李新翼，鄭海鷹

（溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035）

廣義指數(shù)分布場合下簡單步進應力加速壽命試驗的最優(yōu)設(shè)計

李新翼，鄭海鷹?

（溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035）

對加速壽命試驗進行最優(yōu)設(shè)計，不僅可以使產(chǎn)品的各種可靠性指標獲得更準確的估計，而且也能夠節(jié)省試驗的時間和費用.針對簡單步進應力加速壽命試驗，以在正常應力水平下給定時間可靠性估計的漸進方差最小為標準，提出了定時截尾場合下，廣義指數(shù)分布函數(shù)步進應力加速壽命試驗的優(yōu)化設(shè)計模型，并通過理論推導，得到了相應的優(yōu)化設(shè)計方案.

加速壽命試驗；廣義指數(shù)分布；漸近方差；最優(yōu)設(shè)計

由于制造設(shè)計的持續(xù)改進，高壽命、高可靠性的電子產(chǎn)品越來越多，應用也越來越廣泛，對于這些高可靠性的產(chǎn)品或材料的壽命，想通過在正常條件下的測試來獲得有關(guān)產(chǎn)品的壽命信息是非常困難的.例如[1]，不少電子器件的壽命很長，在正常工作溫度40℃下可達數(shù)百萬小時以上，若取1 000個這樣的電子器件，進行數(shù)萬小時的試驗，可能也只有一兩個失效，甚至沒有一個失效，這些對產(chǎn)品的可靠性評估是非常不利的.假如我們把工作溫度由40℃提高到60℃，甚至80℃，只要失效機理不變，由于工作環(huán)境變得惡劣，電子器件的失效個數(shù)會增多，這對評估高溫下的可靠性指標是很有利的，這種在超過正常應力水平下的壽命試驗稱為加速壽命試驗.

加速壽命試驗方法主要有三種：一是恒定應力加速壽命試驗，簡稱恒加試驗；二是步進應力加速壽命試驗，簡稱步加試驗；三是序進應力加速壽命試驗，簡稱序加試驗.陳文華[2]從試驗時間和試驗樣本量上對三種加速壽命試驗進行了比較，發(fā)現(xiàn)步進加速壽命試驗具有試驗樣本失效快、所需樣本量小、試驗設(shè)備簡單等優(yōu)點，因此，步進加速壽命試驗的應用更為廣泛.

有關(guān)加速試驗的最優(yōu)化問題最早是由H.Chernoff于1962年提出的.R.Miller和W.B.Nelso[3]應用極大似然法討論了步加試驗的最優(yōu)設(shè)計，茆詩松[4]應用線性估計方法討論了簡單步加試驗的優(yōu)化設(shè)計.所謂最優(yōu)化問題就是在加速壽命試驗中，確定各個應力水平下的試驗樣本數(shù)和每個應力水平下的截尾時間，從而使正常應力水平下某種特定參數(shù)的估計量的方差達到最小.通常情況下，我們以對數(shù)平均壽命的極大似然估計（MLE）漸進方差或者對數(shù)分位點的MLE的漸進方差達到最小為標準.本文將在定時截尾場合下，建立壽命分布服從廣義指數(shù)分布的簡單步進應力加速壽命模型，并以在正常的應力水平下，在給定時間ζ，可靠性估計的漸進方差最小為標準來討論試驗方案的優(yōu)化設(shè)計問題.

1 簡單步進應力加速壽命試驗

1.1 加速試驗方案

假設(shè)初期n 個獨立同分布的電子器件在應力水平為S1下進行加速壽命試驗，當試驗進行到時間τ時，把應力水平增加到S2，試驗繼續(xù)，直到全部部件都失效或者達到預先設(shè)定的結(jié)尾時間T.n1表示從試驗開始到τ時失效的器件數(shù)，n2表示從時間τ到結(jié)尾時間T失效的部件數(shù).根據(jù)試驗方案，在加速壽命試驗中能夠觀察到電子器件的失效時刻，從而可以得到一組觀測值：1.2 加速試驗方案的模型假設(shè)

假設(shè)1 在簡單步加應力加速壽命試驗中，兩個加速應力記為S1和S2（S1＜S2），S0是正常情況下的應力水平.

假設(shè)2 在任何應力水平下，產(chǎn)品的壽命都服從廣義指數(shù)分布，其分布函數(shù)為：

其中c 是形狀參數(shù)，θi是尺度參數(shù).

假設(shè)3 尺度參數(shù)θi與應力水平Si有如下對數(shù)線性關(guān)系：

這里的0β和1β是未知參數(shù)，取決于試驗樣品的性質(zhì)和測試方法.

假設(shè)4 累計失效模型：產(chǎn)品的剩余壽命僅依賴于當時已累積的失效部分及當時的應力水平,而與累積的方式無關(guān).

假設(shè)4可以認為是：在應力水平Si下，產(chǎn)品工作ti時間內(nèi)累積失效的概率Fi（ti），相當于此種產(chǎn)品在應力水平Sj下工作tij時間內(nèi)累積失效的概率，即Fi（ti）=Fj（tij），其中i≠j，從概率角度看，在應力水平Si下產(chǎn)品工作時間ti相當于在應力水平Sj下工作時間tij.

根據(jù)累計失效模型，簡單步進加速試驗下產(chǎn)品的累積分布函數(shù)為：

根據(jù)式（2）、（4）、（5）可得：

進而可得概率密度函數(shù)為：

2 用于加速壽命試驗的極大似然理論

2.1 參數(shù)的極大似然估計

在加速壽命試驗參數(shù)估計分析中，極大似然估計法是最重要和應用最廣泛的參數(shù)估計方法.由（1）式可以得到似然函數(shù)：

通常情況下，比較容易得到的是自然對數(shù)似然函數(shù)的最大化，而不是似然函數(shù)本身，因此，對數(shù)似然函數(shù)為：

對數(shù)似然函數(shù)分別對β0、β1和c求一階偏導數(shù)，并令一階偏導數(shù)等于零：

其中，

2.2 Fisher信息矩陣

由于信息矩陣為似然函數(shù)負二階偏導數(shù)矩陣的數(shù)學期望，想得到確切的上述期望的數(shù)學表達式是非常困難的，根據(jù)文獻[5]，信息矩陣元素似然函數(shù)負二階偏導數(shù)矩陣的數(shù)學期望可用負二階偏導數(shù)的值來近似，即：

3 簡單步進應力加速壽命試驗的優(yōu)化設(shè)計

在簡單步進加速壽命試驗中，通過對試驗方案的優(yōu)化找到最優(yōu)的試驗應力水平和應力變化點，可以達到節(jié)約試驗成本、提高統(tǒng)計精度的目的.最優(yōu)設(shè)計標準一般是以設(shè)定應力下對數(shù)平均壽命的MLE的漸近方差最小為標準，或以設(shè)定應力下對數(shù)分位點的MLE的漸近方差最小為標準，例如，文獻[6]以設(shè)定應力下平均壽命的極大似然估計的漸近方差最小作為優(yōu)化標準.但是，對于廣義指數(shù)分布，在設(shè)定應力下平均壽命是很難得到的，考慮到可靠性函數(shù)和故障平均時間的關(guān)系，即MTTF=R（t）dt ，本文以在正常應力水平下，在給定時間ζ，可靠性估計的漸進方差最小為優(yōu)化標準，因此，最優(yōu)設(shè)計的關(guān)鍵是要求在正常的應力水平下，在給定時間ζ，可靠性估計的漸進方差達到最小.

在正常的應力水平下，在給定時間ζ，可靠性估計的極大似然估計是：

在正常的應力水平下，在給定時間ζ，可靠性估計的漸進方差為：

式中H為：

試驗方案的最優(yōu)設(shè)計方法就是：對于給定的時間ζ、n、截尾時間T、應力水平S1和S2以及、和?的值，求出正常應力水平S0和應力變化點τ的值，使得AV（）達到最小.

4 結(jié) 語

本文主要討論了簡單步進應力加速壽命試驗方案優(yōu)化設(shè)計的準則和方法，并建立了在定時截尾場合下簡單步進應力加速壽命試驗方案優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型，最后給出了試驗方案的最優(yōu)設(shè)計方法.

[1] 茆詩松, 王玲玲.加速壽命試驗[M].北京：科學出版社, 1997：3.

[2] 陳文華, 劉俊俊, 潘駿, 等.步進應力加速試驗方案優(yōu)化設(shè)計理論與方法[J].機器工程學報, 2010, 46（10）：182-187.

[3] Miller R, Nelson W B.Optmum simple step-strees plans for accelerated life testing [J].IEEE Trans on Reliability, 1983, R32（1）：59.

[4] 茆詩松.簡單步進應力加速壽命試驗及最優(yōu)設(shè)計[J].應用概率統(tǒng)計, 1989, 15（2）：173-179.

[5] Cohen A C.Maximum likelihood estimation in the weibull distribution based on complete and on censored samples [J].Technometrics, 1965, 7（4）：579-588.

[6] 施方, 葛廣平.Weibull分布場合下簡單步進應力加速壽命試驗的最優(yōu)設(shè)計[J].上海大學學報：自然科學版, 1998, 4（3）：248-249.

The Optimal Design for the Accelerated Life Tests of Simple Step-stress under Generalized Exponential Distributions

LI Xinyi, ZHENG Haiying
（School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035）

The optimal design of accelerated life test can not only make a variety of product reliability indexes obtain a more accurate estimate, but also can save the time and cost of the test.In view of simple step-stress tests for accelerated life, optimization criterion being defined as minimizing the AV of the reliability estimate at a specified time under normal operating condition, optimal design model is proposed of generalized exponential distribution function under step stress accelerated life tests based on Type I censoring.Through the theoretical derivations, the corresponding optimal design plan is obtained.

Accelerated Life Tests；Generalized Exponential Distributions；Asymptotic Variance；Optimal Design

O213

A

1674-3563（2013）04-0012-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.04.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：王一芳）

2012-12-27

李新翼（1987- ），男，安徽合肥人，碩士研究生，研究方向：應用統(tǒng)計.? 通訊作者，wzzhying@163.com