一、 畢達哥拉斯學(xué)派——畢達哥拉斯定理

畢達哥拉斯是一位與孔子、釋迦牟尼幾乎同時代的古希臘著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家. 出身于貴族家庭的他，年輕時曾到過埃及和巴比倫學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，之后到意大利的南部傳授數(shù)學(xué)及宣傳他的哲學(xué)思想，后來和他的信徒們組成了一個叫“畢達哥拉斯學(xué)派”的集政治、學(xué)術(shù)、宗教三位于一體的組織. 在中學(xué)的平面幾何中，有一個定理叫“畢達哥拉斯定理”（即“勾股定理”），就是以他的名字命名的.

畢達哥拉斯學(xué)派提出一著名的觀點：“一切都是數(shù)”. 就是說不論什么事物，大到天體，小到塵埃，都有一定的長短、高低、大小、輕重等數(shù)量，沒有數(shù)量的事物是不存在的. 那么，數(shù)是如何構(gòu)成世界上的事物呢？畢達哥拉斯學(xué)派解釋說：“數(shù)”是一種單位，它占有一定的空間，是有形的. 數(shù)的開端是“1”，“1”就是一個小點（·），“2”這個數(shù)是兩點的排列，即成為一條線（—），同樣，“3”這個數(shù)是面（△），而“4”這個數(shù)就是體（■）. 數(shù)的排列到了“4”，就出現(xiàn)了有形的事物. 由這四個數(shù)就構(gòu)成了土（立方體）、火（四面體）、氣（八面體）、水（二十四面體）四大基本要素，這四種要素的不同排列組合就構(gòu)成了世界上形形色色的具體事物. 可見，一切事物都由數(shù)構(gòu)成.

畢達哥拉斯學(xué)派認為宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比. 因此，畢達哥拉斯學(xué)派非常重視數(shù)學(xué)的研究，他們基本建立了所有直線形的理論，包括三角形全等的定理、平行線理論、相似理論、三角形的內(nèi)角和定理等. 他們還發(fā)現(xiàn)了有名的“畢達哥拉斯三數(shù)”，即可以組成直角三角形三條邊的整數(shù)組，他們除了給出具體的特例外，還給出了一般法則：如果m為一直角邊，則m，■，■就是這樣的整數(shù)組. 他們證明了關(guān)于直角三角形斜邊與兩直角邊關(guān)系的定理，即著名的“畢達哥拉斯定理”（即“勾股定理”）：直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊平方之和. 在當(dāng)時，中國人、巴比倫人、埃及人和印度人早已了解到此定理的部分情況，但都沒有給出一般的證明. 因此，畢達哥拉斯和他的門徒在給出這條定理的證明后欣喜若狂，后來主張簡樸節(jié)儉的師徒們也破例舉行隆重、熱烈的慶賀. 據(jù)說，他們宰了100頭牛舉辦了盛大的“百牛宴”，以致有人議論說，人們喜悅，牛卻遭了殃. 因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理”.

二、 無理數(shù)的出現(xiàn)猶如晴天霹靂

正當(dāng)興致未盡之時，他們的狂熱卻被一個人狠狠地潑了一盆冷水，這就是入會不久的希帕索斯. 希帕索斯是個勤奮好學(xué)的青年，他善于獨立思考，不盲目附和. 他學(xué)了勾股定理以后，在研究邊長為整數(shù)的正方形的對角線時發(fā)現(xiàn)，這條對角線（亦即等腰直角三角形的斜邊）既不能用整數(shù)表示，也不能用整數(shù)之比（分數(shù)）表示. 證明如下：

證明：設(shè)等腰直角三角形的兩直角邊為a，斜邊的長度為約去公因數(shù)的兩整數(shù)m、n之比■.

∵m、n約去了公因數(shù)，∴二者中至少有一奇數(shù)（都是偶數(shù)則有公因數(shù)2）.

∵畢達哥拉斯定理，a2+a2=■2，即2a2=■. ∴m2=2a2n2.

∵2a2n2為偶數(shù)，則m2為偶數(shù)，

∴m必為偶數(shù).

又∵m、n中至少有一奇數(shù)，

∴n必是奇數(shù).

∵m是偶數(shù)，

∴設(shè)m=2p，∴m2=4p2=2a2n2，∴n2=■.

∵■是偶數(shù)，

∴n2為偶數(shù)，∴n也必是偶數(shù).

綜上可知，假如他們的信念是正確的，那么，同一數(shù)n既是奇數(shù)又是偶數(shù)，而我們知道一個數(shù)不可能既是奇數(shù)又是偶數(shù)，因此，以上的循環(huán)必然是矛盾的，人們把這種循環(huán)稱為“希帕索斯悖論”.

在這一推導(dǎo)中得出明顯矛盾的結(jié)論，無非有兩種情況：一種是前提錯誤，一種是推導(dǎo)過程不正確. 顯然，推導(dǎo)過程毫無差錯，那么，問題只能出在前提上. 在推導(dǎo)過程中使用了兩個前提：一個是畢達哥拉斯派“一切現(xiàn)象可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”的信念，另一個就是畢達哥拉斯定理. 而畢達哥拉斯定理是已證明為正確的定理，所以，只能是他們的信念是不成立的. 因此，希帕索斯悖論的發(fā)現(xiàn)就如同一聲晴天霹靂，動搖了畢達哥拉斯學(xué)派整個信念大廈的基礎(chǔ)，引起其他畢氏門徒的極大恐慌. 他們決定立即封鎖消息. 可是如何能封鎖得住？一傳十，十傳百早就傳開了，這使得他們非常惱火，決定捉拿希帕索斯. 希帕索斯并不屈服，于是逃離了這個學(xué)會. 一些激進的門徒緊追不舍，結(jié)果在地中海的一條船上抓住了希帕索斯，并把他扔到了海里. 新發(fā)現(xiàn)的數(shù)由于和之前的所謂“合理存在的數(shù)”（即有理數(shù)）在學(xué)派內(nèi)部形成了對立，所以被稱作為無理數(shù).

“青山遮不住，畢竟東流去. ”希帕索斯可以拋到大海里淹死，但希帕索斯悖論是淹不死的. 作為直角三角形特殊情形的等腰直角三角形必然會成為研究者的課題，即使沒有希帕索斯，也會有另外一個人看到這一悖論，只不過是時間早晚而已. 人們很快發(fā)現(xiàn)，不能用整數(shù)或整數(shù)之比表示的數(shù)并非罕見的現(xiàn)象，如■、π、■等，隨著時間的推移，無理數(shù)的存在逐漸成為路人皆知的事實，這些事實像潮水一樣猛烈地沖擊著傳統(tǒng)觀念，促使人們重新審視“一切數(shù)都是整數(shù)或整數(shù)比”的有理數(shù)理論，這就是歷史上的第一次數(shù)學(xué)危機.

大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論，暫時消除危機. 一直到18世紀，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來. 到19世紀下半葉，現(xiàn)代意義上的實數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根. 無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對數(shù)的認識從有理數(shù)拓展到實數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機.