苗亮英，張 睿，劉志高，盧雪麗

（1.蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院,甘肅蘭州 730070；2.白銀市工業(yè)學(xué)校,甘肅白銀 730900）

具階段結(jié)構(gòu)的食餌-捕食者擴(kuò)散模型的穩(wěn)定性

苗亮英1，張 睿1，劉志高2，盧雪麗1

（1.蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院,甘肅蘭州 730070；2.白銀市工業(yè)學(xué)校,甘肅白銀 730900）

討論了一類捕食者種群具有階段結(jié)構(gòu)的食餌-捕食者擴(kuò)散模型，運(yùn)用線性化方法和Lyapunov函數(shù)法討論了該反應(yīng)擴(kuò)散模型非負(fù)平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性.

食餌-捕食者模型；階段結(jié)構(gòu)；擴(kuò)散；穩(wěn)定性

本文考慮如下捕食者具階段結(jié)構(gòu)的食餌-捕食者模型：

其中，N1為食餌種群密度，N2為幼年捕食者種群密度，N3為成年捕食者種群密度，r1為食餌種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，K 為環(huán)境容納量，α為捕食參數(shù)，m為捕食者種群的捕食率，r3為成年捕食者種群的死亡率，γ為由幼年捕食者種群轉(zhuǎn)化為成年捕食者種群的比例常數(shù)，r2=μ+γ，μ為幼年捕食者種群的死亡率，β為幼年捕食者種群的出生率，δ為成年捕食者種群的密度制約系數(shù).文獻(xiàn)[1]中，作者給模型（1）加上捕獲項(xiàng)后討論了其非負(fù)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，獲得了其持續(xù)生存的條件及最優(yōu)收獲策略.受文獻(xiàn)[1]啟發(fā)，本文考慮給模型（1）加上擴(kuò)散項(xiàng)，之后再討論其穩(wěn)定性.

系統(tǒng)（2）描述了食餌-捕食者種群密度在空間分布均勻時(shí)的增長(zhǎng)規(guī)律，當(dāng)種群密度在空間分布不均勻時(shí)，同種群間為競(jìng)爭(zhēng)資源等會(huì)從高密度區(qū)向低密度區(qū)擴(kuò)散，于是得到如下反應(yīng)擴(kuò)散模型：

這里，Ω∈Rn是一個(gè)具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，η是邊界?Ω的單位外法向量，=，正常數(shù)di（i=1,2,3）是對(duì)應(yīng)于食餌u1和捕食者u2、u3的擴(kuò)散系數(shù)，ui0（x）是在Ω上滿足相容條件的光滑函數(shù)，齊次Neumann邊界條件說(shuō)明系統(tǒng)（3）是自封閉的.本文主要采用文獻(xiàn)[2]的思想，應(yīng)用線性化方法和構(gòu)造Lyapunov函數(shù)方法來(lái)討論系統(tǒng)（3）正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

111323233132123容易得到系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)分別為E0（0,0,0）和E1（a,0,0）；當(dāng)e＞c時(shí)，系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)為；當(dāng)bc+af＞be ，e+ad＞c時(shí)，系統(tǒng)（2）的唯一正平衡點(diǎn)為

定理1 下面結(jié)論成立：

1）系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)E0（0,0,0）無(wú)條件不穩(wěn)定；

2）當(dāng)1+c＞ad ，c＞ad+e時(shí)，系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)E1（a,0,0）全局漸近穩(wěn)定；

3）當(dāng)bc+af＜be ，1+2e＞c 時(shí)，系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定；

4）當(dāng)bc+af＞be，e+ad＞c時(shí)，系統(tǒng)（2）的唯一正常數(shù)平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

證明：由標(biāo)準(zhǔn)的線性化方法容易證明系統(tǒng)（2）各個(gè)平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性.由于Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造和相應(yīng)的計(jì)算比較困難，這里只給出E1,E2,E3點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性的證明.

設(shè)（u1,u2,u3）是系統(tǒng)（2）的任一正解，定義如下Lyapunov函數(shù)：

1 系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定性

令α2=eα3，bα1=dα3，當(dāng)1+c＞ad ，c＞ad+e時(shí)，有：

由Lyapunov-Lasalle不變?cè)碇?dāng)1+c＞ad，c＞ad+e時(shí)，平衡點(diǎn)E1（a,0,0）全局漸近穩(wěn)定.

令α2=eα3，bα1=dα3，當(dāng)bc+af＜be ，1+2e＞c時(shí)，有：

由Lyapunov-Lasalle不變?cè)碇?，?dāng)bc+af＜be ，1+2e＞c 時(shí)，平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

令α2=eα3，bα1=dα3，當(dāng)bc+af＞be ，e+ad＞c時(shí)，有：

由Lyapunov-Lasalle不變?cè)碇?，?dāng)bc+af＞be ，e+ad＞c時(shí)，平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

2 系統(tǒng)（3）的穩(wěn)定性

由偏微分方程基本理論可知，存在T＞0，使得問(wèn)題（3）在[0,T）上存在唯一解.類似于文獻(xiàn)[3]定理3.1的證明.可以證明如下定理：

定理2 設(shè)（u（x,t）,u（x,t）,u（x,t））∈[C（×[0,T））∩C2,1（×[1,T ））]3是u（x,0）=u≥123ii00（i=1,2,3）時(shí)問(wèn)題（3）的解，其中[0,T）是解的最大存在區(qū)間，則存在依賴于Ω、問(wèn)題（3）的系數(shù)及初值ui0（i=1,2,3）的正常數(shù)M，使得0≤ui（x,t）≤M（i =1,2,3），進(jìn)一步，T=+∞.

為了分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，需要引入一些概念和記號(hào).設(shè)0＜μ1＜μ2＜μ3＜…是算子-Δ帶有齊次Neumann邊值條件的全體特征值，E（μi）是μi在C1（）中的特征空間，記X= {u∈[C1（]3|?u =0on ?Ω}，{φ：j =1,2,…,dimE（μ）}是E（μ）的標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且記ηiji iX={c/c∈R3}，則有：ijφij

引理1[4]設(shè)a,b為正常數(shù)，φ,φ∈C1[a,∞），φ（t）≥0，φ有下界.如果φ'（t）≤-bφ （t ）且φ'（t）≤K（?t≥a），K為正常數(shù)，則φ（t ）=0.

由定理2可知，系統(tǒng)（3）的解u1（x,t）,u2（x,t）,u3（x,t ）在中一致有界，即存在不依賴于t的正常數(shù)C＞0，使得

再由文獻(xiàn)[5]知，

定理3 下面結(jié)論成立：

1）系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E0（0,0,0）無(wú)條件不穩(wěn)定；

2）當(dāng)1+c＞ad，c＞ad+e時(shí)，系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)E1（a,0,0）全局漸近穩(wěn)定；

3）當(dāng)bc+af＜be ，1+2e＞c 時(shí)，系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定；

4）當(dāng)bc+af＞be ，e+ad＞c 時(shí)，系統(tǒng)（3）的唯一正常數(shù)平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定.

證明：由于1）– 4）的證明方法類似，本文只給出4）的詳細(xì)證明過(guò)程.首先證明其局部漸近穩(wěn)定性.

記D=diag（d1,d2,d3），L=DΔ+Gu（u*），則系統(tǒng)（3）在u*處的線性化方程為：ut=Lu.對(duì)i≥1，Xi在算子L下是不變的，λ是L的特征值當(dāng)且僅當(dāng)它是矩陣-uiD+Gu（u*）的特征值，矩陣-uiD+Gu（u*）的特征方程為：λ3+A1λ2+B1λ+C1=0，其中，

1B1＞0，C1＞0，直接計(jì)算可得，這里，

顯然，c1,c2,c3＞0.又由于故AB-C＞0.111

由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則可知，對(duì)?i≥1，此方程的三個(gè)特征值λi,1,λi,2,λi,3均具有負(fù)實(shí)部.

下面證明存在正常數(shù)δ，對(duì)任意i≥1，有：

令λ=μiξ ，則有由于μi→∞（i →∞），因此有：

下面證明其全局漸近穩(wěn)定性.

設(shè)（u1,u2,u3）是系統(tǒng)（3）的任一正解，定義如下Lyapunov函數(shù)：

即對(duì)?t ≥0，有V3（t）≥0.由（3）式和（9）式及分部積分公式可得：

由（15）式和Poincare不等式可得：

由（12）式知，存在序列tm及非負(fù)函數(shù)wi∈C2（Ω），使得=0，i=1,2,3.結(jié)合（16）式和（17）式可知，wi≡（i=1,2,3），因此有：

結(jié)合（17）–（19）式及u*的局部穩(wěn)定性可知u*全局漸近穩(wěn)定.

同樣可定義如下Lyapunov函數(shù)：

證明2）和3），證明方法與4）的完全相同，這里不再一一證明.

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Stability of a Prey-predator Diffusion Model with Stage Structure

MIAO Liangying1, ZhANG Rui1, LIU Zhigao2, LU Xueli1
（1.School of Mathematics, Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070；2.Baiyin Industry School, Baiyin, China 730900）

A prey-predator diffusion model with predator-stage structure is studied in this paper, and the locally asymptotical stability and the globally asymptotical stability of the non-negative constant steady states are given with linearization and Lyapunov functions.

Prey-predator Model；Stage Structure；Diffusion；Stability.

O175.26

A

1674-3563（2013）04-0056-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.04.009 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：王一芳）

2013-01-03

甘肅省自然科學(xué)基金（1107RJZA197）；甘肅省教育廳碩導(dǎo)項(xiàng)目（1104-11）

苗亮英（1987- ），女，甘肅永登人，碩士研究生，研究方向：偏微分方程及其應(yīng)用