精確算法，我們從一定程度上解決了德州撲克的概率問題，在實際應(yīng)用中，我們發(fā)現(xiàn)這種方法的準(zhǔn)確率較高，已經(jīng)可以從一定意義上指導(dǎo)牌局。當(dāng)然，隨著技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)該會有更加先進(jìn)的算法出現(xiàn)，本文所述的方法也仍有一定的提升空間（如加大模擬局的總數(shù)，采取后臺計算等等），后續(xù)筆者會持續(xù)跟進(jìn)本項目研究。