李新翼，鄭海鷹

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

廣義指數(shù)分布場合下簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)

李新翼，鄭海鷹?

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

對(duì)加速壽命試驗(yàn)進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)，不僅可以使產(chǎn)品的各種可靠性指標(biāo)獲得更準(zhǔn)確的估計(jì)，而且也能夠節(jié)省試驗(yàn)的時(shí)間和費(fèi)用.針對(duì)簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)，以在正常應(yīng)力水平下給定時(shí)間可靠性估計(jì)的漸進(jìn)方差最小為標(biāo)準(zhǔn)，提出了定時(shí)截尾場合下，廣義指數(shù)分布函數(shù)步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并通過理論推導(dǎo)，得到了相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案.

加速壽命試驗(yàn)；廣義指數(shù)分布；漸近方差；最優(yōu)設(shè)計(jì)

由于制造設(shè)計(jì)的持續(xù)改進(jìn)，高壽命、高可靠性的電子產(chǎn)品越來越多，應(yīng)用也越來越廣泛，對(duì)于這些高可靠性的產(chǎn)品或材料的壽命，想通過在正常條件下的測試來獲得有關(guān)產(chǎn)品的壽命信息是非常困難的.例如[1]，不少電子器件的壽命很長，在正常工作溫度40℃下可達(dá)數(shù)百萬小時(shí)以上，若取1 000個(gè)這樣的電子器件，進(jìn)行數(shù)萬小時(shí)的試驗(yàn)，可能也只有一兩個(gè)失效，甚至沒有一個(gè)失效，這些對(duì)產(chǎn)品的可靠性評(píng)估是非常不利的.假如我們把工作溫度由40℃提高到60℃，甚至80℃，只要失效機(jī)理不變，由于工作環(huán)境變得惡劣，電子器件的失效個(gè)數(shù)會(huì)增多，這對(duì)評(píng)估高溫下的可靠性指標(biāo)是很有利的，這種在超過正常應(yīng)力水平下的壽命試驗(yàn)稱為加速壽命試驗(yàn).

加速壽命試驗(yàn)方法主要有三種：一是恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)，簡稱恒加試驗(yàn)；二是步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)，簡稱步加試驗(yàn)；三是序進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)，簡稱序加試驗(yàn).陳文華[2]從試驗(yàn)時(shí)間和試驗(yàn)樣本量上對(duì)三種加速壽命試驗(yàn)進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)步進(jìn)加速壽命試驗(yàn)具有試驗(yàn)樣本失效快、所需樣本量小、試驗(yàn)設(shè)備簡單等優(yōu)點(diǎn)，因此，步進(jìn)加速壽命試驗(yàn)的應(yīng)用更為廣泛.

有關(guān)加速試驗(yàn)的最優(yōu)化問題最早是由H.Chernoff于1962年提出的.R.Miller和W.B.Nelso[3]應(yīng)用極大似然法討論了步加試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，茆詩松[4]應(yīng)用線性估計(jì)方法討論了簡單步加試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì).所謂最優(yōu)化問題就是在加速壽命試驗(yàn)中，確定各個(gè)應(yīng)力水平下的試驗(yàn)樣本數(shù)和每個(gè)應(yīng)力水平下的截尾時(shí)間，從而使正常應(yīng)力水平下某種特定參數(shù)的估計(jì)量的方差達(dá)到最小.通常情況下，我們以對(duì)數(shù)平均壽命的極大似然估計(jì)（MLE）漸進(jìn)方差或者對(duì)數(shù)分位點(diǎn)的MLE的漸進(jìn)方差達(dá)到最小為標(biāo)準(zhǔn).本文將在定時(shí)截尾場合下，建立壽命分布服從廣義指數(shù)分布的簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命模型，并以在正常的應(yīng)力水平下，在給定時(shí)間ζ，可靠性估計(jì)的漸進(jìn)方差最小為標(biāo)準(zhǔn)來討論試驗(yàn)方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.

1 簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)

1.1 加速試驗(yàn)方案

假設(shè)初期n 個(gè)獨(dú)立同分布的電子器件在應(yīng)力水平為S1下進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)進(jìn)行到時(shí)間τ時(shí)，把應(yīng)力水平增加到S2，試驗(yàn)繼續(xù)，直到全部部件都失效或者達(dá)到預(yù)先設(shè)定的結(jié)尾時(shí)間T.n1表示從試驗(yàn)開始到τ時(shí)失效的器件數(shù)，n2表示從時(shí)間τ到結(jié)尾時(shí)間T失效的部件數(shù).根據(jù)試驗(yàn)方案，在加速壽命試驗(yàn)中能夠觀察到電子器件的失效時(shí)刻，從而可以得到一組觀測值：1.2 加速試驗(yàn)方案的模型假設(shè)

假設(shè)1 在簡單步加應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)中，兩個(gè)加速應(yīng)力記為S1和S2（S1＜S2），S0是正常情況下的應(yīng)力水平.

假設(shè)2 在任何應(yīng)力水平下，產(chǎn)品的壽命都服從廣義指數(shù)分布，其分布函數(shù)為：

其中c 是形狀參數(shù)，θi是尺度參數(shù).

假設(shè)3 尺度參數(shù)θi與應(yīng)力水平Si有如下對(duì)數(shù)線性關(guān)系：

這里的0β和1β是未知參數(shù)，取決于試驗(yàn)樣品的性質(zhì)和測試方法.

假設(shè)4 累計(jì)失效模型：產(chǎn)品的剩余壽命僅依賴于當(dāng)時(shí)已累積的失效部分及當(dāng)時(shí)的應(yīng)力水平,而與累積的方式無關(guān).

假設(shè)4可以認(rèn)為是：在應(yīng)力水平Si下，產(chǎn)品工作ti時(shí)間內(nèi)累積失效的概率Fi（ti），相當(dāng)于此種產(chǎn)品在應(yīng)力水平Sj下工作tij時(shí)間內(nèi)累積失效的概率，即Fi（ti）=Fj（tij），其中i≠j，從概率角度看，在應(yīng)力水平Si下產(chǎn)品工作時(shí)間ti相當(dāng)于在應(yīng)力水平Sj下工作時(shí)間tij.

根據(jù)累計(jì)失效模型，簡單步進(jìn)加速試驗(yàn)下產(chǎn)品的累積分布函數(shù)為：

根據(jù)式（2）、（4）、（5）可得：

進(jìn)而可得概率密度函數(shù)為：

2 用于加速壽命試驗(yàn)的極大似然理論

2.1 參數(shù)的極大似然估計(jì)

在加速壽命試驗(yàn)參數(shù)估計(jì)分析中，極大似然估計(jì)法是最重要和應(yīng)用最廣泛的參數(shù)估計(jì)方法.由（1）式可以得到似然函數(shù)：

通常情況下，比較容易得到的是自然對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大化，而不是似然函數(shù)本身，因此，對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì)β0、β1和c求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令一階偏導(dǎo)數(shù)等于零：

其中，

2.2 Fisher信息矩陣

由于信息矩陣為似然函數(shù)負(fù)二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的數(shù)學(xué)期望，想得到確切的上述期望的數(shù)學(xué)表達(dá)式是非常困難的，根據(jù)文獻(xiàn)[5]，信息矩陣元素似然函數(shù)負(fù)二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的數(shù)學(xué)期望可用負(fù)二階偏導(dǎo)數(shù)的值來近似，即：

3 簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

在簡單步進(jìn)加速壽命試驗(yàn)中，通過對(duì)試驗(yàn)方案的優(yōu)化找到最優(yōu)的試驗(yàn)應(yīng)力水平和應(yīng)力變化點(diǎn)，可以達(dá)到節(jié)約試驗(yàn)成本、提高統(tǒng)計(jì)精度的目的.最優(yōu)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)一般是以設(shè)定應(yīng)力下對(duì)數(shù)平均壽命的MLE的漸近方差最小為標(biāo)準(zhǔn)，或以設(shè)定應(yīng)力下對(duì)數(shù)分位點(diǎn)的MLE的漸近方差最小為標(biāo)準(zhǔn)，例如，文獻(xiàn)[6]以設(shè)定應(yīng)力下平均壽命的極大似然估計(jì)的漸近方差最小作為優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn).但是，對(duì)于廣義指數(shù)分布，在設(shè)定應(yīng)力下平均壽命是很難得到的，考慮到可靠性函數(shù)和故障平均時(shí)間的關(guān)系，即MTTF=R（t）dt ，本文以在正常應(yīng)力水平下，在給定時(shí)間ζ，可靠性估計(jì)的漸進(jìn)方差最小為優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)，因此，最優(yōu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是要求在正常的應(yīng)力水平下，在給定時(shí)間ζ，可靠性估計(jì)的漸進(jìn)方差達(dá)到最小.

在正常的應(yīng)力水平下，在給定時(shí)間ζ，可靠性估計(jì)的極大似然估計(jì)是：

在正常的應(yīng)力水平下，在給定時(shí)間ζ，可靠性估計(jì)的漸進(jìn)方差為：

式中H為：

試驗(yàn)方案的最優(yōu)設(shè)計(jì)方法就是：對(duì)于給定的時(shí)間ζ、n、截尾時(shí)間T、應(yīng)力水平S1和S2以及、和?的值，求出正常應(yīng)力水平S0和應(yīng)力變化點(diǎn)τ的值，使得AV（）達(dá)到最小.

4 結(jié) 語

本文主要討論了簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)方案優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則和方法，并建立了在定時(shí)截尾場合下簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)方案優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，最后給出了試驗(yàn)方案的最優(yōu)設(shè)計(jì)方法.

[1] 茆詩松, 王玲玲.加速壽命試驗(yàn)[M].北京：科學(xué)出版社, 1997：3.

[2] 陳文華, 劉俊俊, 潘駿, 等.步進(jìn)應(yīng)力加速試驗(yàn)方案優(yōu)化設(shè)計(jì)理論與方法[J].機(jī)器工程學(xué)報(bào), 2010, 46（10）：182-187.

[3] Miller R, Nelson W B.Optmum simple step-strees plans for accelerated life testing [J].IEEE Trans on Reliability, 1983, R32（1）：59.

[4] 茆詩松.簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)及最優(yōu)設(shè)計(jì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì), 1989, 15（2）：173-179.

[5] Cohen A C.Maximum likelihood estimation in the weibull distribution based on complete and on censored samples [J].Technometrics, 1965, 7（4）：579-588.

[6] 施方, 葛廣平.Weibull分布場合下簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)[J].上海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版, 1998, 4（3）：248-249.

The Optimal Design for the Accelerated Life Tests of Simple Step-stress under Generalized Exponential Distributions

LI Xinyi, ZHENG Haiying
（School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035）

The optimal design of accelerated life test can not only make a variety of product reliability indexes obtain a more accurate estimate, but also can save the time and cost of the test.In view of simple step-stress tests for accelerated life, optimization criterion being defined as minimizing the AV of the reliability estimate at a specified time under normal operating condition, optimal design model is proposed of generalized exponential distribution function under step stress accelerated life tests based on Type I censoring.Through the theoretical derivations, the corresponding optimal design plan is obtained.

Accelerated Life Tests；Generalized Exponential Distributions；Asymptotic Variance；Optimal Design

O213

A

1674-3563（2013）04-0012-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.04.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：王一芳）

2012-12-27

李新翼（1987- ），男，安徽合肥人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì).? 通訊作者，wzzhying@163.com