武國相, 田克峰, 相昌盛, 鄔德宇

(1. 中國海洋大學 工程學院, 山東 青島 266100; 2. 中交天津港灣工程設計院有限公司, 天津 300461; 3.中交天航濱海環(huán)保浚航工程有限公司, 天津 300450)

近岸較大區(qū)域波浪數(shù)值模型的比較

武國相1, 田克峰2, 相昌盛1, 鄔德宇3

(1. 中國海洋大學 工程學院, 山東 青島 266100; 2. 中交天津港灣工程設計院有限公司, 天津 300461; 3.中交天航濱海環(huán)?？：焦こ逃邢薰? 天津 300450)

將適用于近岸較大區(qū)域波浪傳播變形的三種模型, 即基于拋物型緩坡方程的不規(guī)則波模型、引入淺水波浪譜TMA譜的SWAN(simulating waves nearshore)模型以及采用默認JONSWAP譜的SWAN模型應用于特拉華大學(University of Delaware)圓形淺灘實驗進行比較。結果顯示, 拋物型緩坡方程和SWAN的模擬結果與實驗所測數(shù)據(jù)符合都比較好; SWAN在非線性作用較強的淺灘中心及靠后部效果更佳, 而拋物型緩坡方程由于沒有考慮非線性作用, 模擬得到的最大波高較實測值偏高, 且波高變化較為劇烈。

拋物型緩坡方程; SWAN(simulating waves nearshore); 圓形淺灘; 不規(guī)則波; TMA譜

對于自外海到近岸較大區(qū)域的波浪場計算, 目前一般采用拋物近似型緩坡方程或者基于能量守恒的相位平均波浪模型。拋物型緩坡方程屬于規(guī)則波模型, 如果忽略波與波之間的相互作用, 采用線性疊加法則可以使之用于不規(guī)則波的計算; SWAN (simulating waves nearshore)[1]是基于動譜平衡方程的第三代波浪模型, 全面地考慮了波浪淺化、折射、繞射[2]、底摩擦、破碎、白浪、風能輸入及波浪非線性效應。本文將適用于淺水地區(qū)的 TMA譜[3]引入SWAN, 與采用默認JONSWAP譜的SWAN以及拋物型緩坡方程應用于特拉華大學(University of Delaware)圓形淺灘實驗, 并與實驗的實測結果進行對比和分析, 得到了具有一定工程應用價值的結論。

1 模型介紹

1.1 拋物型緩坡方程

本文采用的拋物型緩坡方程為:

式中,C為波速,Cg為波群速度,φ為速度勢函數(shù),k為波數(shù)。

方程采用Crank-Nicholson格式進行離散求解。對于不規(guī)則波, 本文忽略波與波之間的非線性相互作用, 采取線性疊加法[4-5]進行計算。根據(jù)隨機波浪理論, 不規(guī)則波可視為由不同方向、不同頻率的組成波疊加而成。波面高度可表示為:

式中:ξ為波面高度,amn為組成波振幅,fm為組成波頻率,km為組成波波數(shù),θn為組成波的波向,εmn為隨機初相位, 服從(0,2π)區(qū)間的均勻分布。

波浪能量在頻率和方向上的分布可由波浪方向譜S(f,θ)表示:

式中:S(f)為頻率譜,G(f,θ)為方向分布函數(shù)。

不規(guī)則波有效波高和波譜的關系為:Hs≈ 4.0,式中:m0是波譜的零階矩, 定義為:

在不規(guī)則波模型中, 采用頻率方向對應法對波浪譜進行離散, 組成波振幅amn可由離散化的波譜確, 將每一組成波計入緩坡方程進行計算, 最終(x,y)處合成的波高值為:

考慮到淺水波浪破碎[6], 計算出各個點的波高后, 與當?shù)厮顩Q定的最大(破碎)波高對比, 如果大于當?shù)厮畹淖畲?破碎)波高, 則波高按照當?shù)厮畹淖畲蟛ǜ呷≈? 而后進入下一步的計算。

1.2 SWAN模型

SWAN[1]模型是一種基于能量守恒原理的波浪譜模型, 各種物理過程(例如風生浪作用、底摩擦耗散、波浪破碎、波-波相互作用等等)用不同的源函數(shù)表示, 有效地簡化了波浪場的動力學計算過程, 同時它對空間和時間步長沒有苛刻的要求, 可適用于較大區(qū)域和長時間尺度的計算。

SWAN模型是以二維動譜密度表示隨機波。其中動譜密度N(σ,θ)為能譜密度E(σ,θ)與相對頻率σ的比值。在直角坐標系下, 動譜平衡方程表示為

其中N為波浪作用譜,cx,cy,cσ,cθ分別是x,y,σ,θ方向的空間傳播速度。左邊第一項為N隨時間的變化率; 第二、三項代表N作用在地理空間的傳播; 第四項是N在相對頻率空間σ的變化, 主要是由水深和流速的變化產(chǎn)生; 第五項代表由于水深和流而引起的折射。這幾種傳播速度的具體表達式可用線性波浪理論獲得。該方程右側S為波作用密度的源項,該項是由風能輸入、波浪耗散、波與波之間非線性、波浪繞射相互作用四個部分組成。

2 圓形淺灘實驗

2.1 實驗布置

模型采用 Chawla等[4]在特拉華大學所做的圓形淺灘實驗進行驗證分析。如圖 1 所示, 水池長18 m, 寬18.2 m, 圓形淺灘以外部分水深相同。沿淺灘周圍的 1個縱斷面(A-A′)、6個橫斷面(B-B′, C-C′, D-D′, E-E′, F-F′, G-G′)采集實驗數(shù)據(jù)。淺灘中心位于x＝5 m,y＝8.98 m處, 半徑2.57 m, 水深可表示為:

其中h0為淺灘以外的水深,h0＝0.4 m, 淺灘頂部的水深為0.03 m。

邊界處(x=0)入射的波浪譜采用TMA譜:

圖1 實驗地形及實驗數(shù)據(jù)采集位置Fig. 1 Experiment bathymetry and data locations

式中α是Phillips常數(shù),fm是譜峰頻率,γ是譜峰升高因子, 取γ＝10,σs是峰形參數(shù),φ(f,h)是包含水深影響的無因次函數(shù)。φ(f,h)可近似表示為

式中θ0是入射波向, 取0°,σd是方向分布的標準差,L是級數(shù)的項數(shù), 取50。

SWAN中默認采用的方向分布函數(shù)為:

其中,θ0為主入射波向,m取較大值時, 方向分布寬度越窄, 取較小值時, 分布寬度越寬,G0為常數(shù),其值可由下式?jīng)Q定:

對應于Wrapped-normal分布函數(shù)中σd＝5,σd＝20, 可分別取m＝120,m＝7(表1), 由下面的圖2可看出, 此時兩種分布函數(shù)基本相同, 計算結果不會因為方向分布函數(shù)的不同而受到影響。

取原實驗的其中兩組, 如表1所示, 其中實驗1方向分布寬度較窄、入射波高較小, 實驗2方向分布寬度較寬、入射波高較大; 兩種情況下中、淺灘上方均發(fā)生波浪破碎。

表1 實驗入射波浪參數(shù)及破碎指標Tab. 1 Incident wave parameters and breaking indexes

2.2 模型設置

實驗分三組進行對比, 第一組為修改后的SWAN, 采用TMA頻率譜; 第二組采用SWAN默認的 JONSWAP譜; 第三組為拋物型緩坡方程不規(guī)則波浪模型。分組情況如表2所示。

第一組實驗中, SWAN模型采用笛卡爾坐標系,將計算區(qū)域劃分為182×180個網(wǎng)格,x,y方向的計算精度均為0.1 m; 將TMA頻率譜應用于SWAN, 計算范圍1～3 Hz, 采用指數(shù)分割法劃分數(shù)為30。方向譜計算范圍為–60°～60°, 計算精度2°; 開啟繞射項、三波相互作用和波浪破碎, 關閉風的成長和四波相互作用; 波浪破碎指標取值如表1所示。

第二組中, SWAN采用默認的JONSWAP譜, 其他參數(shù)設置同第一組。

第三組拋物型緩坡方程模型中, 頻譜采用 TMA譜, 方向譜采用 Wrapped-normal分布函數(shù), 計算范圍和計算精度與 SWAN模型中相同, 頻譜劃分數(shù)為30, 方向譜劃分數(shù)為60。為了便于對比, 波浪破碎指標每組的取值同 SWAN。各組入射波浪的頻率譜和方向譜如圖2所示。

表2 實驗分組情況及其采用的波浪譜Tab. 2 Test groups and wave spectra

圖2 頻率譜和方向Fig. 2 Frequency spectra and direction spectra

3 實驗結果與分析

各組相對波高值(H/H0)(波高計算值與入射波高的比值)如圖3～圖5所示。

圖 3為縱斷面 A-A′上的相對波高, 可以看出SWAN和拋物型緩坡方程均能較好地模擬波浪在圓形淺灘地形上的傳播與變形。在淺灘的中心及其偏后的部分, 也是波浪非線性作用和波浪破碎作用最強的部分, SWAN的模擬效果比較準確, 尤其是較寬方向分布的情況, 在較窄的方向分布情況下, 模擬的波高最小值有些偏高, 而最大值則稍微偏低些;與之相比, 拋物型緩坡方程的結果相對不太理想,淺灘中心偏前部分計算值較實測值偏低, 中心及偏后部分最大波高的計算值則偏大(實驗 1 1.7VS1.4,實驗2 1.9VS1.5)。這可能是因為在拋物型緩坡方程中是以規(guī)則波線性疊加法模擬不規(guī)則波, 沒有考慮波波相互作用, 且對于波浪破碎也僅僅是在對應當?shù)厮詈推扑橹笖?shù)在波高上進行線性修正, 而波浪破碎是非線性作用非常強的過程, 耗散能量非常大,故淺灘中后部模擬值較實測值高。僅就SWAN來講,對于方向分布較寬的實驗 1的模擬結果比方向分布較窄的實驗 2模擬結果更為準確, 這一點 Hu和Ding[8]也曾論述過; 而TMA譜的計算結果較SWAN默認的 JONSWAP譜略微偏小, 原因是本實驗中TMA譜中的水深因子φ(f,h)對波浪譜的形狀影響很小。

圖3 A-A′縱斷面的相對波高Fig. 3 Relative wave heights along section A-A′

圖4 實驗1各橫斷面的相對波高Fig. 4 Relative wave heights along section B-B′ to G-G′ in experiment 1

圖5 實驗2各橫斷面的相對波高Fig. 5 Relative wave heights along section B-B′ to G-G′ in experiment 2

圖4和圖5是六個橫斷面上的相對波高, 對比實驗1、實驗2可以看出, 方向分布寬度越大, 淺灘后波高分布越平緩, 在剛到達淺灘的G-G′, F-F′斷面以及淺灘后的三個斷面(B-B′, C-C′, D-D′)處SWAN和拋物型緩坡方程的模擬結果都非常好; SWAN的結果在實驗 1 的 F-F′斷面和實驗 2 的 E-E′斷面偏小;在 E-E′斷面, 拋物型緩坡方程得到的波高分布更為集中, 波高最大值較實測偏大(實驗1 1.4VS1.4 實驗2 2.0VS1.4)。各個橫斷面的波高分布總體來說, 拋物型緩坡方程和SWAN的計算結果都還是令人滿意的,拋物型緩坡方程由于沒有考慮波浪的非線性作用,在淺灘中后部的準確度還有待改進。

4 結論

(1)本文針對 Chawla等在特拉華大學所做的圓形淺灘實驗, 分別采用添加TMA譜的SWAN、默認的SWAN和拋物型緩坡方程模擬了波浪在淺灘地形上的傳播變形并與實測數(shù)據(jù)對比, 結果顯示這幾種模型均與實驗結果符合較好, 其中在波浪破碎較為劇烈的淺灘中心及靠后的地方, 考慮了波浪非線性作用和較合理的波浪破碎作用的SWAN模型更加準確, 對于近岸波浪場的計算, SWAN和拋物型緩坡方程均能滿足工程應用的需要。(2)無論是選用TMA譜,還是JONSWAP譜對本實驗的計算結果均影響不大。

[1] Booij N, Holthuijsen L H, Ris R C. The “SWAN” wave model for shallow water[J]. Coastal Engineering, 1996, 1: 668-672.

[2] Holthuijsen L H, Herman A, Booij N. Phase-decoupled refraction-diffraction for spectral wave models[J]. Coastal Engineering, 2003,49(4): 291-305.

[3] Bouws E, Gunther H, Rosenthal W, et al. Similarity of the wind wave spectrum in finite depth water[J]. Journal of Geophysical Research, 1985, 90: 975-986.

[4] Chawla A, Okan-Haller H T, Kirby J T. Spectral model for wave transformation and breaking over irregular bathymetry[J]. Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering, 1998, 124(4): 189-198.

[5] 陶建華, 韓光. 高階近似拋物緩坡方程的隨機波模型[J]. 中國港灣建設, 2001, 12(6): 20-25.

[6] 陳漢寶, 張福然, 陳陽, 等. 拋物線形緩坡方程波浪數(shù)學模型研究[J]. 水道港口, 1999, 6(2): 25-30.

[7] Borgman L E. Directional spectrum estimation for Sxy gages-Technical Report[R]. Vicksburg, MS, USA: CERC Waterways Experiment Station, 1984.

[8] Hu Kelin, Ding Pingxing. Numerical study of wave diffraction effect introduced in the SWAN model[J]. China Ocean Engineering, 2007, 21(3): 495-506.

(本文編輯: 劉珊珊)

Performance comparison of wave models for large coastal areas

WU Guo-xiang1, TIAN Ke-feng2, XIANG Chang-sheng1, WU De-yu3
(1. College of Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2. Tianjin Port Engineering Design & Consulting Company Ltd. of China Communications Construction Company, Tianjin 300461, China; 3. China Communications Construction Company Binhai Environmental Channel Dredging Company Ltd., Tianjin 300450, China)

Aug.,31, 2011

parabolic mild slope equation; SWAN(simulating waves nearshore); circular shoal; random wave; TMA spectrum

Random wave model based on approximate parabolic mild slope equation, (simulating waves nearshore) (SWAN) modified for TMA spectrum and SWAN with default JONSWAP spectrum were applied for the circular shoal experiments in the wave basin of University of Delaware. The results all agreed well with the data. SWAN gave better results at the shoal center and behind the shoal. Because nonlinear interaction was ignored in parabolic mild slope equation model, it gave higher maximum value and wave heights varied sharply in space.

TV139.2

A

1000-3096(2013)01-0001-06

2011-08-31;

2012-11-27

國家自然科學基金(50809065)

武國相(1986-), 男, 山東青島人, 碩士, 從事河口海岸水動力數(shù)值研究, E-mail: wuguoxiang9@163.com