程 珩 牟瑞芳

西南交通大學(xué)，交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，成都 610031

0 引 言

重心法作為單一設(shè)施選址問(wèn)題中最基本的方法之一，使用較為頻繁，在物流選址的教科書上都可以找到，但課本中對(duì)于重心法的來(lái)龍去脈，都沒(méi)有做詳細(xì)的探討，也沒(méi)有把重心法和微分法的關(guān)系清楚解釋，在最后的迭代過(guò)程中亦存在不足之處。因此，有必要對(duì)重心法做深入的討論。

魯曉春等指出了重心法存在的不足，即重心法求出的重心坐標(biāo)不是最佳配送中心值，并提出用微分法代替重心法[1]。苗興東等對(duì)于重心法最后迭代過(guò)程中總運(yùn)輸費(fèi)用的變化規(guī)律以及總費(fèi)用發(fā)生突變時(shí)兩點(diǎn)間距離的變化做了具體的分析，并提出了函數(shù)不均勻性這一概念[2]。但是，兩篇論文中沒(méi)有對(duì)重心法是如何引入，以及求偏導(dǎo)數(shù)的具體過(guò)程做詳細(xì)分析。

本文根據(jù)單一設(shè)施選址問(wèn)題中配送中心到各個(gè)需求點(diǎn)的總運(yùn)輸費(fèi)用最少這一目標(biāo)，按照求最值問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法對(duì)該問(wèn)題求解，利用數(shù)學(xué)歸納法，推導(dǎo)了物流配送中心坐標(biāo)的計(jì)算公式。由于該計(jì)算公式中等式左邊右邊都有未知數(shù)，無(wú)法直接求出最終解，對(duì)此引入重心法，最后對(duì)以往的迭代方案提出了自己的新看法。

1 模型的建立

按照設(shè)施數(shù)量劃分，選址問(wèn)題可以分為單一設(shè)施選址和多設(shè)施選址。單一設(shè)施選址與同時(shí)對(duì)多個(gè)設(shè)施選址是截然不同的兩個(gè)問(wèn)題。單一設(shè)施選址無(wú)需考慮競(jìng)爭(zhēng)力、設(shè)施之間的需求分配、集中庫(kù)存的效果、設(shè)施成本與數(shù)量之間的關(guān)系等，而運(yùn)輸成本是要考慮的首要因素。

解決單一設(shè)施選址問(wèn)題的模型有四種：（1）微分法——重心法；（2）交叉中值模型；（3）因素評(píng)價(jià)法；（4）層次分析模型。

1.1 單一設(shè)施選址的目標(biāo)

跟多設(shè)施選址問(wèn)題相比，單一設(shè)施選址是比較簡(jiǎn)單的一類，所選擇的配送中心應(yīng)該位于可使運(yùn)輸費(fèi)用最小的地方。所以，選擇一個(gè)合適的配送中心，使得從該配送中心到各個(gè)需求點(diǎn)的總運(yùn)輸費(fèi)用最少是單一設(shè)施選址問(wèn)題的最終目標(biāo)。

1.2 重心法的三個(gè)基本假設(shè)

重心法模型是選址問(wèn)題中最常用的一種模型，可以用來(lái)解決連續(xù)區(qū)域直線距離的單點(diǎn)選址問(wèn)題。利用重心法進(jìn)行選址時(shí)，有三個(gè)基本假設(shè)，即：

（a）運(yùn)輸費(fèi)用只與配送中心和需求點(diǎn)的直線距離有關(guān)，不考慮城市交通狀況；（b）不考慮配送中心所處地理位置的地產(chǎn)價(jià)格；（c）各個(gè)需求點(diǎn)的位置和需求量已知而且不變。

1.3 建立模型

建立模型的依據(jù)是：?jiǎn)我辉O(shè)施選址的目標(biāo)為配送中心到各個(gè)需求點(diǎn)的總運(yùn)輸費(fèi)用最少。

假設(shè)在一個(gè)計(jì)劃區(qū)域內(nèi)，有n個(gè)需求點(diǎn)，各點(diǎn)

由于在物流配送中心選址時(shí)，應(yīng)該保證總運(yùn)輸費(fèi)用最少，即H最小，也就要求 (,)pxy中x，y為何值時(shí)使得總費(fèi)用H最小，所以，這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題。根據(jù)高等數(shù)學(xué)中求最值得原理，顯然讓目標(biāo)函數(shù)值H分別對(duì) x，y求偏導(dǎo)數(shù)，令其偏導(dǎo)數(shù)分別等于零，求出x，y的值，即物流配送中心最佳位置的坐標(biāo)。

1.4 求偏導(dǎo)數(shù)

由于該函數(shù)比較復(fù)雜，直接求偏導(dǎo)數(shù)難度大，而且又很費(fèi)時(shí)，所以應(yīng)該化繁為簡(jiǎn)，采用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行求解。計(jì)算過(guò)程如下：

（a）當(dāng) 1i=時(shí)，原式

H對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：

得出

同理可以得出

（b）當(dāng) 2i= 時(shí)，原式

H對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)：

同理可得：

2 重心法的引入

由于在H對(duì)x，y分別求偏導(dǎo)數(shù)所得出來(lái)最終結(jié)果當(dāng)中，等式左邊和右邊都有未知數(shù)x，y，所以，單獨(dú)使用此方法計(jì)算不出來(lái)最終的結(jié)果，如果要將式中右端的x，y完全消除，計(jì)算起來(lái)十分復(fù)雜，為此，我們一般采用迭代法來(lái)求解。

迭代法求解必須要首先給出一個(gè)初始解，為了避免給出初始值盲目性，我們通常采取兩種方法，一種是將坐標(biāo)平面上原點(diǎn)的坐標(biāo)（0，0）點(diǎn)帶入來(lái)求解，第二種是引入重心法，通常是由重心法求的系統(tǒng)的重心坐標(biāo)，以重心坐標(biāo)作為初始解。

2.1 重心法的概念

重心法是一種模擬方法，它將物流系統(tǒng)中的需求點(diǎn)和資源點(diǎn)看成是分布在某一平面范圍內(nèi)的物流系統(tǒng)，各點(diǎn)的需求量和資源量分別看成是物體的重量，系統(tǒng)的重心作為物流網(wǎng)點(diǎn)的最佳設(shè)置點(diǎn)，利用求物體系統(tǒng)重心的方法來(lái)確定物流網(wǎng)點(diǎn)的位置。

2.2 如何確定需求點(diǎn)的坐標(biāo)

重心法首先要在坐標(biāo)系中標(biāo)出各個(gè)地點(diǎn)的位置，目的在于確定各點(diǎn)的相對(duì)距離。坐標(biāo)系可以隨便建立。在國(guó)際上的選址中，經(jīng)常采用經(jīng)度和緯度建立坐標(biāo)，然后，根據(jù)各點(diǎn)在坐標(biāo)系中的橫縱坐標(biāo)值求出重心點(diǎn)的最佳位置坐標(biāo)x和y。

2.3 重心法的推導(dǎo)過(guò)程

原理：力和力臂的乘積等于力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。即M FL= 。

按照重心法，將各需求點(diǎn)和資源點(diǎn)都視為有重量的質(zhì)點(diǎn)，需求點(diǎn)的等效重量為根據(jù)重心的定義，資源點(diǎn)的等效重量為G，這樣，尋求物流配送中心地址問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求重心坐標(biāo)的問(wèn)題。

根據(jù)重心的特性可知，資源點(diǎn)的等效重量在重心處對(duì)原點(diǎn)在oxy平面產(chǎn)生的力矩等于各需求點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)在oxy平面產(chǎn)生的力矩之和，可表示為：

式中，0d表示資源點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

將力矩沿x軸，y軸分解，重心點(diǎn)（資源點(diǎn)）對(duì)x軸、y軸產(chǎn)生的力矩等于各質(zhì)點(diǎn)（需求點(diǎn)）對(duì)x軸、y軸產(chǎn)生的力矩之和，可表示為:

最終得到重心的坐標(biāo)為：

由上式得到的重心位置的坐標(biāo)點(diǎn)(,)xy，即所要求的初始解。

3 迭代的過(guò)程和最優(yōu)方案的確定

迭代方案1[3]：

（a）以所有需求點(diǎn)的中心坐標(biāo)作為配送中心的

（e）將 H1與 H0進(jìn)行比較，若 H1< H0，則返回步驟c再次將代入公式（9）和公式（10）進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算配送中心的再改善地點(diǎn)如果,則說(shuō)明就是最優(yōu)解。

迭代方案2：

將初始坐標(biāo)(,)xy帶入公式（9）和公式（10）進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算出改進(jìn)方案以此類推，反復(fù)迭代，直到兩次迭代結(jié)果相同（或無(wú)限接近）時(shí)為止，這時(shí)候得到極小值點(diǎn)，即最優(yōu)方案。

兩種迭代方案的比較：

第一種迭代方案中只是將每一步迭代后的運(yùn)費(fèi)跟前一次的運(yùn)費(fèi)進(jìn)行比較，只要迭代后所得的運(yùn)費(fèi)比前一次的運(yùn)費(fèi)大時(shí)就停止迭代，選擇前一次計(jì)算出來(lái)的x和y的值最為最終解，但存在著局限性，因?yàn)樵摲桨覆](méi)有計(jì)算到最后把極值點(diǎn)找出來(lái)。因此，所得到的解很有可能只是局部最優(yōu)解，而不是整體最優(yōu)解。

第二種迭代方案則一直迭代下去，直到迭代后和迭代前的值相等（或無(wú)限接近）為止，這時(shí)候沒(méi)辦法在進(jìn)行進(jìn)一步迭代，便找到了極值點(diǎn)。因?yàn)樵诘鷷r(shí)只出現(xiàn)一個(gè)極值點(diǎn)，而且沒(méi)有不可導(dǎo)的點(diǎn)，所以，這個(gè)極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)輸費(fèi)用最少，該極值點(diǎn)就是物流配送中心的最佳位置的坐標(biāo)。

兩種方案各有利弊，一般情況下，我們要計(jì)算物流配送中心的位置，由于最終還要受客觀條件的限制，不需要過(guò)于精確，只需找到一個(gè)相對(duì)比較合適的位置即可，在這種情況下，采用第一種迭代方案，計(jì)算量相對(duì)而言比較少，容易較快的得到結(jié)果。如果要特別精確的話，采用第一種迭代方案顯然不可行，必須采用第二種迭代方案計(jì)算出最優(yōu)解，但是，這個(gè)過(guò)程毫無(wú)疑問(wèn)計(jì)算量很大，會(huì)給操作人員帶來(lái)很大的不便，必須采用相關(guān)軟件進(jìn)行計(jì)算。

4 重心法選址方案的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)：按運(yùn)輸費(fèi)用最小原則來(lái)選址，并且對(duì)候選位置不加限制，因此具有較大的靈活性。

缺點(diǎn)：首先，由于靈活性較大，計(jì)算出來(lái)的最佳選址點(diǎn)可能受實(shí)際地理狀態(tài)（如高山或河流、湖泊等）限制，而不易修建配送中心。因此，決策者考慮這些因素后有時(shí)不得不放棄這一最優(yōu)解的位置，而選擇選擇現(xiàn)實(shí)當(dāng)中可行的滿意方案。

此外，上述計(jì)算的距離均為直線距離，這在實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中往往也不大可行。在實(shí)際距離不是直線距離的條件下，可在運(yùn)輸費(fèi)率中加以修正，使之適當(dāng)增大，以補(bǔ)償在計(jì)算直線距離時(shí)所產(chǎn)生的偏差。

最后，這種方法迭代次數(shù)較多，計(jì)算工作量比較大，計(jì)算成本也比較高。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)重心法的引入問(wèn)題、利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)微分法求偏導(dǎo)數(shù)的過(guò)程做了詳盡的闡述，對(duì)以往的迭代方案做了相應(yīng)的補(bǔ)充和改進(jìn)，并對(duì)這兩種方案的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了比較。然而，對(duì)于重心法中最后的迭代方案只是做了理論探討，并沒(méi)有給出具體的例子來(lái)很好的論證，對(duì)于這一問(wèn)題，有待進(jìn)一步去研究、去完善。

[1] 魯曉春，詹荷生．關(guān)于配送中心重心法選址的研究[J]．北方交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，24（6）:108-110.

[2] 苗興東，李映紅，范存軍．重心法選址探討[J]．交通標(biāo)準(zhǔn)化，2004，134: 50-52.

[3] 趙家?。F(xiàn)代物流配送管理[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2004．