謝波,汪荃

(1.重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院,重慶 402160； 2.武漢科島地理信息工程有限公司,湖北武漢 430079)

最小一乘法GM(1,1)在變形監(jiān)測中的應(yīng)用

謝波1?,汪荃2

(1.重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院,重慶 402160； 2.武漢科島地理信息工程有限公司,湖北武漢 430079)

在分析GM(1，1)建模過程和最小一乘法原理的基礎(chǔ)上提出最小一乘法GM(1，1)，解算最小一乘法GM(1，1)的線性規(guī)劃問題，分析和比較了最小一乘法GM(1，1)和GM(1，1)在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。結(jié)果表明：將變形系統(tǒng)看成灰色體系，采用最小一乘法GM(1，1)模型預(yù)報沉降變形監(jiān)測結(jié)果是可行的和有效的，即使在較少的數(shù)據(jù)信息情況下，通過縮短外推時間，也可以達(dá)到較高的預(yù)測精度，具有實(shí)用和推廣價值。

灰色模型；變形監(jiān)測；時間序列；預(yù)測

1 引 言

灰色系統(tǒng)理論是用來解決信息不完備的隨機(jī)時間序列數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)方法,它利用原始數(shù)據(jù)序列累加生成的新數(shù)據(jù)序列來建立一個微分方程形式的時間連續(xù)函數(shù)模型GM(n,h),并以此作出預(yù)測[1]。最常用的灰色模型為一階單變量灰色模型GM(1,1),用最小二乘法進(jìn)行灰色模型GM(1,1)的參數(shù)估計(jì)[2～4],但最小二乘法的穩(wěn)健性較差,而最小一乘法能有效降低異常數(shù)據(jù)對回歸系數(shù)的敏感性影響。本文在分析GM(1,1)建模過程和最小一乘法原理的基礎(chǔ)上提出最小一乘法GM(1,1),并利用Matlab 6.5解算最小一乘法GM(1, 1)的線性規(guī)劃問題,最后對兩種方法在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用進(jìn)行分析和比較,得出一些有益的結(jié)論。

2 GM(1，1)模型

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為:

Y=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T

則用最小二乘法估計(jì)微分方程的系數(shù)a,b:

將a、b帶入GM(1,1)模型的白化微分方程:

令x(1)(0)=x(0)(1),上述方程的解為一時間函數(shù):作逆累加生成,還原GM(1,1)模型為:

此式即為GM(1,1)的預(yù)測模型。

3 最小一乘法GM(1，1)模型

3.1 最小一乘法的原理

從本質(zhì)上講,最小二乘法的準(zhǔn)則是誤差平方和最小,最小一乘法的準(zhǔn)則是誤差絕對值和最小,在上述準(zhǔn)則下求式(6)的回歸系數(shù)a、b。

用最小一乘法來估計(jì)回歸系數(shù)能降低異常點(diǎn)對回歸系數(shù)的敏感性影響,穩(wěn)健性較強(qiáng),因此在某些方面,人們已經(jīng)偏向于用最小一乘法來估計(jì)回歸系數(shù),并對其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行研究[5]。

3.2 最小一乘法GM(1，1)模型的原理

基于最小一乘法的GM(1,1)模型在解算微分方程式(1)的系數(shù)a、b時應(yīng)用最小一乘準(zhǔn)則,即求下式:

作如下變換,令:

預(yù)報函數(shù)為:

則式(7)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題[6]:

4.2 最小一乘法GM(1，1)模型解算

解算最小一乘法GM(1,1)模型的關(guān)鍵在于解算線性規(guī)劃問題式(8)。運(yùn)用工具軟件Matlab 6.5求解時,可轉(zhuǎn)化為如下標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算程序[7],其中的參數(shù)轉(zhuǎn)換為:

求解上述線性規(guī)劃問題得到a′、a″、b′、b″,并計(jì)算得a=a′-a″,b=b′-b″。

4 工程應(yīng)用實(shí)例

預(yù)報函數(shù)為:

以某高層建筑HD點(diǎn)沉降觀測數(shù)據(jù)為例。由于該建筑物發(fā)生沉降的機(jī)理復(fù)雜,沉降觀測點(diǎn)的變形值僅是時間的變量,且觀測值序列為等時間間隔數(shù)據(jù),因而可以建立灰色模型來進(jìn)行預(yù)測。

4.1 GM(1，1)模型的建立及解算

監(jiān)測點(diǎn)HD的原始數(shù)據(jù)序列見表1。為了驗(yàn)證灰色理論的有效性和優(yōu)越性,僅取4月11日～5月1日4期的觀測值序列為建模樣本序列:

基于最小二乘法解算GM(1,1)微分方程的系數(shù)a、b:

4.3 模型預(yù)測數(shù)據(jù)及分析

根據(jù)上述兩種灰色模型建立的預(yù)報函數(shù),預(yù)測后面8期的數(shù)據(jù),如表1所示。從表1可見,利用4月11日～5月1日4期的觀測值序列建立的GM(1,1)和最小一乘法GM(1,1)模型的擬合數(shù)據(jù)精度都較好,但是預(yù)測數(shù)據(jù)隨著往后預(yù)測的時間推移,預(yù)測數(shù)據(jù)的誤差越來越大。說明利用前4期的靜態(tài)建模,作中長期預(yù)測,偏差越來越大。對于4月11日～6月24日全部觀測值數(shù)據(jù)序列,兩種模型整體的全中誤差分別為1.61mm和1.60mm。

觀測值和預(yù)測值 表1

由于觀測值是時間序列數(shù)據(jù),且從表1中可見,以4月11日～5月1日觀測值建立預(yù)報函數(shù),預(yù)報5月8日的觀測值的精度較高。因此,重新按如下思路建立預(yù)測模型:以任意的連續(xù)的前4期觀測值建立模型,僅對其后的第5期進(jìn)行一步預(yù)測,如此循環(huán)推進(jìn)預(yù)測,預(yù)測數(shù)據(jù)如表2所示。從表2可見,GM(1,1)和最小一乘法GM(1,1)模型的一步預(yù)測精度較高,兩種模型的全中誤差分別為0.33 mm和0.37 mm。

觀測值和一步預(yù)測值 表2

5 結(jié) 論

(1)影響建筑物沉降的因素較多,模型建立難度較大,將灰色理論及灰色模型預(yù)報技術(shù)應(yīng)用于變形監(jiān)測點(diǎn)沉降預(yù)報的研究結(jié)果表明:將變形系統(tǒng)看成灰色體系,采用GM(1,1)或最小一乘法的GM(1,1)模型預(yù)報沉降變形監(jiān)測結(jié)果是可行的和有效的。

(2)灰色模型尤其適用于呈現(xiàn)單調(diào)趨勢變化的時間序列,隨著時間的外推,模型預(yù)測的誤差越來越大,因而,為提高預(yù)測精度,可根據(jù)外推時間的長短,應(yīng)用近期的觀測數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型,能夠滿足較高預(yù)測精度的要求。

(3)GM(1,1)或最小一乘法的GM(1,1)建模需要的原始數(shù)據(jù)較少,甚而在僅有4期原始數(shù)據(jù)序列的情況下也能得到很好的預(yù)測結(jié)果,并且計(jì)算過程簡單,利用工具軟件較容易實(shí)現(xiàn),因而在實(shí)踐中具有實(shí)用價值。

[1] 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法[M].武漢：華中理工學(xué)院出版社，1981.

[2] 尹暉，陳永奇，張琰.貧信息條件下的多點(diǎn)變形預(yù)測模型及其應(yīng)用[J].測繪學(xué)報，1997，26(4)：365～372.

[3] 李斌，朱健.非等間隔灰色GM(1，1)模型在沉降數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用[J].測繪科學(xué)，2007，32(4)：52～55.

[4] 馬寶卿.用灰色模型預(yù)測邊坡變形的新方法探討[J].測繪通報，2002，11：17～24.

[5] 陳希儒.最小一乘線性回歸[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，1989，8(5)：48～55.

[6] 蒲俊，吉家鋒，伊良忠.MATLAB 6.0數(shù)學(xué)手冊[M].上海：浦東電子出版社，2002.

[7] 仇環(huán).地表變形監(jiān)測數(shù)據(jù)挖掘[D].淄博：山東理工大學(xué)，2008：23～24.

App lication of GM(1,1)M odel Based on Least Absolute Deviation to Deformation Observation

Xie Bo1,Wang Quan2
(1.Construction Department of Chongqing Hydroelectric College,Chongqing 402160,China；2.Wuhan Kedao Geographical Information Enginering Co.,Ltd.Wuhan 430081,China)

Based on analysis of progress of GM(1,1)modeling and principle of least absolute deviation,the article propose GM(1,1)model based on leastabsolute deviation and solute the linear programming problem in GM(1,1)model based on least absolute deviation,analyze and compare GM(1,1)model based on least absolute deviation with GM (1,1)in application of deformation observation data processing.The results show that take The deformed system as gray system and adopt GM(1,1)model based on least absolute deviation to predict deformationmonitoring results is feasible and effective,even in the case of less data,extrapolation by shortening the time,higher prediction accuracy can also be reached,so it has practical and promotional value.

green model；deformation observation；time series；forecasting

1672-8262(2013)06-150-03

P216，TU196+.1

A

2013—05—28

謝波(1973-),男,工程師,主要研究方向?yàn)榫芄こ虦y量和測量數(shù)據(jù)處理。