張文福，杜 娟，劉迎春，李 琛，任亞文

（1．東北石油大學(xué)防災(zāi)減災(zāi)工程及防護(hù)工程省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江大慶 163318；2．東北石油大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，黑龍江大慶 163318）

索桁架組合體系的固有振動(dòng)能量變分解

張文福1，2，杜 娟1，2，劉迎春1，2，李 琛1，2，任亞文1，2

（1．東北石油大學(xué)防災(zāi)減災(zāi)工程及防護(hù)工程省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江大慶 163318；2．東北石油大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，黑龍江大慶 163318）

索桁架組合體系與普通梁板結(jié)構(gòu)不同，需要考慮索力增量，振動(dòng)特性較為復(fù)雜．首先，采用Timoshenko梁的連續(xù)化模型模擬桁架梁，推導(dǎo)桁架梁的等代抗彎剛度；采用能量變分法，分析索桁架組合體系固有振動(dòng)，給出索桁架組合體系豎向振動(dòng)頻率解析解；分析770m跨度索桁架組合體系、900m跨度索桁架組合體系和1 200m跨度索桁架組合體系，與有限元ANSYS分析結(jié)果對(duì)比，誤差在10%以?xún)?nèi)．該方法公式較簡(jiǎn)單、精度較高，可為索桁架組合體系的工程設(shè)計(jì)提供參考．

固有振動(dòng)；能量變分法；索桁架組合體系；Timoshenko梁；有限元

0 引言

索桁架結(jié)構(gòu)具有受力合理、施工方便、用料經(jīng)濟(jì)、造型簡(jiǎn)單、靈活、經(jīng)濟(jì)等優(yōu)點(diǎn)，在大跨空間結(jié)構(gòu)中得到迅速發(fā)展，隨著跨度的不斷增大，索桁架結(jié)構(gòu)變得輕柔化，抗風(fēng)成為首要問(wèn)題．人們研究單索、雙層索及勁性索，張文福、沈世釗等利用能量變分法原理，給出雙層索在均布荷載、三角形荷載和對(duì)稱(chēng)三角形荷載作用下的撓度近似公式，并對(duì)單向勁性索結(jié)構(gòu)進(jìn)行固有振動(dòng)分析，提出單向勁性索結(jié)構(gòu)自振頻率的計(jì)算公式；此外，還將雙曲拋物面索網(wǎng)中的穩(wěn)定索與承重索用勁性索代替，形成勁性索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，基于能量變分法和Rayleigh法提出勁性索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型的簡(jiǎn)化計(jì)算公式［1—5］．Isabella Vassilopouloufe等建立多自由度的鞍形索網(wǎng)模型，并分析固有頻率和振型［6］．Kassimali A等分析索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在對(duì)稱(chēng)荷載和非對(duì)稱(chēng)荷載作用下的非線(xiàn)性位移響應(yīng)和剛度性能［7］．對(duì)于索和梁的組合結(jié)構(gòu)，魏明海等利用Hamilton原理推導(dǎo)索—梁組合結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程，同時(shí)考慮索的垂度及由梁和索之間模態(tài)耦合引起的非線(xiàn)性影響，利用Galerkin方法將索—梁組合結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)偏微分方程離散為一組常微分方程［8］．對(duì)于索桁架結(jié)構(gòu)，李春光等以矮寨大橋?yàn)槔?，通過(guò)懸臂位移法反算得到主梁的等效剛度特性，設(shè)計(jì)桁式加勁梁懸索橋氣彈模型，反映主跨結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)［9］．岳更新也以矮寨大橋?yàn)槔肁NSYS有限元軟件建立整體結(jié)構(gòu)的三維分析模型并進(jìn)行動(dòng)力特性分析，給出橫向、豎向、主纜、扭轉(zhuǎn)及耦合振動(dòng)的頻率和振型［10］．白樺等以劉家峽大橋?yàn)槔?，研究采取?dǎo)流板、中央穩(wěn)定板、封閉防護(hù)欄等氣動(dòng)措施組合對(duì)鋼桁架懸索橋顫振穩(wěn)定性的影響［］．

鑒于對(duì)索桁架的固有振動(dòng)研究較少，筆者采用能量變分法分析桁架的固有振動(dòng)，推導(dǎo)索桁架的各階豎向振動(dòng)頻率解析解，并利用ANSYS有限元軟件對(duì)幾種不同跨度的索桁架模型進(jìn)行計(jì)算，對(duì)兩種方法求得的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明誤差在10%以?xún)?nèi)．

1 等效力學(xué)模型

（1）在推導(dǎo)索梁結(jié)構(gòu)計(jì)算理論時(shí)，采用假設(shè)［1—5］：①索是理想柔性的，既不受壓，也不抗彎；②索是小垂度的，索的材料符合胡克定律；③索左右支座為固定鉸支座，梁為簡(jiǎn)支梁；④連接索與梁的吊桿為剛性桿，不會(huì)發(fā)生軸向變形（見(jiàn)圖1，其中L為索桁架長(zhǎng)度）．

（2）當(dāng)梁采用格構(gòu)式構(gòu)件時(shí)，為簡(jiǎn)化計(jì)算并進(jìn)行連續(xù)化處理，建立桁架梁的連續(xù)化模型，采用假設(shè)：①梁的材料符合胡克定律；②沿梁長(zhǎng)度方向的網(wǎng)格設(shè)置相當(dāng)稠密，數(shù)目一般在5以上；③彎矩和軸力主要由上弦桿和下弦桿承擔(dān)，剪力主要由斜腹桿承受；④梁以豎向振動(dòng)為主，并且振動(dòng)是微幅的．

桁架梁的剪切變形對(duì)剛度的影響較大，為了更好地模擬桁架梁的動(dòng)力特性，采用雙變量的Timoshen—ko梁［12］模型，即假設(shè)垂直于軸線(xiàn)的直線(xiàn)段變形后仍為直線(xiàn)，不再垂直于軸線(xiàn)，而是在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，又與Euler梁理論不同，θ＝?w／?x，即產(chǎn)生一個(gè)剪切角γ＝?w／?x—θ（見(jiàn)圖2），將此類(lèi)桁架梁連續(xù)化為具有兩個(gè)廣義位移未知量的Timoshenko梁模型，其中w為位移，θ為轉(zhuǎn)動(dòng)角度，γ為剪切角．

圖1 索桁架結(jié)構(gòu)示意Fig．1 Schematic diagram of cable—truss structure

圖2 桁架梁剪切角示意Fig．2 Shear angle schematic diagram

對(duì)于桁架梁（見(jiàn)圖1），首先確定桁架梁的等代抗彎剛度［13—14］．在沿梁的長(zhǎng)度方向任取一平面桁架單元（見(jiàn)圖3（a）），假設(shè)等代實(shí)體梁?jiǎn)卧目箯潉偠葹镋Ieq（見(jiàn)圖3（b）），在一對(duì)彎矩M單獨(dú)作用下，等代實(shí)體梁?jiǎn)卧獞?yīng)變能Ubeam為

圖3 在彎矩作用下的平面桁架與等代實(shí)體梁?jiǎn)卧狥ig．3 Element of plane truss and equivalent entities beam under moment

根據(jù)（2）中的假設(shè)③，彎矩主要由上、下弦桿承擔(dān)，可得平面桁架梁?jiǎn)卧獞?yīng)變能Utruss為

式（1—2）中：E為材料的彈性模量；Aa、Ab分別為上、下弦桿的截面面積；h、s分別為桁架梁的高度和節(jié)間距離．

根據(jù)等代實(shí)體梁?jiǎn)卧獞?yīng)變能與平面桁架梁?jiǎn)卧嗟仍瓌t，可得桁架梁?jiǎn)卧牡却箯潉偠葹?/p>

根據(jù)索曲線(xiàn)，確定索的幾何伸長(zhǎng)（假定跨度不變），在初始狀態(tài)和振動(dòng)狀態(tài)下，索長(zhǎng)度的表達(dá)式［1］分別為

從初始狀態(tài)到振動(dòng)狀態(tài)，整根索的總伸長(zhǎng)度Δs的表達(dá)式為對(duì)于小垂度索，與1相比是小量，利用Taylor級(jí)數(shù)將式（4）根號(hào)項(xiàng)展開(kāi)，若取前2項(xiàng)，則式（4）變?yōu)?/p>

2 固有振動(dòng)分析

2．1 能量變分法

假設(shè)索桁架一起振動(dòng)，并且只發(fā)生豎向振動(dòng)，設(shè)索桁架的振動(dòng)位移函數(shù)為

式（5—6）中：W（x）為振型函數(shù)，

索的狀態(tài)曲線(xiàn)為

將式（8）代入式（5），索的總伸長(zhǎng)度可簡(jiǎn)化為

索的應(yīng)變能為

式中：H0Δs為索力增量產(chǎn)生的應(yīng)變能；H0為索的水平拉力；EcAc為索的拉伸剛度．式（10）忽略后2項(xiàng)的影響．

索的荷載勢(shì)能為桁架梁的應(yīng)變能為

式中：EIeq為梁的豎向抗彎剛度．索桁架的總動(dòng)能為

式中：ˉm為索、桁架單位長(zhǎng)度的總質(zhì)量．索桁架結(jié)構(gòu)的總能量方程為

式中：U為結(jié)構(gòu)總的應(yīng)變能；V為結(jié)構(gòu)總的荷載勢(shì)能．

將式（6）代入式（14），根據(jù)瑞雷原理和勢(shì)能駐值原理［15］?∏／?Am＝0，可得：

方程（15）的反對(duì)稱(chēng)振動(dòng)展開(kāi)式（m，i＝2，4，6，…p）為

求解式（16）可得反對(duì)稱(chēng)豎向振動(dòng)頻率為

運(yùn)用MATHEMATIC軟件求解方程，得出各階正對(duì)稱(chēng)振動(dòng)頻率；然后將各階正對(duì)稱(chēng)頻率代入式（18），得到系數(shù)矩陣；再將系數(shù)代入振型函數(shù)，求出各階正對(duì)稱(chēng)振型．也可以采用手算方法求出各階正對(duì)稱(chēng)振動(dòng)頻率．選取2個(gè)正弦函數(shù)組合，設(shè)振型函數(shù)表達(dá)式為

推導(dǎo)過(guò)程與式（8—18）類(lèi)似，可得正對(duì)稱(chēng)振動(dòng)簡(jiǎn)化的振動(dòng)方程為

故頻率方程為

解式（21）可得正對(duì)稱(chēng)豎向振動(dòng)的頻率為

將ω1和ωi代入方程（20）可得系數(shù)A1和Ai，將A1和Ai代入振型函數(shù)式（19）可得正對(duì)稱(chēng)振動(dòng)的各階振型．

2．2 ANSYS有限元法

選取4種跨度索桁架模型進(jìn)行有限元分析［16］，與能量變分法求得的理論解進(jìn)行對(duì)比，模型參數(shù)見(jiàn)表1．跨度分別取770、900、1 200m．在有限元分析時(shí)，索和吊桿采用LINK10單元，桁架梁采用LINK180單元．

利用有限元法（FEM）和能量變分法分析770、900、1 200m跨度的索桁架，得到正對(duì)稱(chēng)豎向振動(dòng)頻率和反對(duì)稱(chēng)豎向振動(dòng)頻率（見(jiàn)表2和表3）．由表2和表3可以看出，對(duì)于前3階頻率，采用能量變分法分析得到的結(jié)果比采用有限元法分析得到的結(jié)果稍?。粚?duì)于第四階頻率到第八階頻率，采用能量變分法分析得到的結(jié)果比采用有限元法分析得到的結(jié)果稍大，但是誤差都在10%以?xún)?nèi)．

表1 索桁架結(jié)構(gòu)的參數(shù)Table 1 The parameters of cable—truss structure

表2 索桁架結(jié)構(gòu)的正對(duì)稱(chēng)豎向振動(dòng)頻率Table 2 The symmetric vertical vibration frequency of cable—truss structure Hz

表3 索桁架結(jié)構(gòu)的反對(duì)稱(chēng)豎向振動(dòng)頻率Table 3 Anti—symmetric vertical vibration frequency of cable—truss structure Hz

3 結(jié)論

（1）通過(guò)建立Timoshenko梁的連續(xù)化模型模擬桁架梁，推導(dǎo)桁架梁的等代抗彎剛度，基于能量變分法原理給出索桁架的豎向振動(dòng)頻率解析解．

（2）分析770m跨度索桁架、900m跨度索桁架和1 200m跨度索桁架，將豎向振動(dòng)頻率解析解與有限元分析得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果誤差在10%以?xún)?nèi)，說(shuō)明能量變分法可以較好地分析索桁架的動(dòng)力特性．

（3）文中給出的頻率解析解實(shí)用、簡(jiǎn)潔、精度高，可供索桁架結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)設(shè)計(jì)與抗震設(shè)計(jì)參考．

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TU311

A

2095—4107（2013）05—0103—06

DOI 10．3969／j．issn．2095—4107．2013．05．015

2013—05—13；編輯：任志平

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51178087）；黑龍江省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目（12511z004）

張文福（1965—），男，博士，教授，主要從事結(jié)構(gòu)工程、抗風(fēng)與抗震方面的研究．

方程（15）的正對(duì)稱(chēng)振動(dòng)展開(kāi)式（m，i＝1，3，5，…p）：