譚小東，高 微

（溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035）

一維XXZ環(huán)形自旋鏈中的量子關(guān)聯(lián)

譚小東，高 微

（溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035）

研究了系統(tǒng)尺度L = 8的一維XXZ環(huán)形自旋鏈中的兩體和多體量子糾纏以及兩體量子失協(xié)，在這個(gè)過程中，充分考慮了溫度和粒子間隔對糾纏和量子失諧的影響．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，同種情況下，三體和四體糾纏比兩體的更加“強(qiáng)壯”，且在低溫條件下，利用多體糾纏可以探測到系統(tǒng)發(fā)生量子相變的臨界點(diǎn)．與糾纏相比，量子失諧可以在較高溫度下存在，且在相變點(diǎn)處總是表現(xiàn)出尖峰行為，這使得量子失諧在探測相變點(diǎn)方面更具優(yōu)越性．

XXZ自旋鏈；量子糾纏；量子失協(xié)；量子關(guān)聯(lián)；量子相變

量子糾纏，或者說由態(tài)疊加原理帶來的兩個(gè)或多個(gè)量子態(tài)之間的相干性，是量子力學(xué)最不同于經(jīng)典力學(xué)的概念，它反映了量子理論的本質(zhì)——相干性、或然性和空間的非定域性．隨著量子理論的不斷發(fā)展，量子信息論作為一門新的學(xué)科應(yīng)運(yùn)而生，糾纏成了量子通信、量子計(jì)算方面的重要資源．諸多經(jīng)典方案不能完成的任務(wù)都可以通過量子糾纏輔助實(shí)現(xiàn)，例如：量子隱形傳態(tài)[1]、量子密碼術(shù)[2]、量子稠密編碼[3]等．近年來，自旋系統(tǒng)在量子信息方面顯示出廣闊的應(yīng)用前景．目前，海森堡模型已經(jīng)用于模擬量子計(jì)算機(jī)的研究中，而且海森堡模型本身就可以在量子點(diǎn)系統(tǒng)、原子核自旋系統(tǒng)、電子自旋和光晶格等許多物理系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)．另外，量子糾纏與量子力學(xué)中的許多基本問題有著密切的聯(lián)系，如量子相變[4]．量子相變是發(fā)生在絕對零度的一種純量子現(xiàn)象，由系統(tǒng)哈密頓量中的耦合常數(shù)或外參數(shù)（如磁場）的改變所引發(fā)，由不確定性原理導(dǎo)致的量子波動(dòng)所驅(qū)動(dòng)，通常由一些表征系統(tǒng)特性的物理量，如基態(tài)能、磁化率、糾纏、量子失諧（Quantum Discord，簡稱QD）等的極值以及它們的一階或二階導(dǎo)數(shù)的行為來探測相變點(diǎn)．2002年Osterloh等人的開創(chuàng)性工作首先將量子糾纏與量子相變聯(lián)系起來[5]．文獻(xiàn)[6]通過研究處于基態(tài)下的XY自旋鏈中的最近鄰和次最近鄰的兩個(gè)自旋粒子之間的共生糾纏度（concurrence）[6]，發(fā)現(xiàn)量子糾纏在系統(tǒng)的相變點(diǎn)附近存在標(biāo)度行為，從此掀起了人們研究自旋鏈中的量子糾纏的熱潮．對于自旋鏈中的兩體基態(tài)糾纏[7-9]、兩體熱糾纏[10-12]以及量子糾纏與量子相變的關(guān)系[13-14]，人們已經(jīng)有了比較深入的了解，但對于大系統(tǒng)自旋鏈中的連續(xù)塊[15-18]或非連續(xù)塊[19-21]之間的糾纏的研究基本上都停留在基態(tài)，對于熱平衡態(tài)的研究相對較少，所以這也就成了近年來大家關(guān)注的焦點(diǎn)．

隨著量子信息論的發(fā)展，很多工作已經(jīng)指出，包括糾纏和非糾纏的量子關(guān)聯(lián)比糾纏更基礎(chǔ)，更廣泛．糾纏只是作為一種特殊的量子關(guān)聯(lián)而存在．更進(jìn)一步，人們又發(fā)現(xiàn)糾纏為零的可分離態(tài)中含有非零的量子關(guān)聯(lián)[22-23]，且這種非糾纏的量子關(guān)聯(lián)已經(jīng)在理論上被用在量子計(jì)算模型中[24]，一些計(jì)算方案已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上得到實(shí)現(xiàn)[25]．QD[23]作為量子體系中總的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)的度量，一經(jīng)提出立刻引起了廣泛的關(guān)注．人們已經(jīng)證明，幾乎所有的量子態(tài)都含有量子失協(xié)[26]．更令人振奮的是，中國科技大學(xué)首次完成了量子關(guān)聯(lián)和經(jīng)典關(guān)聯(lián)在噪聲環(huán)境下的演化實(shí)驗(yàn)研究[27]，這項(xiàng)成果將極大地推動(dòng)量子關(guān)聯(lián)的物理學(xué)研究及其應(yīng)用．另外，量子失諧在一些基本的物理問題中也起到重要的作用，如海森堡自旋鏈中的量子相變[28-30]．Werlang等人首先將有限溫度下的兩體量子失諧（簡稱TQD）與量子相變聯(lián)系起來[30]，發(fā)現(xiàn)TQD不僅可以在較高的溫度下存在，而且在相變點(diǎn)附近總是表現(xiàn)出尖峰行為，這使得TQD在探測系統(tǒng)的相變點(diǎn)方面更具優(yōu)越性．

本文受block-block糾纏的啟發(fā)，在充分考慮自旋粒子間的間隔和溫度對糾纏的影響的前提下，研究了系統(tǒng)尺度L = 8的一維XXZ環(huán)形自旋鏈中兩體和多體（三、四體）的熱糾纏，并在Werlang[30]等人工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了非緊鄰的兩體TQD，結(jié)果表明，根據(jù)TQD依然可以探測到系統(tǒng)的相變點(diǎn)，而且它抗擊溫度影響的能力遠(yuǎn)比熱糾纏強(qiáng)．另外，利用多體熱糾纏（特別是四體糾纏），在低溫條件下，也可以探測到系統(tǒng)的一個(gè)相變點(diǎn)Δ=-1．

1 量子關(guān)聯(lián)的度量

XXZ模型的系統(tǒng)哈密頓量為：

處于熱平衡態(tài)下的正則系綜是一個(gè)混合態(tài)，其狀態(tài)可用密度矩陣表示：

量子糾纏是Vi da l和We r ne r根據(jù)Pe r es可分離判據(jù)，提出的兩體系統(tǒng)任意混合態(tài)的一種糾纏度量[3 1]．實(shí)際上，它不僅適用于兩體系統(tǒng)，對于高維多體量子態(tài)同樣適用①．我們可以用量子糾纏來考察多體量子態(tài)的任意兩部分的糾纏性質(zhì)．對于由A、B兩子系統(tǒng)組成的兩體混態(tài)ρAB，量子糾纏一般是這樣定義的：

量子失諧最先是由Ollivier和Zurek兩人提出的[23]，它可以作為量子系統(tǒng)中總的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)的一種度量．兩體系統(tǒng)的量子失諧的定義：

則量子失諧為[30-31,33]：

2 量子糾纏

這一部分主要研究了有限溫度下，尺度L = 8的XXZ環(huán)形自旋鏈中的量子糾纏．在各向異性參數(shù)取Δ∈[-2, 2]的情況下，計(jì)算了兩體和多體的量子糾纏．不同溫度下，兩體和多體的量子糾纏隨各向異性參數(shù)Δ的變化曲線分別見圖1、圖2和圖3．

2.1 兩體糾纏

從圖1①中可以看到，在同一溫度下最近鄰的兩個(gè)自旋粒子間的糾纏比較“強(qiáng)壯”．在低溫條件下（kT = 0.1），間隔最大的兩體量子糾纏依然存在，并且隨著兩粒子間隔的增大而減小，而當(dāng)

圖1 不同溫度下的兩體量子糾纏隨各向異性參數(shù)Δ的變化曲線

① 抹去環(huán)境, 本文所研究的系統(tǒng)由A和B兩部分組成. 為了行文方便, 本文所有圖中表示屬于子系統(tǒng)A的自旋粒子,示屬于子系統(tǒng)B的自旋粒子,表示環(huán)境.kT ≥ 1.0時(shí)，量子糾纏則在整個(gè)區(qū)間上完全消失．另外，從圖1中還可以看到，當(dāng)kT = 0.1時(shí)，間隔最大的兩體量子糾纏被約束在了-1 ＜Δ＜ 0這個(gè)區(qū)間內(nèi)，并且隨Δ的變化比較劇烈．

2.2 三體糾纏

圖2展示了三體糾纏的情況．與兩體糾纏的情況類似，三體糾纏中非最近鄰的兩個(gè)連續(xù)塊或非連續(xù)塊之間的量子糾纏只有在低溫下才不為零，并且也被約束在了-1＜△＜ 0這個(gè)區(qū)間內(nèi)，但與圖1中相應(yīng)的曲線比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，相同條件下，三體糾纏比兩體糾纏更加“強(qiáng)壯”．

圖2 不同溫度下的三體量子糾纏隨各向異性參數(shù)Δ的變化曲線

2.3 四體糾纏

模式一：四體態(tài)由A，B兩部分組成，其中子系統(tǒng)A含有一個(gè)自旋粒子，子系統(tǒng)B含有三個(gè)自旋粒子．糾纏情況見圖3（a）．模式二：四體態(tài)由A、B兩部分組成，其中子系統(tǒng)A和B各自含有兩個(gè)自旋粒子，但A和B之間無交錯(cuò)．糾纏情況見圖3（b）．模式三：四體態(tài)由A、B兩部分組成，其中子系統(tǒng)A和B各自含有兩個(gè)自旋粒子，且A和B之間相互交錯(cuò)．糾纏情況見圖3（c）．

四體糾纏呈現(xiàn)出了更多新的特點(diǎn)：同種情況下，四體糾纏比三體糾纏更加“強(qiáng)壯”，并且四體糾纏抗“熱噪聲”影響的能力明顯增強(qiáng)；與兩體和三體糾纏相比，在子系統(tǒng)A和B非最近鄰的情況下，四體量子糾纏大于零的范圍可以擴(kuò)展到區(qū)間Δ∈[-1, 2]；當(dāng)間隔均勻時(shí)，四體量子糾纏總是在Δ= 0處突然消失，見圖3（a）– 3（c）中的小插圖，而Δ= 0時(shí)恰好對應(yīng)XX模型．從圖1和圖2可看出，兩體和三體的量子糾纏在Δ∈[-2, -1]這個(gè)區(qū)間上都等于零，但有趣的是四體量子糾纏首度在Δ=-1的左側(cè)出現(xiàn)了非零值，且在Δ=-1處表現(xiàn)出尖峰行為，見圖3（b）– 3（c）．眾所周知Δ=-1和Δ=1是絕對零度下的XXZ模型的兩個(gè)相變點(diǎn)[34]，這里利用四體量子糾纏在低溫條件下（kT = 0.1）也探測到了Δ=-1這個(gè)相變點(diǎn)，但是在四體糾纏的范圍內(nèi)，盡管我們考慮了各種情況（限于文章的篇幅，這里沒有一一列出相應(yīng)的曲線圖），還是探測不到Δ=1這個(gè)相變點(diǎn)．對于XXZ模型而言，也許Δ=1這個(gè)臨界點(diǎn)只有在更高維的多體量子態(tài)中才能用量子糾纏探測到，或許通過其它物理量才能探測到．因此，這也是一個(gè)值得探究的問題．

3 量子失諧（QD）

不同溫度下的兩體QD隨各向異性參數(shù)Δ的變化見圖4．從圖4可以看到，無論是利用最近鄰的兩體QD，還是利用非最近鄰的兩體QD都可以清晰地探測到系統(tǒng)發(fā)生量子相變的臨界點(diǎn)．從圖像上能直觀地看到QD在Δ=-1和Δ=1表現(xiàn)出尖峰行為．另外，通過比較發(fā)現(xiàn)，溫度對兩體量子糾纏只起抑制和消弱作用，而兩體QD與溫度的關(guān)系較為復(fù)雜，消弱和促進(jìn)作用同時(shí)存在．與兩體量子糾纏類似，QD隨著兩粒子間隔的增大而減小，但是低溫環(huán)境下（kT = 0.1），QD在Δ=-1處基本不受粒子間隔的影響．

圖3 不同溫度下的四體量子糾纏隨各向異性參數(shù)Δ的變化曲線

圖4 不同溫度下的兩體量子失諧隨各向異性參數(shù)Δ的變化曲線

注意到在Δ∈[-2, -1]這個(gè)區(qū)間上，A和B兩粒子間沒有糾纏（見圖1），但在這個(gè)區(qū)間上，依然有非零的QD，顯然此時(shí)QD度量的是非糾纏的量子關(guān)聯(lián)，且這種非糾纏的量子關(guān)聯(lián)可以隨著溫度的增大而增大（見圖4）．

4 結(jié)論

通過研究尺度L = 8的有限溫度下的XXZ環(huán)形自旋鏈中的量子關(guān)聯(lián)，我們發(fā)現(xiàn)多體量子糾纏呈現(xiàn)出了兩體所不具有的新特點(diǎn)．首先，多體糾纏比兩體糾纏更加“強(qiáng)壯”；另外，在低溫條件下（kT = 0.1），利用四體量子糾纏首度探測到了XXZ模型的一個(gè)相變點(diǎn)Δ=-1，但是Δ=1這個(gè)相變點(diǎn)在四體糾纏的范圍內(nèi)用量子糾纏卻沒能探測到．相比之下，TQD在探測量子相變方面更具優(yōu)勢，不僅利用最近鄰且利用非近鄰的兩體TQ D也能清晰地探測到系統(tǒng)的相變點(diǎn)．因?yàn)門QD總是在量子相變的臨界點(diǎn)處表現(xiàn)出尖峰行為，且在一定范圍內(nèi)隨著溫度的增大TQD依然能夠保持這一特性．利用TQD的這一特性也許可以給實(shí)驗(yàn)上探測量子相變的臨界點(diǎn)帶來很大幫助．最后需要指出的是在我們所研究的范圍內(nèi)，子系統(tǒng)A和B之間的間隔只會(huì)消弱量子關(guān)聯(lián)（糾纏、非糾纏），而溫度對量子關(guān)聯(lián)的影響較為復(fù)雜，溫度對量子糾纏只起抑制和消弱作用，但對QD消弱和促進(jìn)作用同時(shí)存在．

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Quantum Correlations in One-dimensional Ring XXZ Spin Chain

TAN Xiaodong, GAO Wei
（School of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035）

The paper studies pair-w ise and multiple quantum entanglement and pair-w ise quantum discord in one-dimensional ring XXZ spin chain whose system scale L equals 8, and takes full account of the effects of temperature and particle interval on quantum entanglement and quantum discord in this process. The results show that three- and four-qubit entanglement are more “robust” than the pair-w ise one under the same conditions, and the critical points on which the system produces quantum phase transitions can be detected through the multiple entanglement at low temperatures. Compared w ith the quantum entanglement, the quantum discord not only can survive at higher temperatures but also always shows cusp-like behavior at the phase transition point, which endows it w ith more advantages in the detection of the phase transition point.

XXZ Spin Chain；Quantum Entanglement；Quantum Discord；Quantum Correlations；Quantum Phase Transitions

O413.1

A

1674-3563（2013）01-0036-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.01.007 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：王一芳）

2012-05-29

譚小東（1985- ），男，陜西寶雞人，碩士研究生，研究方向：量子信息