鄧旭

(鄭州大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，河南 鄭州 450002)

0 引言

對(duì)大體積混凝土而言，控制其溫度裂縫的產(chǎn)生和發(fā)展是保證混凝土質(zhì)量的關(guān)鍵，而其溫度裂縫則是由于混凝土內(nèi)部溫度場(chǎng)不均勻分布而引起，因此計(jì)算大體積混凝土的溫度場(chǎng)分布對(duì)其溫度裂縫控制有重要作用。目前該問(wèn)題的計(jì)算已經(jīng)有經(jīng)驗(yàn)公式法、有限元法等［1，2］，經(jīng)驗(yàn)公式法簡(jiǎn)單易行，但精度較差，有限元法雖然精度較高，但計(jì)算工作量較大。本文以熱傳導(dǎo)為基礎(chǔ)，建立大體積混凝土溫度場(chǎng)的一維差分格式，通過(guò)對(duì)其溫度場(chǎng)進(jìn)行差分求解，其精度可滿足工程要求，且計(jì)算效率較高。

1 混凝土溫度場(chǎng)的熱傳導(dǎo)理論

1.1 熱傳導(dǎo)方程

大體積混凝土的熱傳導(dǎo)問(wèn)題實(shí)際上是固體內(nèi)有熱源的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，其熱傳導(dǎo)方程為［1］:

式中，c為混凝土比熱，kJ/(kg·℃);λ為混凝土的導(dǎo)熱系數(shù)，kJ/(m·d·℃);τ為時(shí)間，d;ρ為混凝土密度，kg/m3;θ為混凝土絕熱溫升，x，y，z為混凝土內(nèi)部點(diǎn)的位置坐標(biāo);T為混凝土內(nèi)部坐標(biāo)點(diǎn)溫度。

1.2 初始條件和邊界條件

熱傳導(dǎo)方程是物體的溫度與時(shí)間、空間關(guān)系，其方程解有無(wú)限多，為確定所需要的溫度場(chǎng)，還須知道方程的初始條件和邊界條件［1］。

初始條件:對(duì)于大體積混凝土，其初始溫度為其初始瞬時(shí)溫度，即澆筑溫度，為常數(shù)。

第一類邊界條件:混凝土表面溫度T為已知函數(shù)，即:

第二類邊界條件:混凝土表面的熱流量是時(shí)間的已知函數(shù)，即:

當(dāng)為絕熱邊界條件時(shí)，?T/?n=0。

第三類邊界條件:假定經(jīng)過(guò)混凝土表面的熱流量與混凝土表面溫度T和氣溫Tf之差成正比。即:

式中，β為混凝土表面的放熱系數(shù)。

第四類邊界條件:當(dāng)兩種固體(接觸良好時(shí)，則在接觸面上溫度和熱流量是連續(xù)的，其邊界條件為:

2 一維溫度場(chǎng)的有限差分格式

當(dāng)結(jié)構(gòu)為無(wú)限大平板時(shí)，其長(zhǎng)度和寬度方向遠(yuǎn)大于其厚度方向，則其熱傳導(dǎo)方程可簡(jiǎn)化為一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題。

一維熱傳導(dǎo)方程可表示為:

設(shè)混凝土板厚為L(zhǎng)，將其在厚度方向等分為n－1層，則每層厚度為:

圖1 一維差分示意圖

設(shè)Ti，τ表示第i點(diǎn)在時(shí)刻τ的溫度，用中心差商代替微商，得:

將式(9)代入式(7)，則可得:

式中，r=aΔτ/h2，當(dāng)r小于0.5時(shí)，差分格式穩(wěn)定。

邊界條件處理:考慮混凝土邊界條件多為絕熱邊界、第三類與第四類邊界條件，故對(duì)此三種情況建立其差分格式。

絕熱邊界條件:

式中，T邊為混凝土邊界處溫度，T內(nèi)為混凝土內(nèi)部距離邊界為1單位的節(jié)點(diǎn)的溫度值。

第三類邊界條件:利用牛頓后插公式，建立其差分格式為:

式中，s=2βh/λ，T邊為混凝土邊界處溫度，T內(nèi)1為混凝土內(nèi)部距離邊界為1單位的節(jié)點(diǎn)的溫度值，T內(nèi)2混凝土內(nèi)部距離邊界為2單位的節(jié)點(diǎn)的溫度值，Ta為外界介質(zhì)溫度。

第四類邊界條件:

式中，λ1、λ2分別為1、2固體的熱傳導(dǎo)系數(shù)，g1、g2為1、2固體的柵格間距。

3 一維溫度場(chǎng)差分求解

某無(wú)限大平板，其導(dǎo)溫系數(shù)為0.1，厚度為10m，初始溫度為10℃，兩邊界溫度為0℃［1］。

對(duì)于此模型，其溫度場(chǎng)理論解為:

對(duì)于無(wú)限大平板，可簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題，對(duì)其進(jìn)行差分求解。由于結(jié)構(gòu)為對(duì)稱，取一半進(jìn)行分析，30天后其各點(diǎn)溫度值如圖2所示。

圖2 差分與理論解比較圖

取200天對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，可得其溫度場(chǎng)變化規(guī)律為:

圖3 溫度場(chǎng)變化圖

其中心點(diǎn)溫度隨時(shí)間變化規(guī)律為:

圖4 中心點(diǎn)溫度變化規(guī)律

通過(guò)計(jì)算分析，可知差分解與理論解誤差較小，其精度可滿足工程需要。結(jié)構(gòu)由于散熱，整體溫度趨于邊界溫度，其內(nèi)部點(diǎn)溫度下降滯后與邊界點(diǎn)，與實(shí)際情況相符。

4 結(jié)語(yǔ)

建立大體積混凝土熱傳導(dǎo)的一維差分格式，通過(guò)與理論界進(jìn)行對(duì)比，其計(jì)算精度也可滿足工程需要，但其計(jì)算參數(shù)的選取對(duì)計(jì)算精度的影響較大，如果條件允許，應(yīng)利用試驗(yàn)的方式合理確定各參數(shù)取值。

［1］朱伯芳.大體積混凝土溫度應(yīng)力與溫度控制［M］.北京:中國(guó)水利水電出版社，1999.

［2］王鐵夢(mèng).上程結(jié)構(gòu)裂縫控制［M］.北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2004.

［3］薛定宇，陳陽(yáng)泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)的MATLAB求解［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008.

［4］杜平，劉書賢，譚廣柱，劉魁星.基于四維溫度場(chǎng)理論的大體積混凝土數(shù)值分析［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2012，31(8):526－530.

［5］嚴(yán)淑敏.大體積混凝土基礎(chǔ)底板溫度裂縫控制技術(shù)［D］.碩士學(xué)位論文.浙江大學(xué)，2007.

［6］Bofaug Zhu，Ping Xu.Thermal Stress and Temperature Control of Roller－Compacted Concrete Gravity Dams［J］.Dam Engineering，1995，(3):199—220.

［7］Mats Emborg，Stig Bernander.Assessment of Risk of Thermal Cracking in Hardening Concrete Journal of Structural Engineering.1994(10):2893—2910.