魯鐵定

東華理工大學 測繪工程學院，江西 南昌 330013

最小二乘法是測量數(shù)據(jù)處理的最基本、應用最廣泛的方法，對于經(jīng)典的最小二乘法是只考慮觀測向量的誤差，假設系數(shù)陣沒有誤差或不考慮系數(shù)陣的誤差。然而系數(shù)矩陣包含誤差的情況在測量數(shù)據(jù)實踐中是存在的。總體最小二乘法旨在解決顧及系數(shù)矩陣誤差的一種數(shù)據(jù)處理方法?？傮w最小二乘理論自從Golub在1980年正式命名以來，在數(shù)學界掀起了研究熱潮，其應用的領域越來越廣泛，諸如自動控制、信號處理、圖像處理、醫(yī)學、統(tǒng)計學等。在測繪學科總體最小二乘的研究雖然近幾年剛開展，但是已受到越來越多學者的關注，正在成為測繪數(shù)據(jù)處理研究的熱點問題之一。

本文主要針對顧及系數(shù)矩陣誤差的總體最小二乘平差問題，結合測量數(shù)據(jù)的特點，較為系統(tǒng)地研究了總體最小二乘平差的數(shù)學模型、平差準則、解算公式、精度評定等，將總體最小二乘理論從數(shù)學界的解算方法歸入測量平差解算的理論體系，并對病態(tài)情形下的總體最小二乘平差進行了較為詳細的研究，最后結合實例探討了具體應用。

論文的主要結論和貢獻包括：

（1）矩陣分解作為解算總體最小二乘的主要方法，本文首先研究矩陣分解和測量平差模型解算的關系。對矩陣的QR分解和SVD分解相關內(nèi)容進行了概括，給出了矩陣分解的廣義逆矩陣之間的關系；較為深入地探討了矩陣的QR分解和測量平差解算之間的關系，詳細推導了間接平差的QR分解解算公式、推導了最小二乘配置的QR分解解算公式、推導了最小二乘配置的SVD分解解算公式、推導了秩虧自由網(wǎng)的SVD分解解算公式；通過算例驗證了推導的幾種平差模型矩陣分解解算公式的正確性和算法的有效性。

（2）在總結現(xiàn)有總體最小二乘問題解法的基礎上，對總體最小二乘的解算進行進一步研究。論文較為系統(tǒng)地總結了總體最小二乘問題的幾種解算方法，根據(jù)Schaffrin教授的方法，提出了一種簡化的總體最小二乘平差數(shù)學模型、平差準則，推導了解算公式；通過算例說明了算法的正確性。對于混合總體最小二乘（LS－TLS）問題，總結了數(shù)學上的SVD分解方法，提出了一種混合總體最小二乘問題的平差模型和平差準則，推導了解算公式；通過算例說明了算法的正確性。研究了迭代比較解算方法和SVD分解解法的關系，從理論上證明該解算方法的等價性和一致性。

（3）針對測量數(shù)據(jù)的特點，研究約束和加權總體最小二乘平差問題?？偨Y了Schaffrin教授推導的附有約束條件的總體最小二乘解算公式，提出了一種簡化的附有約束條件的總體最小二乘平差數(shù)學模型、平差準則，推導了解算公式。對Schaffrin教授推導的加權總體最小二乘問題解算公式進行了總結，進一步論證了加權總體最小二乘迭代解算公式和SVD分解解法的關系，給出了兩者之間互相轉換的方法。推導給出了標度總體最小二乘的迭代解算方法，證明了與SVD分解方法之間的等價性，當α＝1時為總體最小二乘問題，當α＝0或α→0時，為最小二乘問題。

（4）針對病態(tài)情形下的總體最小二乘平差問題，研究克服或削弱病態(tài)性的解法。論文推導了嶺估計計算公式，分析探討了嶺參數(shù)的選擇方法，結合實例進行了分析?；赥ikhonov原理推導了病態(tài)情形下總體最小二乘的正則化解算公式。對于病態(tài)情形下的總體最小二乘平差問題，分析了截斷SVD分解方法，通過算例分析提出了幾種截斷值k的選擇方法。推導了病態(tài)情形下加權總體最小二乘問題的正則化方法和截斷奇異值解算算法。

（5）最后結合測量實例，論文分析了總體最小二乘的應用。探討了總體最小二乘在自回歸模型解算、反演數(shù)據(jù)處理、似大地水準面基準轉換、地面激光掃描標靶球定位中的應用，比較了總體最小二乘與最小二乘在計算結果方面的異同，比較了解算精度。