李文林

（中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，100190）

中國(guó)古代很早就有表示大數(shù)的名詞。《詩(shī)經(jīng)》“豐年”篇有“萬(wàn)億及秭”之說(shuō)，“億”“秭”就是兩個(gè)大數(shù)名。毛萇注進(jìn)一步解釋：“數(shù)萬(wàn)至萬(wàn)曰億，數(shù)億至萬(wàn)曰秭。”就是說(shuō)：“億”等于一萬(wàn)萬(wàn)，跟今天最常用的大數(shù)“億”一樣；“秭”等于一萬(wàn)億，應(yīng)該是由億逐次（十）進(jìn)位而得。東漢應(yīng)劭《風(fēng)俗通義》在萬(wàn)以上出現(xiàn)億、兆、經(jīng)（京）、垓、秭、選、載、極等名，相鄰兩數(shù)皆從十進(jìn)，即10億為兆，10兆為京，10京為垓，……依此類推。其中的“億”，按十進(jìn)位原則等于十萬(wàn)，與《詩(shī)經(jīng)》毛注有別。而毛注“萬(wàn)萬(wàn)曰億”的萬(wàn)進(jìn)法在公元3世紀(jì)時(shí)被延用到億以上大數(shù)：西晉杜預(yù)注《春秋》就規(guī)定“萬(wàn)萬(wàn)曰億，萬(wàn)億曰兆”；三國(guó)吳韋昭注《國(guó)語(yǔ)》則稱“萬(wàn)萬(wàn)兆曰垓”，是由兆萬(wàn)進(jìn)為京、京萬(wàn)進(jìn)為垓而來(lái)。因此，至公元3世紀(jì)，事實(shí)上已存在有十進(jìn)和萬(wàn)進(jìn)兩種大數(shù)記數(shù)法。

南北朝時(shí)期，我國(guó)的大數(shù)記法有了進(jìn)一步的發(fā)展，出現(xiàn)了以億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載十個(gè)字為基礎(chǔ)的大數(shù)名詞系統(tǒng)。這十個(gè)大數(shù)被稱為“十等”，按“等”之間的進(jìn)位關(guān)系又確定有三種大數(shù)記數(shù)法：下數(shù)、中數(shù)和上數(shù)。下數(shù)以十為進(jìn)，即秦漢以前通用的記法。中數(shù)“萬(wàn)萬(wàn)變之”，即萬(wàn)萬(wàn)進(jìn)，首見(jiàn)于公元4世紀(jì)的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》（該書(shū)中、下數(shù)并提）。上數(shù)“數(shù)窮則變”，即萬(wàn)萬(wàn)為億，億億為兆，兆兆為京……《數(shù)術(shù)記遺》①中始載?！稊?shù)術(shù)記遺》總括了上、中、下三種大數(shù)記法，并認(rèn)為“下數(shù)淺短，記事則不盡。上數(shù)宏廓，世不可用。故其傳業(yè)，惟以中數(shù)爾?！弊源酥了卧?，數(shù)學(xué)家多沿用中數(shù)法。明代程大位的《算法統(tǒng)宗》中有“大數(shù)”一節(jié)，所述大數(shù)記法，仍為萬(wàn)萬(wàn)進(jìn)中數(shù)法，只是在“載”之后又增添了“極”“恒河沙”“阿僧秪”“那由他”“不可思議”“無(wú)量數(shù)”等六個(gè)大數(shù)，這些新增名詞，顯然是從佛經(jīng)借鑒而來(lái)。

為了便于了解中國(guó)古代幾種主要大數(shù)記數(shù)法表達(dá)大數(shù)的功能，與現(xiàn)代科學(xué)記數(shù)法對(duì)照列表如下：

十等： （萬(wàn)）， 億， 兆， 京， 垓， 秭， 壤， 溝， 澗， 正， 載上數(shù)： （104） 108 1016 1032 1064 10128 10256 10512 101024 102048 104096中數(shù)： （104） 108 1016 1024 1032 1040 1048 1056 1064 1072 1080下數(shù)： （104） 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014萬(wàn)進(jìn)： （104） 108 1012 1016 1020 1024 1028 1032 1036 1040 1044

在上列不同的系統(tǒng)中，同一個(gè)名稱表示的大數(shù)是不同的。例如“兆”，下數(shù)相當(dāng)于百萬(wàn)，中數(shù)就是萬(wàn)萬(wàn)億了，而在萬(wàn)進(jìn)制中則為萬(wàn)億。這似乎易使人產(chǎn)生混亂的感覺(jué)（尤其當(dāng)辭書(shū)釋意未說(shuō)明該名詞屬哪一種大數(shù)系統(tǒng)時(shí)），其實(shí)是相對(duì)于不同的進(jìn)制而言?？傮w觀之，中國(guó)古代有著嚴(yán)整有序的大數(shù)記數(shù)系統(tǒng)，并具有強(qiáng)大的表示大數(shù)的功能，僅以上表中的第三等數(shù)“京”為例，即使在中數(shù)系統(tǒng)中已表示1024，而在上數(shù)系統(tǒng)中則已達(dá)1032。

綜上關(guān)于中國(guó)古代大數(shù)系統(tǒng)之論述，感到對(duì)目前大數(shù)的定名有以下啟示。

一、中國(guó)古代大數(shù)記數(shù)系統(tǒng)是古代文化珍品，當(dāng)前的大數(shù)定名可選擇、吸收其優(yōu)良元素，古為今用。同時(shí)也應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，科學(xué)計(jì)數(shù)法畢竟是最簡(jiǎn)明有效的大數(shù)表達(dá)工具。無(wú)論創(chuàng)造再多的大數(shù)名詞，面對(duì)現(xiàn)代科技、經(jīng)濟(jì)和生活中出現(xiàn)的越來(lái)越龐大的數(shù)字，也總會(huì)不敷應(yīng)用。即便在已有的大數(shù)名稱中，孤立地拿出一個(gè)來(lái)，比如“澗”，人們也很難對(duì)其大小有具體的概念。在這方面，程大位的看法不無(wú)借鑒，他在《算法統(tǒng)宗》中陳列大數(shù)名稱后指出：“自京垓以后世之罕用，亦不可廢，始存之?！?/p>

二、關(guān)于采用哪一種進(jìn)位系統(tǒng)的問(wèn)題，筆者認(rèn)為可以在中國(guó)沿用時(shí)間最長(zhǎng)的萬(wàn)萬(wàn)進(jìn)（中數(shù)系統(tǒng)）和萬(wàn)進(jìn)制中選擇。由前述可知，萬(wàn)萬(wàn)進(jìn)的中數(shù)系統(tǒng)中，至“京”已能表示達(dá)1024量級(jí)的大數(shù)，而萬(wàn)進(jìn)系統(tǒng)中同一名稱僅表示1016。另一方面，由于清代以來(lái)比較普遍地采用了萬(wàn)進(jìn)系統(tǒng)，人們對(duì)其更為熟悉。因此二者各有利弊，可在充分討論、權(quán)衡的基礎(chǔ)上擇善而從。

三、關(guān)于“兆”字的麻煩。無(wú)論是選擇萬(wàn)萬(wàn)進(jìn)的中數(shù)系統(tǒng)還是萬(wàn)進(jìn)系統(tǒng)，都將遇到與信息行業(yè)中“兆”字定義的沖突。眾所周知，隨著各種信息產(chǎn)品的流行，作為表示百萬(wàn)的“兆”字已深入千家萬(wàn)戶，如果改稱“百萬(wàn)”或其他的字，人們會(huì)感到很不習(xí)慣從而造成某種程度的混亂。但反過(guò)來(lái)，如果根據(jù)“百萬(wàn)為兆”的原則來(lái)確定大數(shù)名稱系統(tǒng)，那么從《詩(shī)經(jīng)》時(shí)代以來(lái)數(shù)千年人們習(xí)用的“萬(wàn)萬(wàn)為億”，就要變成“十萬(wàn)為億”，十三億人就要說(shuō)成一千三百億人或一百三十兆人，諸如此類，豈不要引起更大的混亂？因此筆者個(gè)人以為在目前的情況下，權(quán)宜之計(jì)是兩套系統(tǒng)暫時(shí)并存，但逐漸弱化表示百萬(wàn)的“兆”。實(shí)際上，信息產(chǎn)品使用的“兆”，實(shí)質(zhì)為字頭，而與其并列的其它字頭目前均是用外文字頭的漢語(yǔ)諧音字來(lái)表示之，如“吉”-G（Giga）、“太”-T（Tera），唯獨(dú)表示百萬(wàn)的Mega使用了中國(guó)古代大數(shù)名“兆”。逐漸弱化“兆”，突出縮寫(xiě)M，最終以一諧音字來(lái)替代，不失為一種過(guò)渡方案。

注釋

①傳本《數(shù)術(shù)記遺》卷首載：“漢徐岳撰，北周漢中郡守前司棣臣甄鸞注?！卞X寶琮考證認(rèn)為該書(shū)實(shí)乃甄鸞托名徐岳所作（《中國(guó)數(shù)學(xué)史》，科學(xué)出版社，1964）。徐岳，東漢末人，生平無(wú)考。甄鸞，生平亦不詳，既為北周（557—581）官吏，其活動(dòng)時(shí)代當(dāng)在公元6世紀(jì)。