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        一類具有Z2-等變性質(zhì)的平面七次哈密頓向量場的全局相圖及其分類

        2013-03-15 02:38:42李艷梅
        關(guān)鍵詞:向量場哈密頓量哈密頓

        李艷梅

        ?

        一類具有Z2-等變性質(zhì)的平面七次哈密頓向量場的全局相圖及其分類

        李艷梅

        (楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,云南,楚雄 675000)

        應(yīng)用微分方程定性理論,研究了一類具有Z2-等變性質(zhì)的平面七次哈密頓向量場的全局相圖,對相圖進行了分類,并劃分了參數(shù)空間。

        Z2-等變性質(zhì);七次平面哈密頓向量場;奇點;相圖

        并對具體的系統(tǒng)

        證明該系統(tǒng)有49個有限奇點,4個無窮遠奇點,并且隨著參數(shù)的取值的不同,系統(tǒng)的相圖也隨之改變,最終得到一些已知文獻中沒有出現(xiàn)過的新的相圖,其中>1是一個參數(shù)。

        1 奇點的性質(zhì)

        顯然,系統(tǒng)(1)具有49個奇點:

        系統(tǒng)(1)的雅可比行列式是

        其中

        為了研究系統(tǒng)(1)的全局性質(zhì),先證明以下的一般結(jié)果:

        在一、二象限內(nèi)有兩個無窮遠奇點。

        不難看出,(0,0)不是系統(tǒng)(5)的奇點。引理1得證。

        于是,由引理1及上面的討論,關(guān)于系統(tǒng)(1),可以得到如下結(jié)果:

        2 系統(tǒng)(1)的相圖

        系統(tǒng)(1)的哈密頓量是

        并且不難算得

        定理 2

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(1)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(2)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(3)所示。

        圖1(1)~(17) 系統(tǒng)(1)的相圖 Fig.1 (1)~(17) Phase portraits of the System (1)

        (4)若則有奇點處的哈密頓量滿足關(guān)系

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(4)所示。

        (5) 當(dāng)時,于是,當(dāng)時,奇點處的哈密頓量滿足下列關(guān)系之一

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(5)所示。

        (6) 若時,有則奇點處的哈密頓量滿足關(guān)系

        所以系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(6)所示。

        (7) 當(dāng)時,。于是,當(dāng)時,奇點處的哈密頓量滿足下列關(guān)系之一

        所以系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(7)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(8)所示。

        所以系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(9)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(10)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(11)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(12)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(13)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(14)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(15)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(16)所示。

        從而系統(tǒng)(1)的相圖如圖1(17)所示。

        [4] Li Jibin, Chan H S Y, Chung K W. Bifurcations of limit cycles in a6-equivariant planar vector field of degree 5[J]. Science in China, 2002,45(7):817-826.

        [5] Li Jibin. Hilbert’s 16thproblems and Bifurcations of Planar Polynomial Vector Fields[J]. International Journal of Bifurcations and Chaos, 2003,12(1): 47-106.

        [6] 李艷梅. 具有8-等變性質(zhì)的平面七次哈密頓向量場的一般形式及其相圖[J].楚雄師范學(xué)院學(xué)報, 2010,25(12):32-35。

        [7] Li Yanmei. The Phase Portraits of a type of Planar Septic Hamiltonian Vector Field with2-Equivariant Property [J]. Journal of Chuxiong Normal University, 2011, 26(9):47-50.

        [8] Li Jibin. Bifurcations of Limit Cycles in a2- equivariant Planar polynomial Vector Field of Degree 7[J]. International Journal of Bifurcations and Chaos, 2006,16(4):925-943.

        [9] 張芷芬,丁同仁. 微分方程定性理論[M]. 北京:科學(xué)出版社,1997:385-391.

        CLASSIFICATION OF GLOBAL PHASE PORTRAITS OF A Z2-EQUIVARIANT PLANAR HAMILTONIAN VECTOR FIELD OF DEGREE SEVEN

        LI Yan-mei

        (Department of Mathematics, Chuxiong Normal University, Chuxiong, Yunnan 675000, China)

        Based on the method of qualitative analysis of differential equations, we study the global phase portraits of a Z2-equivariant planar Hamiltonian vector field of degree seven. Furthermore, we classify its phase portraits and divide its parameter space.

        Z2- equivariant property; planar Hamiltonian vector field of degree seven; singular point; phase portrait

        1674-8085(2013)02-0007-06

        O175

        A

        10.3969/j.issn.1674-8085.2013.02.002

        2012-08-22;

        2012-12-20

        云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究項目(2008ZC158M)

        李艷梅(1966-),女,云南昌寧人,教授,主要從事非線性微分方程研究(E-mail: cxyanmei@126.com).

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