袁建軍，王 兆

（1. 北京汽車研究所有限公司，北京 100079；2. 中國汽車技術(shù)研究中心，天津 300300）

0 引 言

對于線性系統(tǒng)，一個輸入對應(yīng)一個輸出，輸入與輸出幅值不同，相位也不同。輸出與輸入的幅度比關(guān)于頻率的函數(shù)稱為幅頻特性，相位差關(guān)于頻率的函數(shù)稱為相頻特性，兩者統(tǒng)稱為頻率特性。

汽車轉(zhuǎn)向盤角脈沖試驗是評價車輛瞬態(tài)響應(yīng)特性較重要的試驗，是在頻率域?qū)囕v轉(zhuǎn)向特性進(jìn)行評價的試驗。目前主要通過轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角脈沖試驗來獲取橫擺角速度頻率特性。具體的客觀指標(biāo)包括幅頻特性中的諧振峰水平、諧振頻率及相頻特性中的諧振頻率下的相位差。

隨著數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)采集系統(tǒng)和計算機(jī)的發(fā)展，原有的基于模擬數(shù)據(jù)的處理方法已經(jīng)過時了。Matlab作為一種通用的數(shù)學(xué)計算軟件可以高效地處理離散時間序列數(shù)據(jù)，并通過時域與頻域之間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，來獲得汽車頻率特性。

1 汽車轉(zhuǎn)向盤角脈沖輸入試驗方法

汽車以最高車速的 70%直線行駛，對轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角和橫擺角速度進(jìn)行調(diào)零。然后給轉(zhuǎn)向盤一個三角脈沖轉(zhuǎn)角輸入。試驗時向左（或向右）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)向盤，并迅速轉(zhuǎn)回原處并保持不動，記錄全部過程的試驗數(shù)據(jù)，直到汽車回復(fù)到直線行駛位置。轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角輸入脈寬為0.3～0.5 s，如圖 1所示，其最大轉(zhuǎn)角應(yīng)使本試驗過渡過程中最大側(cè)向加速度為 4 m/s2（一般認(rèn)為，側(cè)向加速度為4 m/s2時輪胎側(cè)偏特性處于線性范圍內(nèi)，汽車系統(tǒng)的行駛狀態(tài)保持在線性區(qū)）。轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)向盤時應(yīng)盡量使其轉(zhuǎn)角的超調(diào)量達(dá)到最小。記錄時間內(nèi)，保持節(jié)氣門開度不變。

圖2、圖3所示為某三廂轎車轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角時間歷程曲線和橫擺角速度時間歷程曲線，采樣頻率為100 HZ，采樣時間為2.70 s。

2 試驗數(shù)據(jù)處理與結(jié)果的表達(dá)

GB/T6323.3-1994提供了對連續(xù)信號的處理方法。轉(zhuǎn)向盤脈沖輸入和汽車橫擺角速度響應(yīng)進(jìn)行頻率特性分析通過如下數(shù)據(jù)處理方法得到

式中，r(t)為汽車橫擺角速度時間歷程；θ(t)為轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角時間歷程；ω0為計算時選用的最小頻率，一般取為0.1 Hz。

目前模擬數(shù)據(jù)記錄和分析儀器已被淘汰，高采樣頻率的數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)采集系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用，其試驗數(shù)據(jù)一般為離散時間序列。數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)采集系統(tǒng)與計算機(jī)之間具有良好的數(shù)據(jù)交換能力，并可以應(yīng)用計算機(jī)對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

對于離散數(shù)據(jù)信號，轉(zhuǎn)向盤脈沖輸入和汽車橫擺角速度響應(yīng)進(jìn)行頻率特性分析通過如下數(shù)據(jù)處理方法得到

式中，rk為汽車橫擺角速度離散數(shù)值序列；θk為轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角離散數(shù)值序列；ω為計算時選用的最小頻率，Hz，一般取0.1或0.01的整數(shù)倍；Δt為采樣間隔，s。

Matlab是美國Math Works公司自20世紀(jì)80年代中期推出的一款數(shù)學(xué)軟件，在矩陣運算、二維和三維圖形繪制、數(shù)值擬合等方面均有極強(qiáng)的功能，已被廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域。應(yīng)用Matlab軟件對汽車橫擺角速度時間歷程和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角時間歷程數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，先對轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)和汽車橫擺角速度進(jìn)行快速傅里葉變換（命令FFT），即

對于汽車這一線性動態(tài)系統(tǒng) G( f )=R( f)/Θ(f)，然后取模（命令abs）和幅角（命令angle），計算此系統(tǒng)的幅度比和相角差。

對于理想脈沖信號，在頻域中表現(xiàn)為具有極其豐富的頻率成分，以至頻譜占據(jù)整個頻率域，且成均勻分布。在實際中理想脈沖信號難以獲得，另一方面其能量太小難以對汽車系統(tǒng)產(chǎn)生響應(yīng)。

由圖 4汽車橫擺角速度和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角的幅頻特性可知，其能量主要集中在0～3Hz范圍內(nèi)。并且由汽車動力學(xué)特性可知，一般汽車的轉(zhuǎn)向運動頻率特性帶寬最大為1.5～2Hz，因此該項試驗中，在 0～3Hz范圍內(nèi)分析汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的頻率特性才有意義。

由于Matlab軟件的自身特點，離散傅里葉變換算法使得頻域序列是離散的，應(yīng)用快速傅里葉變換所獲得的汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)頻率特性曲線是折線圖?？焖俑道锶~變換之后的頻率分辨率

式中，f為數(shù)據(jù)采樣頻率，s-1；N為離散數(shù)據(jù)點數(shù)。

應(yīng)用Matlab軟件，對汽車橫擺角速度時間歷程和轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角時間歷程數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換（FFT）。原始數(shù)據(jù)共270個離散數(shù)據(jù)點，采樣頻率為100 Hz，幅值比和相角差曲線中的頻率分辨率為0.370 Hz。

圖 5所示為幅值比和相位的頻率特性曲線，其中頻率特性曲線分辨率過低，這是由于離散傅里葉變換的精度受時域信號的長度限制?？梢酝ㄟ^擬合的方法提高頻率分辨率，但擬合意味著失真，同時擬合方法和擬合階次都未知。可以通過原有數(shù)據(jù)后面補(bǔ) 0的方法來提高頻率分辨率。文中例舉的試驗數(shù)據(jù)通過補(bǔ) 0的方法把數(shù)據(jù)點數(shù)增加至 2700個，幅值比和相位曲線中的頻率分辨率為 0.037 Hz。頻率特性曲線如圖6所示。

應(yīng)用Matlab軟件把離散時間序列數(shù)據(jù)代入式（2）進(jìn)行計算，通過累加的方法可以計算出每個頻率點的G(jω)。具體方法是應(yīng)用for循環(huán)語句對每個頻率點進(jìn)行累加，從而使頻率特性的分辨率無限提高（圖7）。

如圖8、圖9所示，通過快速傅里葉變換與通過離散試驗數(shù)據(jù)累加方法所得到的頻率特性曲線雖然分辨率不同，但是具有高度的一致性，實際應(yīng)用中可以根據(jù)情況選擇不同的方法?？焖俑道锶~變換方法效率更高、操作更簡單；離散試驗數(shù)據(jù)累加方法效率稍差，但頻率分辨率可無限提高。

也可以通過系統(tǒng)辨識的方法對試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。系統(tǒng)辨識是根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出時間函數(shù)來確定描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型，是現(xiàn)代控制理論中的一個分支。通過系統(tǒng)的輸入輸出時間函數(shù)來確定描述系統(tǒng)行為的數(shù)學(xué)模型。汽車轉(zhuǎn)向運動可以簡化為一個二自由度平面運動，以汽車前輪轉(zhuǎn)角δ作為輸入、橫擺角速度ω0作為輸出，可以寫成二階微分方程

式中，ω0為固有圓頻率，ξ為阻尼比，

此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

對于離散數(shù)據(jù)，把前輪轉(zhuǎn)角記為變量x，橫擺加速度記為變量y。在線性區(qū)汽車轉(zhuǎn)向運動系統(tǒng)為線性的，可以得到相應(yīng)的二階差分方程

用系統(tǒng)辨識的方法擬合差分方程，獲得系統(tǒng)的頻率特性曲線，應(yīng)用Matlab軟件提供的Armax命令來實現(xiàn)。命令為M = Armax（Z，[na nb nc nk]）其中Z為離散的輸入和輸出數(shù)據(jù)，并依據(jù)式（7）確定 na=2，nb=2，nc=1，nk=1。獲得傳遞函數(shù)H（s）。Armax命令的優(yōu)點是可以對辨識誤差進(jìn)行評估；然后應(yīng)用Freqz命令，獲得此傳遞函數(shù)對應(yīng)的系統(tǒng)頻率特性、系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性曲線，如圖10所示。

3 試驗結(jié)果分析

車輛系統(tǒng)的頻率特性受到三角諧波分量的干擾，這種干擾在低頻區(qū)（≤0.5 Hz ）表現(xiàn)得尤為顯著。造成此種現(xiàn)象的主要原因是來自于車輛轉(zhuǎn)向系統(tǒng)與懸架柔性結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的有色噪聲分量的不可濾除性及數(shù)值積分算法對低頻區(qū)信號偏差的放大作用。

由于汽車自身轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的間隙造成轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角和橫擺角速度的零點不易確定，補(bǔ) 0的方法是人為地認(rèn)定數(shù)據(jù)“0”就是轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角和橫擺角速度的零點，從而導(dǎo)致輸出結(jié)果有一定誤差。由FFT法和累加法的試驗數(shù)據(jù)曲線可知，補(bǔ) 0方法誤差相當(dāng)小，可忽略不計。

幅頻特性曲線應(yīng)在低頻區(qū)較平緩，隨著頻率的升高，幅值比逐漸增加，至諧振頻率 fp時幅值比達(dá)到最大值，此時系統(tǒng)處于共振狀態(tài)。轎車的理想諧振頻率為 1.3 Hz，頻率再升高，幅值比逐漸減小。

諧振峰水平：

其中，Ap為fp處的橫擺角速度增益，1/s；A0為 f=0處的橫擺角速度增益，1/s；理想諧振峰水平為2dB。

相頻特性反映了汽車橫擺角速度w滯后于轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角的失真程度。在1Hz 處的理想相位滯后角為20°。從操縱穩(wěn)定性出發(fā)，希望幅頻特性曲線能夠平緩些，共振頻率能夠高一點，通頻帶能夠?qū)捫?，從而使不同工況下失真程度比較小，在較寬的頻率范圍內(nèi)能夠獲得滿意的操縱穩(wěn)定性；同時希望相位差能夠小些，以保證汽車具有快速靈活的反應(yīng)特性。

4 結(jié) 論

文中闡述了汽車轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角脈沖輸入試驗的試驗方法及基于Matlab軟件的數(shù)據(jù)處理方法，并對試驗原理和結(jié)果進(jìn)行分析。離散試驗數(shù)據(jù)累加的方法可以達(dá)到良好的試驗精度和分辨率，目前也有通過系統(tǒng)辨識的方法來獲得系統(tǒng)頻率特性的方法。

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