廖理，張韜（1.四川大學(xué)通信與信息學(xué)院，成都610065；.西南電子電信技術(shù)研究所，成都610041）

波形未知信號(hào)時(shí)頻差參數(shù)的最大似然估計(jì)算法?

廖理1，??，張韜2
（1.四川大學(xué)通信與信息學(xué)院，成都610065；2.西南電子電信技術(shù)研究所，成都610041）

提出了波形未知確定信號(hào)時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)的最大似然算法，得出利用互模糊函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)此種信號(hào)條件下時(shí)頻差參數(shù)最大似然估計(jì)的結(jié)論，推導(dǎo)出了閉合形式的克拉美羅下界并對(duì)比了不同信號(hào)模型下的參數(shù)估計(jì)精度。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了估計(jì)算法和性能分析的正確性。

波形未知信號(hào)；時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)；最大似然算法；克拉美羅下界

1 引言

時(shí)頻差（TDOA／FDOA）參數(shù)估計(jì)技術(shù)因其應(yīng)用的廣泛性在近幾十年中得到了大量的研究。不同的應(yīng)用環(huán)境需要采用適當(dāng)?shù)臅r(shí)頻差參數(shù)估計(jì)問(wèn)題模型［1］，從而得出相應(yīng)的估計(jì)算法和性能下界。噪聲和信號(hào)是時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中由應(yīng)用環(huán)境直接決定的。目前研究的噪聲類型主要包括高斯白噪聲、高斯色噪聲、相關(guān)噪聲、沖激噪聲等，在實(shí)際應(yīng)用中，不相關(guān)高斯白噪聲仍然是最常見的，因此我們假設(shè)問(wèn)題模型中的噪聲是不相關(guān)的高斯白噪聲；信號(hào)類型主要包括波形隨機(jī)信號(hào)、波形已知信號(hào)和波形未知信號(hào)3種，波形隨機(jī)信號(hào)通常出現(xiàn)在主／被動(dòng)聲納、被動(dòng)雷達(dá)和傳輸環(huán)境復(fù)雜的數(shù)字通信中；波形已知信號(hào)通常出現(xiàn)在主動(dòng)雷達(dá)、導(dǎo)航以及有前導(dǎo)字的數(shù)字通信中；波形未知信號(hào)通常出現(xiàn)在被動(dòng)雷達(dá)、被動(dòng)定位中。波形隨機(jī)信號(hào)和波形已知信號(hào)的時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)問(wèn)題以及相應(yīng)的性能下界已經(jīng)在大量的文獻(xiàn)中得到了深入的研究：Stein［2］在頻域上得出了波形未知信號(hào)時(shí)頻差參數(shù)的最大似然估計(jì)算法，但沒(méi)有分析其性能下界；而Yeredor和Angel［3］利用離散傅里葉變換和時(shí)頻矩陣來(lái)表示兩路接收信號(hào)，得出了波形未知信號(hào)條件下時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)的Fisher信息矩陣（FIM），但沒(méi)有給出CRLB的閉合表達(dá)式；Weiss［4－6］分別討論了波形隨機(jī)和波形未知條件下的被動(dòng)定位問(wèn)題，給出了輻射源位置矢量的估計(jì)算法和相應(yīng)的CRLB。

本文利用最大似然原理在時(shí)域上推導(dǎo)了波形未知信號(hào)條件下時(shí)頻差參數(shù)的估計(jì)算法，其最終形式與互模糊函數(shù)峰值法一致。該算法還可同時(shí)給出其他未知參數(shù)（包括相對(duì)增益、相對(duì)相位偏移）和未知信號(hào)波形采樣的估計(jì)值。根據(jù)文獻(xiàn)［2，5］的思路得出波形未知信號(hào)條件下時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)CRLB的閉合表達(dá)式，最后比較了實(shí)際參數(shù)估計(jì)算法的性能與3種信號(hào)條件下的CRLB，并解釋了結(jié)果的物理意義。

全文結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)給出了時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型并詳細(xì)討論不同信號(hào)波形假設(shè)條件的意義，第3節(jié)得出波形未知條件下時(shí)頻差參數(shù)的最大似然估計(jì)算法，第4節(jié)計(jì)算波形未知條件下時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)CRLB的閉合表達(dá)式，第5節(jié)利用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證理論分析的正確性，最后一節(jié)總結(jié)全文。

2 問(wèn)題模型

不失一般性，時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)問(wèn)題中兩路接收信號(hào)的復(fù)基帶表達(dá)式為

其中，w1（t）和w2（t）是相互獨(dú)立的高斯白噪聲，其功率譜密度分別為N1和N2；a表示相對(duì)增益；φ表示相對(duì)相位偏移；τ和ω分別表示兩路信號(hào)的時(shí)差和頻差，s（t）是波形未知的確定信號(hào)，帶寬為B，觀測(cè)區(qū)間為－T／2≤t＜T／2，且觀測(cè)時(shí)間T滿足τ?T和BT?1，即觀測(cè)時(shí)間遠(yuǎn)大于兩路信號(hào)的時(shí)差以及信號(hào)的相干時(shí)間。如果w1（t）＝0，即第一路信號(hào)不含噪聲（這種情況發(fā)射在波形信號(hào)已知或者可接收到理想?yún)⒖夹盘?hào)條件下），則r1（t）＝s（t），此時(shí)波形未知信號(hào)時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為波形已知信號(hào)時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，因此后者可作為前者的特例。

將兩路接收信號(hào)離散化，設(shè)采樣間隔為Ts≥1／2B，采樣點(diǎn)數(shù)為N，則兩路接收信號(hào)的離散表達(dá)式為

其中，－N／2≤n＜N／2－1，噪聲采樣值序列{wi[n]，i＝1，2}是相互獨(dú)立的平穩(wěn)隨機(jī)變量，其均值為零，方差為＝Ni／Ts，兩路信號(hào)采樣值分別為s[n]＝s(nTs)、]＝s(nTs－τ)。定義信號(hào)和噪聲矢量：

其中兩路接收信號(hào)的噪聲協(xié)方差矩陣為Λ1＝σ21·I和Λ2＝σ22·I，時(shí)頻移矩陣Q＝DvFHDτF滿足關(guān)系式

3 最大似然估計(jì)算法

由上述定義可知，接收信號(hào)矢量r的對(duì)數(shù)似然函數(shù)

其中，C表示與待估參數(shù)矢量無(wú)關(guān)的常數(shù)值。因此待估參數(shù)矢量ξ的最大似然估計(jì)為

將其代入L（ξ）的表達(dá)式可得

其中，C1是與待估參數(shù)矢量無(wú)關(guān)的值，相位ψ＝arg(最大化L(ξ)等價(jià)于最大化L1(ξ)，而最大化L1(ξ)可通過(guò)選擇τ和v使最大，然后選擇相位偏移φ＝arg(r將上述估計(jì)值代入L1(ξ)選擇a使其后兩項(xiàng)之和最大。將這些估計(jì)值代入s的表達(dá)式可以得到信號(hào)樣值序列的估計(jì)。將矩陣Q的表達(dá)式代入歸一化后的目標(biāo)函數(shù)可得

其中，CAF（τ，ω）表示兩路接收信號(hào)的互模糊函數(shù)，所以有時(shí)頻差參數(shù)的最大似然估計(jì)

因此，波形未知信號(hào)時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)可通過(guò)確定兩路接收信號(hào)互模糊函數(shù)的峰值位置來(lái)實(shí)現(xiàn)，這與Stein［2］的結(jié)論是一致的。

4 性能分析

CRLB由于其計(jì)算簡(jiǎn)單、物理意義清晰而在參數(shù)估計(jì)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，它表示在一定的條件下參數(shù)估計(jì)的方差可能達(dá)到的最小值。不同的信號(hào)模型和先驗(yàn)信息會(huì)導(dǎo)致同一問(wèn)題具有不同的CRLB。文獻(xiàn)［3］得出了波形未知信號(hào)參數(shù)矢量ζ＝［φ，τ，ω］T的Fisher信息矩陣為

注意，上述Fisher信息矩陣中某些項(xiàng)多了系數(shù)Ts，這是由于文獻(xiàn)［10］中假設(shè)了Ts＝1并且使用了歸一化頻差，而本文沒(méi)有采用這一假設(shè)導(dǎo)致的。

下面推導(dǎo)在此條件下時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)CRLB的閉合表達(dá)式。定義信號(hào)能量為

兩路接收信號(hào)的信噪比分別為SNR1＝Es／N1和SNR2＝a2Es／N2。當(dāng)觀測(cè)區(qū)間趨于無(wú)窮即T→∞時(shí)利用時(shí)頻變量的定義可得

將上述表達(dá)式代入Fisher信息矩陣有

該表達(dá)式與波形已知條件下單路信號(hào)時(shí)延頻偏參數(shù)估計(jì)的CRLB的形式相同，只是等效信噪比的定義不同。也就是說(shuō)，只要是確定信號(hào)，波形是否已知不影響時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)的精度。同時(shí)，功率譜密度函數(shù)在通帶范圍內(nèi)為常數(shù)的隨機(jī)信號(hào)時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)的CRLB也可表示為這種形式，其中的時(shí)頻參數(shù)由信號(hào)的功率譜密度函數(shù)定義，等效信噪比滿足

5 仿真結(jié)果

仿真采用的源信號(hào)表達(dá)式為

其中選擇參數(shù)tc＝1，ωc＝1和μ＝1。

為簡(jiǎn)單起見，設(shè)置兩路接收信號(hào)相對(duì)幅度a＝1，相對(duì)相移φ＝0，時(shí)差τ＝0和頻差v＝0，并假設(shè)信號(hào)在傳輸過(guò)程中受到加性高斯白噪聲的影響，這種假設(shè)符合實(shí)際工程系統(tǒng)中各接收機(jī)距離較遠(yuǎn)時(shí)的噪聲條件。同時(shí)假設(shè)每路信號(hào)信噪比相同，統(tǒng)計(jì)結(jié)果基于100次最大似然參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)。圖1和圖2分別顯示了時(shí)差和頻差參數(shù)估計(jì)CRLB隨輸入信噪比的變化曲線以及實(shí)際參數(shù)估計(jì)精度隨輸入信噪比的變化曲線。為方便比較，同時(shí)給出了單路時(shí)延頻偏參數(shù)估計(jì)的CRLB和相同時(shí)頻參數(shù)條件下隨機(jī)信號(hào)時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)的CRLB。從圖中可以看出，在高信噪比條件下時(shí)頻差參數(shù)的最大似然估計(jì)與CRLB接近而在低信噪比條件下相差很大，這說(shuō)明CRLB是一種漸進(jìn)的性能下界。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明了算法和性能分析的正確性。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文從波形未知信號(hào)的離散表達(dá)式入手，推導(dǎo)了此種情況下兩路接收信號(hào)的時(shí)頻差參數(shù)最大似然估計(jì)可以利用通常的互模糊函數(shù)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，同時(shí)在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)出波形未知信號(hào)時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)CRLB的閉合表達(dá)式，得出其性能下界與波形已知信號(hào)條件下的性能下界相同，即信號(hào)波形的先驗(yàn)信息不影響時(shí)頻差參數(shù)估計(jì)精度的結(jié)論，最后利用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

［1］Fowler ML，Hu Xi.SignalModels for TDOA／FDOA Estimation［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2008，44（4）：1543－1550.

［2］Stein S.Differential Delay／Doppler ML Estimation with Unknown Signals［J］.IEEE Transactons on Signal Processing，1993，41（8）：2717－2719.

［3］Yeredor A，Angel E.Joint TDOA and FDOA Estimation：A Conditional Bound and Its Use for OptimallyWeighted Localization［J］.IEEE Transactons on Signal Processing，2011，59（4）：1612－1623.

［4］Weiss A J.Direct Geolocation of Wideband Emitters Based on Delay and Doppler［J］.IEEE Transactons on Signal Processing，2011，59（6）：2513－2521.

［5］Amar A，Weiss A J.Localization of Narrowband Radio Emitters Based on Doppler Frequency Shifts［J］.IEEE Transactons on Signal Processing，2008，56（11）：5500－5508.

［6］Weiss A J，Amar A.Direct Geolocation of Stationary Wideband Radio Signal Based on Time Delays and Doppler Shifts［C］／／Proceedings of 2009 IEEE／SP 15th Workshop on Statistical Signal Processing.Cardiff：IEEE，2009：101－104.

LIAO Li was born in Ziyang，Sichuan Province，in 1982.He is now an engineer with the M.S.degree.His research concerns statistical signal processing and parameter estimation.

Email：liaoli1982＠hotmail.com

張韜（1981—），男，四川巴中人，博士，工程師，主要研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)信號(hào)處理。

ZHANG Tao was born in Bazhong，Sichuan Province，in 1981. He is now an engineer with the Ph.D.degree.His research concerns statistical signal processing.

A Maximum-Likelihood AlgorithMfor TDOA／FDOA Estimation of Unknown DeterMinistic Signals

LIAO Li1，ZHANG Tao2
（1.School of Communication and Information，Sichuan University，Chengdu 610065，China；2.Southwest Research Institute of Electronic and Telecommunication Technology，Chengdu 610041，China）

A Maximum-Likelihood algorithMfor TDOA／FDOA estimation ofunknown deterministic signals is proposed.It is shown that the algorithMleads calculation of the complex ambiguity function.The parameter estimation lower bound is calculated and compared in different signalmodels.Simulations are provided to support the theoretical results.

unknown deterministic signals；TDOA／FDOA estimation；maximum-likelihood algorithm；cramer-rao lower bound（CRLB）

date：2013－01－22；Revised date：2013－04－17

??通訊作者：liaoli1982＠hotmail.coMCorresponding author：liaoli1982＠hotmail.com

TN911；TN971.1

A

1001－893X（2013）06－0735－04

廖理（1982—），男，四川資陽(yáng)人，碩士，工程師，主要研究方向是統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理和參數(shù)估計(jì)；

10.3969／j.issn.1001－893x.2013.06.012

2013－01－22；

2013－04－17