唐和生，胡長遠(yuǎn)，薛松濤，3

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海 200092；3.東北理工大學(xué) 建筑學(xué)科，日本 仙臺(tái) 982－8577）

桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化的免疫克隆選擇算法＊

唐和生1，2，胡長遠(yuǎn)2?，薛松濤1，2，3

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海 200092；3.東北理工大學(xué) 建筑學(xué)科，日本 仙臺(tái) 982－8577）

為了解決帶有約束的結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化問題，將免疫克隆選擇算法應(yīng)用于桁架結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中.根據(jù)免疫學(xué)基本原理，采用非支配鄰域選擇機(jī)制、比例克隆和精英策略，使算法很好地保持了所得解的多樣性、均勻性和收斂性.在桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型中，采用懲罰函數(shù)法處理違反約束的情況.為了驗(yàn)證所提算法的可行性和有效性，對(duì)經(jīng)典桁架進(jìn)行了優(yōu)化，并與其它方法作比較，數(shù)值結(jié)果表明，該算法在收斂速度、時(shí)間消耗和求解質(zhì)量上均具有一定的優(yōu)勢(shì).

多目標(biāo)優(yōu)化；桁架結(jié)構(gòu)；精英策略；免疫克隆選擇算法

大多數(shù)的桁架優(yōu)化在一般情況下都處理成單目標(biāo)優(yōu)化問題，但也有一些特殊的應(yīng)用場(chǎng)合，亦會(huì)出現(xiàn)要求一個(gè)以上的桁架設(shè)計(jì)指標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，即進(jìn)行桁架的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的情況.相較于單目標(biāo)問題，多個(gè)目標(biāo)之間的矛盾性和不可公度性，多目標(biāo)優(yōu)化可行解的非唯一性，使得桁架多目標(biāo)優(yōu)化問題的處理相對(duì)比較復(fù)雜.

傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法往往需要多次重復(fù)計(jì)算，且易陷入局部最優(yōu)解.自意大利的經(jīng)濟(jì)學(xué)家帕累托提出的基于Pareto支配關(guān)系法則的Pareto最優(yōu)前沿解集的概念之后，發(fā)展起來的多目標(biāo)的優(yōu)化方法，絕大部分都是基于Pareto概念的多目標(biāo)優(yōu)化算法［1－2］.

近年來，一些新的仿生智能算法被引入多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域，如遺傳算法和人工免疫系統(tǒng)算法［3－4］等.2002年，Deb等學(xué)者通過對(duì)NSGA進(jìn)行改進(jìn)，提出了非常經(jīng)典的算法：NSGA-II，但其在搜索過程中會(huì)出現(xiàn)單參數(shù)劣化的情況［5］.2004年，Luh和Chueh提出了利用細(xì)胞因子處理約束問題的免疫多目標(biāo)優(yōu)化算法（CMOIA）［6］.人工免疫系統(tǒng)是通過學(xué)習(xí)外界物質(zhì)的自然防御機(jī)理，受生物免疫系統(tǒng)啟發(fā)而提出的一種適應(yīng)性系統(tǒng).這一領(lǐng)域出現(xiàn)于20世紀(jì)80年代中期，它的應(yīng)用涵蓋了諸多領(lǐng)域，已經(jīng)成為繼神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［7］、模糊邏輯［8］和進(jìn)化計(jì)算［9］后，人工智能的又一個(gè)研究熱點(diǎn).

早期的免疫克隆選擇算法主要集中在解決單目標(biāo)優(yōu)化問題，逐漸發(fā)展應(yīng)用到多目標(biāo)優(yōu)化問題［10－11］.由于傳統(tǒng)方法未使用特定的技術(shù)來保持種群中抗體的多樣性，這樣通常會(huì)導(dǎo)致早熟收斂；有些方法解決的僅是無約束多目標(biāo)問題［4］，然而在實(shí)際應(yīng)用過程中通常都會(huì)遇到多個(gè)約束條件.Coello提出了一種模擬只有與抗原具有最高親和度的抗體才會(huì)繁殖的免疫算法并對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，但算法過于復(fù)雜［1，12］.在土木工程領(lǐng)域中，關(guān)于免疫克隆選擇算法在結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化方面應(yīng)用的文獻(xiàn)還很少.鑒于此，本文提出的免疫克隆多目標(biāo)優(yōu)化算法（MOICSA）是受免疫克隆學(xué)基本原理啟發(fā)，采用非支配克隆選擇、比例克隆和精英策略實(shí)現(xiàn)Pareto前沿最優(yōu)解.在進(jìn)行啟發(fā)式搜索之前，這些被選定的個(gè)體要按照其對(duì)應(yīng)的擁擠距離按比例進(jìn)行克隆.通過采用非支配鄰域選擇和按比例克隆的方法［4］，更多地關(guān)注于當(dāng)前折衷前沿不那么擁擠的區(qū)域，因此具有更強(qiáng)的搜索能力和更好的收斂性.同時(shí)精英策略保證了優(yōu)秀的抗體所攜帶的信息不會(huì)在突變的過程中丟失，從而引導(dǎo)抗體群朝著較優(yōu)的方向進(jìn)化.

為了驗(yàn)證該方法的有效性，本文以桁架的桿件截面面積為設(shè)計(jì)變量，以結(jié)構(gòu)總重量最小和關(guān)鍵結(jié)點(diǎn)位移最小為目標(biāo)，在滿足一定應(yīng)力條件下，對(duì)桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并與其它方法進(jìn)行比較.

1 多目標(biāo)免疫克隆優(yōu)化算法

1.1 人工免疫系統(tǒng)的基本機(jī)理

免疫是指機(jī)體對(duì)“自己”和“非己”的識(shí)別并排除非己的功能.具體地說，免疫是機(jī)體識(shí)別和排除抗原性異物，以維護(hù)自身生理平衡和穩(wěn)定的功能.這種能夠誘導(dǎo)機(jī)體免疫響應(yīng)并能與相應(yīng)抗體發(fā)生特異性反應(yīng)的物質(zhì)稱為抗原.在人工免疫系統(tǒng)中，抗原一般指問題及其約束.具體地，它是問題目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)，是人工免疫系統(tǒng)算法的始動(dòng)因子以及重要的度量標(biāo)準(zhǔn).對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題，抗原定義如下：

式中：f為含有n個(gè)目標(biāo)的參數(shù)化的最大化或最小化函數(shù)，函數(shù)g和h分別為不等式和等式約束，此處的x＝ ｛x1，x2，…，xl｝是決策向量，l和n分別為設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)，Ω是可行域，n≥2.

免疫系統(tǒng)應(yīng)答是針對(duì)某種特定的“非己”物質(zhì)即抗原而作出的特定的反應(yīng).當(dāng)檢測(cè)到一個(gè)抗原時(shí)，抗體就會(huì)識(shí)別該抗原，并作出是否將該抗體通過克隆來增值的決定，這一過程稱為克隆選擇.在人工免疫系統(tǒng)中，抗體一般是指問題的候選解，在該問題中，一個(gè)規(guī)模為m 的抗體群定義為B ＝ ｛b1，b2，…，bm｝.抗 體bi＝ ｛b1，b2，…，bl｝是變量x的編碼，記為bi＝e （x），1≤i≤m.x被稱為抗體bi的解碼，表示為x＝e－1（bi） .

1.2 非支配克隆選擇和比例克隆

根據(jù)Pareto最優(yōu)的概念將抗體劃分為非支配抗體和支配抗體（用D表示支配抗體集），支配抗體是種群B中的非支配個(gè)體，非支配個(gè)體即是問題的Pareto最優(yōu)解.在多目標(biāo)算法中，D中的支配抗體按照其對(duì)目標(biāo)函數(shù)取值多樣性的貢獻(xiàn)多少進(jìn)行排序.這個(gè)可以通過擁擠距離進(jìn)行度量［5］.對(duì)于多目標(biāo)而言，一個(gè)支配抗體d∈D的擁擠距離由式（2）給出：

克隆選擇的標(biāo)準(zhǔn)是按照降序排列擁擠距離，選取前nA個(gè)個(gè)體作為活性種群A.通過對(duì)A進(jìn)行正比例克隆，獲取新的克隆種群C.克隆次數(shù)qi由抗體個(gè)體擁擠距離……qi確定：

1.3 交叉和變異

交叉和變異操作的目的是使抗體群保持或增加多樣性，本文采用靜態(tài)超變異［13］，交叉操作在克隆種群C和活性種群A的個(gè)體之間進(jìn)行.

1.4 精英策略

為防止抗體群劣化，在克隆前的抗體群中選擇對(duì)抗原親和度較高的抗體組成抗體群，讓其直接加入突變后的抗體群組成新的抗體群.精英策略保證了優(yōu)秀的抗體所攜帶的信息不會(huì)在突變的過程中丟失，從而引導(dǎo)抗體群朝著較優(yōu)的方向進(jìn)化.

1.5 算法描述

2 桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化

考慮一個(gè)桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，目的是滿足所有約束條件的同時(shí)實(shí)現(xiàn)有最小的重量以及最小的變形.以n桿桁架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為研究對(duì)象，基本參數(shù)已知，優(yōu)化目標(biāo)是在給定的荷載條件下找出n桿桁架的最優(yōu)截面面積使結(jié)構(gòu)質(zhì)量最輕同時(shí)使節(jié)點(diǎn)變形達(dá)到最小.因此，其數(shù)學(xué)模型可表示為：

3 數(shù)值分析

為驗(yàn)證MOICSA算法對(duì)桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效性，以下對(duì)一典型的桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，同時(shí)與NSGA-II，CMOIA等方法進(jìn)行比較.MOICSA算法的參數(shù)選擇如下：活性種群規(guī)模NA＝20；克隆倍數(shù)為NC＝100；支配種群規(guī)模NM＝100；變異概率pm＝0.1；最大迭代次數(shù)Gmax取500.

圖1所示為25桿空間桁架，材料的彈性模量E＝68 950MPa，密度ρ＝2 768kg／m3，應(yīng)力約束為±275.8MPa，l＝635mm.設(shè)計(jì)變量為離散變量，D＝645.16× ｛0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0，3.1，3.2，3.3，3.4｝，mm2.節(jié)點(diǎn)荷載見表1，桿件分組見表2.本例以桿件截面面積為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)最小化結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和①節(jié)點(diǎn)最大位移這兩個(gè)目標(biāo).

圖1 25桿空間桁架Fig.1 25bar space truss

表1 25桿桁架節(jié)點(diǎn)荷載Tab.1 Loading conditions of the 25-bar space truss

表2 25桿件分組表Tab.2 Group members of the 25-bar space truss

為了驗(yàn)證MOICSA方法的優(yōu)越性，同時(shí)也與NSGA-II方法進(jìn)行比較，NSGA-II的種群數(shù)也取100.圖2給出了兩種方法的Pareto最優(yōu)前沿比較，結(jié)果顯示經(jīng)過相同的代數(shù)迭代后MOICSA的Pareto前沿比NSGA-II算法的Pareto前沿要明顯趨于最優(yōu)，而且前者的非支配解的分布也更加均勻有致.兩種方法的收斂曲線如圖3所示.從圖3可以看出：MOICSA收斂速度明顯比NSGA-II快.不同迭代次數(shù)下的極端點(diǎn)坐標(biāo)和運(yùn)算時(shí)間比較結(jié)果列于表3.從表3可以看出，與NSGA-II和CMOIA相比，MOICSA的豎向和水平向極端點(diǎn)都擴(kuò)展得更遠(yuǎn)，且耗時(shí)較少.500代MOICSA Pareto最優(yōu)前沿與文獻(xiàn)［14－16］的比較見圖4，特殊點(diǎn)A點(diǎn)處桿件的截面積與文獻(xiàn)［14，16］結(jié)果的對(duì)照見表4.

圖2 25桿桁架MOICSA和NSGA II的Pareto最優(yōu)前沿比較Fig.2 The comparison of Pareto optimal front between MOICSA and NSGA II

圖3 25桿桁架極大位移點(diǎn)位移的收斂曲線Fig.3 The displacement convergence curves of vast displacement point for 25bar truss

圖1所示桁架中，在應(yīng)力約束為［－275.8，275.8］MPa，1和2節(jié)點(diǎn)的最大豎向位移不能超過8.889 mm的情況下，文獻(xiàn)［14－16］的單目標(biāo)最優(yōu)解結(jié)果如表4和圖4所示.在應(yīng)力約束相同，而把位移作為另一目標(biāo)函數(shù)的情況下，文獻(xiàn)［14－16］的解處在MOICSA的Pareto最優(yōu)前沿上，且與特殊點(diǎn)A（總質(zhì)量為221.88kg，位移為8.889mm）相近似，由此可以證明單目標(biāo)最優(yōu)解是MOICSA非支配解的一個(gè)子集.與單目標(biāo)優(yōu)化不同的是，MOICSA多目標(biāo)Pareto最優(yōu)前沿包含有更多的解，能為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供更多的方案.

表3 不同迭代次數(shù)下的極端點(diǎn)坐標(biāo)和運(yùn)算時(shí)間比較Tab.3 The comparison of extreme point coordinates and operation time under different iterations

表4 不同方法的截面變量值比較表Tab.4 Comparison of design variable values among different methods mm2

圖4 500代Pareto最優(yōu)前沿與單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果的比較Fig.4 Pareto solutions after 500iterations and comparison with single-objective optimization methods

4 結(jié) 論

1）基于非支配克隆選擇、比例克隆和精英主義策略的免疫克隆多目標(biāo)優(yōu)化算法，算法簡單，收斂迅速，耗時(shí)較少，易于實(shí)現(xiàn)，且更好地保證了在演化過程中，種群的多樣性，使得解集能夠從可行域內(nèi)部和不可行域的邊緣向著最優(yōu)解逼近，從而更好地保證了所得最優(yōu)解的多樣性以及很好的逼近性.

2）本文對(duì)典型桁架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行了數(shù)值分析，并且與NSGA II，CMOIA及相關(guān)文獻(xiàn)的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了比較討論.數(shù)值結(jié)果表明，MOICSA算法在極端點(diǎn)擴(kuò)展、解的均勻性以及收斂速度上要優(yōu)于其他算法，所得解集能夠包含單目標(biāo)優(yōu)化的最優(yōu)解，驗(yàn)證了MOICSA算法很好地保持了所得最優(yōu)解的多樣性、均勻性以及較強(qiáng)的收斂性，說明了該算法適合于結(jié)構(gòu)多目標(biāo)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)分析.

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Immune Clonal Selection Algorithm for Truss Structure Multi-objective Optimization

TANG He-sheng1，2，HU Chang－yuan2，XUE Song-tao1，2，3

（1.State Key Laboratory of Disaster Prevention in Civil Engineering，Tongji Univ，Shanghai 200092，China；2.Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction，Tongji Univ，Shanghai 200092，China；3.Dept of Architecture，Tohoku Institute of Technology，Sendai 982－8577，Japan）

In order to solve the multi-objective optimization of structures with constrains，the immune clonal selection algorithm was applied.Based on the immunology theory，the non-dominated neighborbased selection，proportional cloning and elitism strategy were introduced in the multi-objective immune clonal selection algorithm（MOICSA）to enhance the diversity，the uniformity and the convergence of the solution obtained.Penalty function method was used to deal with violated constraints.Several classical problems were solved to demonstrate the feasibility and effectiveness of the MOICSA algorithm，and the results were compared with other optimization methods.The simulation results show that the algorithm has advantages in convergence speed，time consuming and solution quality.

multi-objective optimization；truss structures；elitism strategy；immune clonal selection algorithm

TU323.4；TU311

A

1674-2974（2013）05-0018-06

2012-05-21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51178337，50708076）；土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主課題（SLDRCE11-B-01）；同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院光華基金資助項(xiàng)目

唐和生（1973－），男，安徽安慶人，同濟(jì)大學(xué)副教授

?通訊聯(lián)系人，E-mail：cyhu527＠163.com