馬麗君

（集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

高等幾何教學(xué)中應(yīng)注意的問題

馬麗君

（集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

高等幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門必修課，主要是讓學(xué)生對圖形的幾何性質(zhì)有更深入的了解，從而擴(kuò)大學(xué)生的知識領(lǐng)域.高等幾何教學(xué)中融合了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和學(xué)習(xí)方法，內(nèi)容抽象，豐富.學(xué)習(xí)高等幾何，有助于提高學(xué)生對于幾何學(xué)的認(rèn)識，有助于提高學(xué)生的空間想象能力，對培養(yǎng)學(xué)生思考問題的方式有很大的作用.然而高等幾何的內(nèi)容比較抽象，有很強(qiáng)的邏輯性，解題也有很強(qiáng)的技巧性，使學(xué)生理解起來比較困難.本文主要對高等幾何教學(xué)中的注意事項(xiàng)進(jìn)行闡述，旨在提高高等幾何的教學(xué)水平.

高等幾何；教學(xué)；現(xiàn)狀

高等幾何是在學(xué)生學(xué)習(xí)了初級幾何、解析幾何、高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上開設(shè)的課程.高等幾何是在克萊因的觀點(diǎn)上進(jìn)行定義的，它是以變換群的思想為指導(dǎo)思想，通過一些重要的定理，對平面射影幾何的相關(guān)知識進(jìn)行講解，對射影幾何、歐式幾何、解析幾何、橢圓幾何等多種幾何學(xué)的相關(guān)知識進(jìn)行了內(nèi)在的聯(lián)系.克萊因的變換群認(rèn)為，每一個(gè)幾何學(xué)都有一個(gè)變換群與之對應(yīng)，而幾何學(xué)研究的就是圖形在對應(yīng)的變換群中保持不變的圖形的性質(zhì)和不變量.從功能上進(jìn)行理解，高等幾何是在高層面上對幾何空間的特征、研究方法、內(nèi)在聯(lián)系的深入認(rèn)識和研究，以便于進(jìn)一步掌握幾何學(xué)的本質(zhì)特征，使學(xué)生能夠更好的應(yīng)用幾何學(xué)的知識.高等幾何自身的特點(diǎn)決定了用高等幾何解析幾何學(xué)中的難題變得更加普遍.

1 高等幾何教學(xué)的現(xiàn)狀

高等幾何是利用變換群的觀點(diǎn)將仿射幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、歐式幾何學(xué)、非歐幾何學(xué)等幾個(gè)幾何學(xué)的分支統(tǒng)一起來，包含著重要的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)習(xí)幾何和數(shù)學(xué)的重要的基礎(chǔ)，它能夠豐富學(xué)生的思維邏輯能力和空間想象力，高等幾何對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)具有至關(guān)重要的作用.然而，由于高等幾何的抽象，學(xué)生認(rèn)為它知識面廣，內(nèi)容抽象，使學(xué)生難以理解.而教師認(rèn)為高等幾何中的內(nèi)容抽象，在授課的過程中很難為學(xué)生進(jìn)行描述，另外，高等幾何在高校教學(xué)中的計(jì)劃課時(shí)很少，使教師的教學(xué)計(jì)劃也受到了一定程度的制約，難以達(dá)到教學(xué)任務(wù).由于部分高校對高等幾何在整個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)課中的作用認(rèn)識不足，導(dǎo)致高校對高等幾何的教學(xué)缺乏有效的改革方式，從而教師教授高等幾何缺乏動力，使學(xué)生對高等幾何缺乏足夠的興趣，而高等幾何這門課程大多被安排在大四，這段時(shí)間學(xué)生往往忙于工作，無暇重視高等幾何的學(xué)習(xí).同時(shí)，多數(shù)教師往往重視教學(xué)研究，在教學(xué)方法上只是采用“滿堂灌”的形式，一味的傳授理論知識，而不忽略了對學(xué)生的引導(dǎo)，這些都會影響高等幾何教學(xué)質(zhì)量的提高，影響高等幾何在現(xiàn)階段的進(jìn)一步發(fā)展.

2 高等幾何教學(xué)中應(yīng)注意的事項(xiàng)

針對當(dāng)前高等幾何教學(xué)的現(xiàn)狀，以現(xiàn)代科技發(fā)展的趨勢，以高等幾何課程的特點(diǎn)，以高等教師對學(xué)生的認(rèn)知情況，總結(jié)了高等幾何教學(xué)中應(yīng)注意的事項(xiàng)，現(xiàn)闡述如下：

2.1 明確教學(xué)目的

在高等幾何課程開課初期，教師要讓學(xué)生了解幾何學(xué)的發(fā)展歷史，激發(fā)學(xué)生對于幾何學(xué)的興趣，同時(shí)教師向?qū)W生介紹高等幾何的作用及學(xué)習(xí)高等幾何的目的和要求.“興趣是最好的老師”，引起學(xué)生的興趣是讓學(xué)生主動走近高等幾何的第一步，也是關(guān)鍵的一步.這一階段主要是向?qū)W生介紹高等幾何內(nèi)容的豐富性和應(yīng)用的廣泛性，讓學(xué)生初步理解高等幾何所涉及內(nèi)容的大概范圍，了解到初等幾何與高等幾何的區(qū)別和聯(lián)系，初步認(rèn)識仿射幾何學(xué)、射影幾何學(xué)，了解射影幾何學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，和與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系方式，從而讓學(xué)生從思想上認(rèn)識到射影幾何在幾何發(fā)展中的作用和意義.通過教師對高等幾何的初步介紹，讓學(xué)生對高等幾何建立良好的印象，從而愿意接受高等幾何，為教師進(jìn)一步教學(xué)奠定基礎(chǔ).

高等幾何能夠使學(xué)生居高臨下的看待初等幾何的內(nèi)容，對整個(gè)幾何學(xué)的應(yīng)用有很大的幫助作用，教師要明確教學(xué)的目的，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生重視學(xué)習(xí)的目的和要求，在激發(fā)學(xué)生興趣的同時(shí)，也可以提高學(xué)生對于學(xué)習(xí)高等幾何的積極性和自覺性.

2.2 注重概念教學(xué)

高等幾何是以變換群和公理化的方法討論了幾何體系的總體性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，它包含了大量的現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，大量的公理和定理等內(nèi)容.學(xué)生深入理解并掌握高等幾何中涉及到的公理、定理等概念問題，才能夠更好的去運(yùn)用它們.如果對概念認(rèn)識不清，就可能沒有辦法進(jìn)行正確的判斷和推理，不能正確的解決問題.但在實(shí)際教學(xué)過程中，教師往往不夠重視概念的教學(xué)，只是對概念一帶而過，讓學(xué)生記住，而不進(jìn)行深入的解釋，導(dǎo)致了學(xué)生對概念不夠重視，理解也不全面.因此教師在授課的過程中，應(yīng)該注意對概念來源、內(nèi)容、用途的解釋，讓學(xué)生理解概念更容易.概念是從具有某些共性的事物中進(jìn)行抽象的結(jié)果，對概念的解釋要遵循從特殊到一般，從具體到抽象的過程.教師在授課過程中，要對概念的內(nèi)容、關(guān)鍵字、使用概念時(shí)的注意事項(xiàng)等進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，并對概念進(jìn)行一定的拓展和延伸，加深學(xué)生對概念的理解和認(rèn)識.

高等幾何中對中心投影、仿射不變性、度量不變形、二次曲線的射影性質(zhì)、射影不變量等內(nèi)容都進(jìn)行了分析和研究，可以讓學(xué)生深入理解幾何學(xué)的內(nèi)容.在高等幾何的學(xué)習(xí)中，“透視仿射對應(yīng)”是一個(gè)重要的概念，教師在介紹概念之前，可以先用生活中的例子來引導(dǎo)學(xué)生，從所列的例子中總結(jié)它的共性，并將透視對應(yīng)的概念進(jìn)行抽象，從而使學(xué)生更加透徹的理解“透視仿射對應(yīng)”的概念.在透視對應(yīng)的應(yīng)用中，有限個(gè)透視對應(yīng)鏈就可以構(gòu)成一個(gè)射影對應(yīng)，而利用“透視仿射對應(yīng)”對完全四點(diǎn)形的調(diào)和性質(zhì)定理、巴斯加定理、巴布士構(gòu)圖方法等進(jìn)行了證明，同時(shí)利用透視也說明了三種特殊射影變換的正確性，揭示了雙曲射影變換的性質(zhì)等.因此，在高等幾何的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對概念進(jìn)行深入理解對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有很大的幫助，而教師在授課過程中更應(yīng)該注重概念教學(xué)方法，旨在提高高等幾何的授課質(zhì)量，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

2.3 加強(qiáng)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)

高等幾何中涉及的內(nèi)容范圍廣，且抽象，有很多的重點(diǎn)難點(diǎn)問題，而學(xué)生在理解重點(diǎn)難點(diǎn)問題時(shí)就很困難，如果教師對這些問題處理不當(dāng)，就容易引起學(xué)生厭煩的心理，對學(xué)生掌握相關(guān)知識很不利.因此，教師在講解重點(diǎn)難點(diǎn)問題時(shí)，要透徹的分析，并反復(fù)強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生接受起來更容易，并能夠牢記.在克萊因變換群的觀點(diǎn)來理解幾何學(xué)，高等幾何研究的是從變換的角度研究圖形的不變性和不變量，并且高等幾何用變換群的觀點(diǎn)把不同的幾何學(xué)進(jìn)行了統(tǒng)一.而從群論的角度來定義幾何學(xué)，對幾何學(xué)的發(fā)展有很大的推動作用.它將幾何學(xué)的系統(tǒng)知識與幾何中的圖形分開來理解，并且得到了對立事物的統(tǒng)一性質(zhì).我們知道，非歐幾何是仿射幾何學(xué)的一部分，仿射幾何學(xué)是射影幾何學(xué)的一部分，因此，射影幾何就是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，對于初等幾何的認(rèn)識有很大的幫助.同時(shí)，高等幾何中的許多內(nèi)容都是從克萊因變換群的角度進(jìn)行理解的，而克萊因變換群本身就是高等幾何中的重點(diǎn)難點(diǎn)問題.在實(shí)際教學(xué)中，教師可以對仿射幾何、歐式幾何的基本內(nèi)容作簡要的介紹，重點(diǎn)介紹仿射幾何、歐式幾何、射影幾何和它們相應(yīng)的變換群以及它們之間的聯(lián)系.明白了這些問題，仿射幾何、歐式幾何中基本的概念的相關(guān)性質(zhì)就很容易理解了.另外，高等幾何中的重點(diǎn)難點(diǎn)問題不是教師講一遍，學(xué)生就可以理解的，教師應(yīng)該利用仿射幾何、歐式幾何的性質(zhì)來引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生，在授課過程中反復(fù)的利用基礎(chǔ)知識將重點(diǎn)難點(diǎn)問題進(jìn)行強(qiáng)化，加深學(xué)生的印象，在多次的引導(dǎo)下，更易于學(xué)生對于這些問題的理解，從而提高高等幾何的教學(xué)質(zhì)量.

2.4 化抽象式教學(xué)為具體式教學(xué)

高等幾何中涉及的內(nèi)容比較抽象，不易于學(xué)生的理解.教師要結(jié)合課程的特點(diǎn)，將高等幾何涉及到的知識進(jìn)行簡化，使學(xué)生理解起來更加清晰.教師在授課的過程中要隨時(shí)總結(jié)，將學(xué)生難以理解的知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，然后將抽象化的知識進(jìn)行處理，使知識點(diǎn)以更加直觀的形式呈現(xiàn)在學(xué)生的面前.我們知道，高等幾何的知識是初等幾何知識的延伸，高等幾何為初等幾何提高了理論依據(jù).而高等幾何很抽象，初等幾何很直觀，結(jié)合兩者的特點(diǎn)及聯(lián)系，高等幾何的知識可以從初等幾何的角度進(jìn)行初步理解，從而讓學(xué)生理解起來更加的方便.例如在學(xué)習(xí)高等幾何中的定理：完全四點(diǎn)形的一對對邊被過此二邊交點(diǎn)的對邊三點(diǎn)形的兩邊調(diào)和分離.學(xué)生在初接觸這個(gè)定理時(shí)很難理解，不明白它要表示的是什么.因此，教師就要發(fā)揮自身的作用，教學(xué)生換一種形式去理解，即經(jīng)過對邊點(diǎn)X有一個(gè)調(diào)和直線組，其中一個(gè)對是過X的對邊a、b，另一對為過X的對邊三點(diǎn)形的兩邊c、d，另兩個(gè)對邊點(diǎn)也做類似的處理，這樣就將抽象的問題變?yōu)榱司唧w式的教學(xué)，使學(xué)生理解起來更加的輕松.

2.5 重視習(xí)題課教學(xué)

學(xué)生在課堂上掌握了高等幾何的基本內(nèi)容，對于較復(fù)雜的問題，學(xué)生往往是在課堂上聽得懂，課后做題就很困難，這說明了學(xué)生還沒有真正掌握高等幾何的概念，不能很好的進(jìn)行應(yīng)用.要解決這個(gè)問題，在習(xí)題課教學(xué)中教師首先要注意選取典型的例題.好的例題往往更容易啟發(fā)學(xué)生的思維，更容易培養(yǎng)學(xué)生自主運(yùn)用的能力，更容易讓學(xué)生記住.習(xí)題課的內(nèi)容主要將本課程的重點(diǎn)、難道進(jìn)行答疑，并將學(xué)生具有共性的問題進(jìn)行分析，因此，對于習(xí)題課上例題的選擇很重要.在選題的過程中要注意例題的代表性、典型性、針對性.并注意選取“一題多解”的例題進(jìn)行訓(xùn)練，讓學(xué)生從不同的角度對題目進(jìn)行分析、理解、掌握，從而真正的掌握到同一類題目的解題技巧.如在處理共點(diǎn)、共線、共圓的問題時(shí)，可以從平面幾何、解析幾何、高等幾何等多種角度進(jìn)行理解.類似這樣的例題還有很多種類型，它們能夠發(fā)散學(xué)生的思維，使學(xué)生能夠舉一反三，從而加深學(xué)生對高等幾何的理解.

高等幾何中的證明題的難度相對比較大，必須能夠靈活的運(yùn)用所學(xué)的知識，才能將其進(jìn)行論證.通過習(xí)題課上的講解，教師要教給學(xué)生解決問題的技巧，以便提高學(xué)生的解題能力.比如采用綜合法的解題思路，即從高等幾何的定義、公理、定理的角度進(jìn)行考慮，經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理來驗(yàn)證命題的正確性.這樣方法是從原因來導(dǎo)出結(jié)果的過程.在證明的過程中也可以利用分析法，即建立射影坐標(biāo)系，設(shè)立點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線方程，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而方便學(xué)生的得出結(jié)論.

3 結(jié)語

高等幾何有助于提高學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，為學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)科目奠定基礎(chǔ).在高等幾何的教學(xué)中，教師要明確教學(xué)目的，注重概念教學(xué)和習(xí)題課教學(xué)，加強(qiáng)對重點(diǎn)難點(diǎn)問題的教學(xué)，同時(shí)通過一定的努力，將抽象化的教學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w式的教學(xué)，提高學(xué)生對于高等幾何的理解.總之，教師需要不斷的加強(qiáng)理論知識的學(xué)習(xí)，掌握各個(gè)知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，研究學(xué)生易于接受的教學(xué)方法，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)高等幾何的積極性，這樣才能更好的提高高等幾何的教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)高等幾何教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展.

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1673-260 X（2013）10-0232-02