張淑敏

立體幾何中添加輔助線(xiàn)的主要策略：一是把定義或者定理中缺少的線(xiàn)、面、體補(bǔ)完整；二是要把已知量和未知量統(tǒng)一在一個(gè)圖形中，如統(tǒng)一在一個(gè)三角形中，這樣可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以統(tǒng)一在平行四邊形或其他幾何體中。下面加以說(shuō)明。

一、添加垂線(xiàn)策略。

因?yàn)榱Ⅲw幾何的許多定義或定理是與垂線(xiàn)有關(guān)的，如線(xiàn)面角、二面角的定義，點(diǎn)到平面、線(xiàn)到平面、平面到平面距離的定義，三垂線(xiàn)定理，線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理，正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運(yùn)用這些定義或定理，就需要把沒(méi)有的垂線(xiàn)補(bǔ)上。尤其要注意平面的垂線(xiàn)，因?yàn)橛辛似矫娴拇咕€(xiàn)，才能建立空間直角坐標(biāo)系，才能使用三垂線(xiàn)定理或其逆定理。

例1. 在三棱錐 中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成的角的大小是________（用反三角函數(shù)表示）。

圖1

解：如圖1，由題意可設(shè) ，則 ，O點(diǎn)在底面的射影D為底面 的中心， 。又 ，OM與平面ABC所成角的正切值是 ，所以二面角大小是 。

點(diǎn)評(píng)：本題添加面ABC的垂線(xiàn)OD，正是三棱錐的性質(zhì)所要求的，一方面它構(gòu)造出了正三棱錐里面的 ， ，另一方面也構(gòu)造出了OM與平面ABC所成的角。

二、添加平行線(xiàn)策略。

其目的是把不在一起的線(xiàn)，集中在一個(gè)圖形中，構(gòu)造出三角形、平行四邊形、矩形、菱形，這樣就可以通過(guò)解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位線(xiàn)來(lái)作出所需要的平行線(xiàn)。

例2. 如圖2，在正方體 中， ，則 與DF所成角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.

圖2

解析：取 ，易得四邊形ADFG是平行四邊形，則AG//DF，再作 ，四邊形 也是平行四邊形， 就是 與DF所成角，由余弦定理，算出結(jié)果，選A。

點(diǎn)評(píng)：求異面直線(xiàn)所成角常采用平移法。

三、向中心對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)稱(chēng)中心添加連線(xiàn)策略。這主要是因?yàn)閷?duì)稱(chēng)中心是整個(gè)圖形的“交通”樞紐，它可以與周?chē)狞c(diǎn)、線(xiàn)、面關(guān)聯(lián)起來(lái)，常見(jiàn)的有對(duì)平行四邊形連對(duì)角線(xiàn)，對(duì)圓的問(wèn)題向圓心連線(xiàn)，對(duì)球體問(wèn)題向球心連線(xiàn)。

例3. 如圖3，O是半徑為1的球的球心，點(diǎn)A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離是（ ）

A. B. C. D.

圖3

解析：添加輔助線(xiàn)OE、OF，連結(jié)EF，構(gòu)成 ，關(guān)鍵是求 。為了使EF與已知條件更好地聯(lián)系起來(lái)，過(guò)E作 ，垂足為G，連結(jié)FG，構(gòu)造 ，在圖3中， 。

點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離為 ，故選B。

點(diǎn)評(píng)：本題抓住了球心，抓住了弧中點(diǎn)，利用這些特殊點(diǎn)作輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵。

四、名線(xiàn)策略。即添加常用的、重要的線(xiàn)，如中位線(xiàn)、高、角平分線(xiàn)、面對(duì)角線(xiàn)和體對(duì)角線(xiàn)等。盡管這些線(xiàn)上面也有提到，但還是要在這里強(qiáng)化一下，這些線(xiàn)有著廣泛的聯(lián)系。尤其是添加三角形中位線(xiàn)或者梯形中位線(xiàn)，這主要是因?yàn)橹形痪€(xiàn)占據(jù)了兩個(gè)邊的中點(diǎn)，并且中位線(xiàn)平行于底邊，且是底邊長(zhǎng)的一半，它可以把底邊與其他線(xiàn)面的角度關(guān)系平移，使已知和未知集中在一個(gè)三角形中。

例4. 如圖4，正三棱柱 的各棱長(zhǎng)都為2，E、F分別是AB、 的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)是（ ）。

圖4

A. 2 B. C. D.

解析：如圖4所示，取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則易得 ，故 ，選C。

點(diǎn)評(píng)：本題充分體現(xiàn)了中位線(xiàn)的重要性。

五、割補(bǔ)策略。分割成常見(jiàn)規(guī)則圖形，或者補(bǔ)形成典型幾何體。

例5. 一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）

A. B. C. D. 6

解析：把這個(gè)正四面體 補(bǔ)成正方體，如圖5，正四面體 可看成是由正方體的面對(duì)角線(xiàn)構(gòu)成的，這個(gè)正四面體和這個(gè)正方體有相同的外接球面。因?yàn)樗拿骟w 的棱長(zhǎng)為 ，所以正方體棱長(zhǎng)為1，正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為球的直徑 ，所以球的表面積 ，選A。

圖5

點(diǎn)評(píng)：把一些線(xiàn)面關(guān)系放到正方體中思考，能給問(wèn)題一個(gè)更好的參照，使各種線(xiàn)面關(guān)系易于理解。