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        勾股定理:提供等量列方程

        2013-04-12 00:00:00趙林
        初中生世界·八年級(jí) 2013年12期

        勾股定理在解決問(wèn)題時(shí)的作用非常大,特別是在計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)勾股定理是常用的定理,但是有些同學(xué)在應(yīng)用勾股定理時(shí),還是覺(jué)得有一些難度的,主要問(wèn)題是對(duì)式中的平方形式不適應(yīng),其實(shí)只要用方程的思想去看勾股定理的應(yīng)用就一通百通了. 我們先回憶一下勾股定理的內(nèi)容:在Rt△ABC中(如圖1),∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,則a2+b2=c2.

        情形一:觀(guān)察一下勾股定理的等式a2

        +b2=c2,共有三個(gè)字母,可以看做三個(gè)未知的量,當(dāng)其中兩個(gè)量已知的時(shí)候,第三個(gè)量一定可以求出.

        例1 已知a=6,c=10,求b.

        解:代入等式得:62+b2=102,解得:b=8.(負(fù)值舍去)

        情形二:如果三邊中只已知一邊,另兩邊都未知,但另兩邊存有某種關(guān)系,未知的兩邊也是可求的.

        例2 一個(gè)直角三角形的一直角邊為8,斜邊比另一直角邊多4,求這個(gè)三角形的面積.

        解:設(shè)另一直角邊為x,則斜邊為x+4,由勾股定理得:82+x2=(x+4)2.

        解得:x=6.

        所以,三角形的面積為■×8×6=24.

        例3 如圖2,在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=1,BC=3. AB的中垂線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)D, 連接AD,求AD的長(zhǎng).

        【分析】已知AB的中垂線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)D,即D在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上,則有AD=BD. 根據(jù)BC=3可得到BD+CD=AD+CD=3.這個(gè)時(shí)候我們來(lái)看Rt△ACD,AC的長(zhǎng)已知,AD、CD滿(mǎn)足和等于3,那么我們不妨設(shè)AD=x,則CD=3-x,根據(jù)勾股定理列方程就可以求出AD的長(zhǎng).

        解:∵D在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上,

        ∴AD=BD.

        ∵BC=3,∴BD+CD=AD+CD=3.

        設(shè)AD=x,則CD=3-x,

        由勾股定理得:x2=(3-x)2+12,

        解得: x=■,∴AD=■.

        情形三:利用勾股定理參與表示問(wèn)題中的量.

        例4 如圖3,鐵路上A、B兩站相距25 km,C、D為兩村莊,DA⊥AB于點(diǎn)A,CB⊥AB于點(diǎn)B,已知DA=15 km,CB=10 km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E,使得C、D兩村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建在離A站多遠(yuǎn)的地方?

        解:設(shè)AE=x km,則BE=(25-x) km,

        ∵DA⊥AB于點(diǎn)A,∴∠A=90°,

        ∴DE2=AD2+AE2.

        同理,CE2=CB2+BE2.

        ∵DE=EC,∴CB2+BE2=AD2+AE2,

        ∴102+(25-x)2=152+x2,

        解得:x=10.

        答:E站應(yīng)建在離A站10 km處.

        同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)要善于把握知識(shí)的本質(zhì)規(guī)律,勾股定理的等式實(shí)質(zhì)可以看作一個(gè)三元的方程,在解決問(wèn)題時(shí)用方程的思想來(lái)看待勾股定理的應(yīng)用,也許你就覺(jué)得輕松起來(lái).

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