王嘉鑫，林德福，祁載康

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081)

0 引言

在未來(lái)空戰(zhàn)中，近程空對(duì)空格斗導(dǎo)彈應(yīng)具備越肩發(fā)射攻擊第4 代戰(zhàn)斗機(jī)的能力，從而對(duì)導(dǎo)彈控制系統(tǒng)提出了3 點(diǎn)新要求:1)亞秒級(jí)的制導(dǎo)時(shí)間要求系統(tǒng)快速響應(yīng);2)對(duì)抗高機(jī)動(dòng)目標(biāo)強(qiáng)調(diào)對(duì)靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力;3)大空域飛行要求系統(tǒng)具備強(qiáng)魯棒性。三回路過(guò)載駕駛儀能夠適應(yīng)上述需求，其過(guò)載主反饋保證了快速性;增穩(wěn)回路利用“合成穩(wěn)定性”和高頻振蕩環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)解決了對(duì)靜不穩(wěn)定彈體的控制問(wèn)題，同時(shí)增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性[1－7]。

現(xiàn)有文獻(xiàn)大多關(guān)注在給定性能指標(biāo)下三回路過(guò)載駕駛儀的設(shè)計(jì)方法，而研究該類(lèi)駕駛儀時(shí)頻特性的資料較少。Nesline 等[5]認(rèn)為三回路過(guò)載駕駛儀對(duì)飛行高度、速度以及彈體質(zhì)心變化的敏感度較低，魯棒性較強(qiáng)，并可降低雷達(dá)天線罩斜率寄生回路對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)的影響。文獻(xiàn)[8 －11]提出了通過(guò)包含時(shí)域響應(yīng)和高頻性能的混合指標(biāo)、ITAE 最優(yōu)控制指標(biāo)和改進(jìn)的Butterworth 濾波器等方法設(shè)計(jì)駕駛儀性能指標(biāo)，并提出了基于輸出反饋極點(diǎn)配置的工程設(shè)計(jì)方法。

本文對(duì)三回路過(guò)載駕駛儀及其內(nèi)回路的結(jié)構(gòu)、時(shí)域和頻域性能以及對(duì)靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力進(jìn)行了解析分析，并通過(guò)無(wú)量綱分析方法，提出了一種三回路過(guò)載駕駛儀的設(shè)計(jì)思路。

1 彈體控制模型

將彈體視為剛體模型，利用小擾動(dòng)線性化假設(shè)方法，建立去耦的縱向彈體控制模型，可由如下微分方程表示:

推導(dǎo)由舵轉(zhuǎn)角到彈體角速度以及法向過(guò)載的傳遞函數(shù)分別為

式中:Tm和ξm分別為開(kāi)環(huán)彈體的時(shí)間常數(shù)和阻尼系數(shù);Tα為攻角滯后時(shí)間常數(shù);A1和A2為包含舵面升力的高頻環(huán)節(jié)系數(shù)和ka分別為前向增益。表1 給出了彈體參數(shù)的物理意義與表達(dá)式[7]，其中:Jz為彈體俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，S 和L 分別為特征面積和特征長(zhǎng)度分別為俯仰力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，為升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)。對(duì)靜穩(wěn)定彈體有aα＞0，且aα越大靜穩(wěn)定度越高;aα＜0 表示靜不穩(wěn)定;aα=0 為靜中立穩(wěn)定。同時(shí)對(duì)正常式布局彈體aδ＞0，而對(duì)鴨式布局彈體aδ＜0.本文采用的典型彈體仿真參數(shù)如表2[10]所示。

表1 彈體參數(shù)的物理意義和表達(dá)式Tab.1 Physical significance and expressions of coefficients

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

2 新彈體分析

作為多回路反饋的高階控制系統(tǒng)，三回路過(guò)載駕駛儀由內(nèi)向外包括開(kāi)環(huán)彈體以及姿態(tài)角速度、姿態(tài)角和加速度3 條反饋控制通道，把上述3 條反饋回路獨(dú)立構(gòu)成的飛行控制系統(tǒng)分別簡(jiǎn)稱(chēng)為阻尼回路新彈體、增穩(wěn)回路新彈體和三回路駕駛儀。

2.1 開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)

開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)也稱(chēng)開(kāi)環(huán)彈體，如圖1 所示。假設(shè)舵機(jī)控制系統(tǒng)較快，忽略其動(dòng)力學(xué)滯后，kACT為舵機(jī)增益，正常式氣動(dòng)布局彈體取kACT= －1，鴨式布局kACT=1，則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

式中:KC0=kACTvk?·為前向增益;k0為增益調(diào)整系數(shù)。(4)式表明開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)受彈體氣動(dòng)性能和飛行環(huán)境的影響較大，魯棒性較差，且通常為極度欠阻尼系統(tǒng)，ξm約為0.1[10]，彈體頻率較高，抗干擾能力較弱，不能控制靜不穩(wěn)定彈體，因此，工程上常常需要設(shè)計(jì)控制器改善開(kāi)環(huán)彈體的性能。

圖1 開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)Fig.1 Open loop control system

2.2 阻尼回路新彈體

阻尼回路新彈體是在開(kāi)環(huán)彈體的基礎(chǔ)上，通過(guò)姿態(tài)角速度反饋構(gòu)成的控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖2 所示，傳遞函數(shù)為

式中:KC1=(kACTk?·v)/(1 +kACTkg為閉環(huán)增益;為時(shí)間常數(shù);ξ1= (2μmTm+為阻尼;k1為增益調(diào)整系數(shù);kg為設(shè)計(jì)參數(shù)，當(dāng)kgk?·?1 時(shí)，有KC1≈kACTk?·v;T1≈Tm，ξ1≈μm+ |kgk?·Tα|/2Tm，通過(guò)設(shè)計(jì)kg使系統(tǒng)(5)式具有良好的阻尼系數(shù)，而新彈體的快速性和靜穩(wěn)定性與開(kāi)環(huán)彈體近似，且系統(tǒng)增益易受彈體飛行狀態(tài)的影響，魯棒性較低。新彈體的開(kāi)環(huán)幅值穿越頻率ωCR可由(6)式近似計(jì)算[5]:

若要求新彈體穩(wěn)定，需滿(mǎn)足不等式組

即kg＞(1/bα)|aα/aδ|，kg＞－(aω+bα)/|aδ|，由于(1/bα)|aα/aδ| ＞0 ＞－(aω+bα)/|aδ|，解得

將(8)式代入(6)式，得到ωCR＞|aα|/bα.

分析表明，1)對(duì)靜穩(wěn)定彈體，不等式(8)式始終成立，而對(duì)靜不穩(wěn)定彈體，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與平衡狀態(tài)下攻角和舵轉(zhuǎn)角的傳遞比的倒數(shù)|aα/aδ|相關(guān)，當(dāng)舵效率較高時(shí)，即|aα/aδ|較小，阻尼回路新彈體更易達(dá)到穩(wěn)定;2)開(kāi)環(huán)增益kgk?·對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較大，但(6)式表明ωCR與kg呈正比，而考慮工程上為獲得足夠的穩(wěn)定裕度通常期望ωCR遠(yuǎn)小于舵機(jī)頻帶或傳感器頻帶，因此阻尼回路對(duì)靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)性能將受到頻帶限制。

2.3 增穩(wěn)回路新彈體

增穩(wěn)回路新彈體是在阻尼回路的基礎(chǔ)上，增加姿態(tài)角主反饋構(gòu)成的控制系統(tǒng)，如圖3 所示。

圖3 增穩(wěn)回路新彈體Fig.3 Stabilizing loop system

增穩(wěn)回路的設(shè)計(jì)目的是在彈體響應(yīng)的短周期內(nèi)以姿態(tài)角速率的積分近似攻角，并將與攻角呈正比的恢復(fù)力矩信號(hào)反饋至輸入端，從而增加了彈體的靜穩(wěn)定性，且這種增穩(wěn)能力取決于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)，因此可以被稱(chēng)為“合成穩(wěn)定性”。在工程上，對(duì)姿態(tài)角的測(cè)量較為容易，因此增穩(wěn)回路普遍采用姿態(tài)角作為主反饋量。(10)式給出了增穩(wěn)回路新彈體的傳遞函數(shù):

對(duì)比(10)式和(11)式可知，增穩(wěn)回路新彈體與姿態(tài)駕駛儀具有相同的特征方程:

式中:T1和T2分別為一階和二階環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù);μ2為阻尼系數(shù)。由姿態(tài)駕駛儀性能可知，當(dāng)μ2≈0.5 時(shí)，存在如下關(guān)系[12]:T1＞Tα，T2＜Tm，即增穩(wěn)回路新彈體的二階環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)小于開(kāi)環(huán)彈體時(shí)間常數(shù)Tm，從而使新彈體的振蕩頻率加快，由于靜穩(wěn)定性與彈體無(wú)阻尼振蕩頻率呈正比，增穩(wěn)回路新彈體的穩(wěn)定性較開(kāi)環(huán)彈體有所提高;同時(shí)一階環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)大于攻角滯后時(shí)間常數(shù)Tα，導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)速度很慢，并且由T1決定的一階根為主導(dǎo)極點(diǎn)，而通常又有Tα?Tm，因此系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)間的“距離”由此拉開(kāi)。

若要求增穩(wěn)回路新彈體穩(wěn)定，需滿(mǎn)足下列不等式組:

解得

可知當(dāng)增穩(wěn)回路和阻尼回路新彈體達(dá)到臨界穩(wěn)定時(shí)分別所需設(shè)計(jì)增益kgSL和kgDL的比為

(15)式表明，提高彈體靜穩(wěn)定性至臨界穩(wěn)定時(shí)，增穩(wěn)回路新彈體所需設(shè)計(jì)增益kg遠(yuǎn)小于阻尼回路新彈體，而增穩(wěn)回路的開(kāi)環(huán)穿越頻率ωCR仍可由(6)式近似計(jì)算[5]，那么當(dāng)kg下降后ωCR也降低，即對(duì)舵機(jī)頻帶的要求也可隨之降低，然而增穩(wěn)回路新彈體的快速性和阻尼系數(shù)均下降。

2.4 三回路駕駛儀

三回路駕駛儀是在增穩(wěn)回路的外層通過(guò)過(guò)載反饋構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，如圖4 所示。其中，kA、ωI和kg為設(shè)計(jì)參數(shù)。

圖4 三回路駕駛儀Fig.4 Three－loop autopilot

三回路駕駛儀的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有如下形式:

式中:J3、J2、J1為閉環(huán)特征多項(xiàng)式系數(shù);KC3為閉環(huán)增益。其表達(dá)式如下

將(16)式的特征多項(xiàng)式分解為一階和二階環(huán)節(jié)的積，得到

式中:τ 為一階環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù);ω 和ξ 分別為二階環(huán)節(jié)的角頻率與阻尼系數(shù)，不失一般性，設(shè)ξ =0.5，解得

忽略由舵面升力帶來(lái)的高頻零點(diǎn)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，即A1≈0，A2≈0，同時(shí)設(shè)開(kāi)環(huán)彈體參數(shù)Tm?1，μm?1，當(dāng)ωITα?kg?2umTm/k?·Tα?xí)r，一階環(huán)節(jié)為閉環(huán)主導(dǎo)模態(tài)，那么有

上述分析表明:1)一階環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)τ ＜Tα，時(shí)域響應(yīng)比增穩(wěn)回路快，且其快速性可通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)調(diào)節(jié);2)二階環(huán)節(jié)的頻率可由設(shè)計(jì)參數(shù)決定;3)當(dāng)kg一定時(shí)，ωI的取值越大，二階環(huán)節(jié)越快，一階環(huán)節(jié)越慢。綜上所述，三回路駕駛儀能夠通過(guò)調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)增益使一階慢根為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，并“遠(yuǎn)離”開(kāi)環(huán)彈體極點(diǎn)，且高頻振蕩極點(diǎn)的可控性較強(qiáng)，使控制系統(tǒng)具有較高的魯棒性。

若要求三回路駕駛儀穩(wěn)定，需滿(mǎn)足不等式組

達(dá)到臨界穩(wěn)定時(shí)三回路駕駛儀和增穩(wěn)回路設(shè)計(jì)增益的比分別為

分析表明:二者的阻尼回路設(shè)計(jì)增益kg基本一致;當(dāng)aα＞－ωCRbα?xí)r，ωITL比ωISL略小，說(shuō)明過(guò)載閉環(huán)后需要更大的反饋控制增益保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。

2.5 對(duì)靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力對(duì)比

x*=aα/bα表征了靜不穩(wěn)定彈體的靜穩(wěn)定度，在臨界穩(wěn)定時(shí)，由不等式(7)式、(13)式、(24)式可分別得到阻尼回路新彈體、增穩(wěn)回路新彈體和三回路駕駛儀的控制器參數(shù)對(duì)于x*的約束關(guān)系分別如(27)式～(29)式所示，且當(dāng)x*的下限值越小，表明控制系統(tǒng)對(duì)靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力越高。

1)阻尼回路新彈體

2)增穩(wěn)回路新彈體

當(dāng)ωCR＞－aω－bα?xí)r，有

3)三回路駕駛儀

當(dāng)ωCR＞ － aω－bα且kA＞－ωI/v 時(shí)，有

上述分析表明，當(dāng)設(shè)計(jì)增益滿(mǎn)足不等式(30)式時(shí)

3 種控制系統(tǒng)對(duì)被增穩(wěn)彈體的x*下限值之比約為

(31)式、(32)式表明，增穩(wěn)回路對(duì)靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力相比阻尼回路大幅提高，而三回路駕駛儀與增穩(wěn)回路基本一致。綜上所述，三回路駕駛儀的增穩(wěn)回路能夠有效提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性;過(guò)載反饋閉環(huán)之后，在提高系統(tǒng)響應(yīng)速度的同時(shí)，對(duì)彈體的增穩(wěn)能力依然較高。

3 三回路駕駛儀的無(wú)量綱分析

3.1 三回路駕駛儀的無(wú)量綱化

為便于分析設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)的影響，將三回路駕駛儀進(jìn)行無(wú)量綱化。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)(16)式的低頻主導(dǎo)極點(diǎn)和高頻振蕩極點(diǎn)分別為p1、p2和p3，為保證系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性，三回路駕駛儀的閉環(huán)極點(diǎn)均為L(zhǎng)HP 極點(diǎn)，并存在如下關(guān)系:

上述分析表明，τ、ω 和ξ 是三回路駕駛儀的主要性能參數(shù)，并能夠與閉環(huán)極點(diǎn)相互表示。在給定狀態(tài)空間描述下，利用輸出反饋的極點(diǎn)配置方法[9]，三回路駕駛儀的閉環(huán)極點(diǎn)能夠任意接近期望極點(diǎn)，從而使駕駛儀的設(shè)計(jì)參數(shù)與閉環(huán)極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，并以此確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)性能。為便于分析，采用無(wú)量綱化方法，研究三回路駕駛儀的設(shè)計(jì)參數(shù)、閉環(huán)極點(diǎn)、開(kāi)環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)性能參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

令λ=ωτ 為無(wú)量綱時(shí)間常數(shù)，表征了低頻極點(diǎn)與高頻極點(diǎn)的距離。定義無(wú)量綱算子忽略高頻零點(diǎn)的影響，得到三回路駕駛儀閉環(huán)傳函的無(wú)量綱表達(dá)式為

λ、ξ 和Kc決定了三回路駕駛儀無(wú)量綱系統(tǒng)的性能。在低頻處較小而λ 較大，系統(tǒng)(34)式可近似為一階慣性環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為

3.2 無(wú)量綱系統(tǒng)的時(shí)域分析

為考察駕駛儀無(wú)量綱閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)域性能，令閉環(huán)增益Kc≈1，阻尼系數(shù)ξ=0.6[6]，獲得三回路駕駛儀無(wú)量綱模型和一階環(huán)節(jié)無(wú)量綱模型的單位階躍響應(yīng)上升時(shí)間隨λ 的變化曲線如圖5 所示。圖6給出了當(dāng)λ =7 時(shí)無(wú)量綱駕駛儀對(duì)單位階躍過(guò)載指令的響應(yīng)曲線。

圖5 無(wú)量綱系統(tǒng)T63%隨λ 的變化Fig.5 Non－dimensional λ

圖6 無(wú)量綱駕駛儀的單位階躍響應(yīng)Fig.6 Response of the autopilot to a step command

仿真結(jié)果表明:1)駕駛儀和一階環(huán)節(jié)的T63%近似，工程上可利用一階環(huán)節(jié)近似估計(jì)三回路駕駛儀的時(shí)域性能;2)隨λ 的增大而減小，當(dāng)λ 足夠大時(shí)趨近于1;3)當(dāng)λ ＞5.5 時(shí)能夠收斂至±20%的誤差帶以?xún)?nèi);當(dāng)λ ＞9 時(shí)基本不再隨λ 變化;4)一階環(huán)節(jié)為駕駛儀閉環(huán)主導(dǎo)環(huán)節(jié)。

3.3 無(wú)量綱系統(tǒng)的頻域分析

通常彈體動(dòng)力學(xué)的不確定性最大[7]，因此將三回路駕駛儀閉環(huán)模型在彈體環(huán)節(jié)處斷開(kāi)構(gòu)成開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)，其幅相裕度與穿越頻率是駕駛儀的重要設(shè)計(jì)指標(biāo)，在頻域內(nèi)考察λ 對(duì)相位裕度和穿越頻率的影響。(36)式給出了駕駛儀的無(wú)量綱開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù):

(36)式并不顯含λ，且與彈體氣動(dòng)性能以及設(shè)計(jì)參數(shù)相關(guān)，但由前述對(duì)應(yīng)關(guān)系可得到駕駛儀開(kāi)環(huán)性能隨設(shè)計(jì)指標(biāo)的變化規(guī)律。令)的相位裕度為Pm，穿越頻率為ωCRτ，在表2 給出的仿真條件下，Pm和ωCRτ 隨λ 的變化曲線分別如圖7 和圖8 所示。研究結(jié)果表明:1)駕駛儀速度越快，隨λ 增大，穩(wěn)定裕度收斂越快;2)開(kāi)環(huán)穿越頻率隨λ 近似線性變化，當(dāng)λ 較大時(shí)，曲線的斜率ωCR/ω 約為常值;3)繼續(xù)增大λ，穩(wěn)定裕度將趨于常值，穩(wěn)定性不再提高，而無(wú)量綱穿越頻率將繼續(xù)增大。

圖7 開(kāi)環(huán)相位裕度隨λ 的變化Fig.7 Open loop phase margin versus λ

綜上所述，本文提出了一種三回路駕駛儀的設(shè)計(jì)思路:通過(guò)增穩(wěn)回路設(shè)計(jì)一個(gè)遠(yuǎn)離開(kāi)環(huán)彈體頻率且主要受系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)決定的閉環(huán)一階低頻主導(dǎo)極點(diǎn)和一對(duì)阻尼合適的高頻極點(diǎn)，在折衷了系統(tǒng)快速性的同時(shí)達(dá)到提高魯棒性和穩(wěn)定性的目的?？刂葡到y(tǒng)付出的代價(jià)是:若增強(qiáng)低頻極點(diǎn)的時(shí)域主導(dǎo)性需要增大高、低頻極點(diǎn)間的頻率差，而高頻極點(diǎn)又直接影響駕駛儀的開(kāi)環(huán)穿越頻率以及舵機(jī)帶寬，將導(dǎo)致響應(yīng)較快的舵機(jī)系統(tǒng)搭配較慢的駕駛儀，使控制資源的利用率下降。

圖8 無(wú)量綱穿越頻率ωCRτ 隨λ 的變化Fig.8 Non－dimensional crossover frequency ωCRτ versus λ

在駕駛儀設(shè)計(jì)中，首先根據(jù)總體需求確定控制系統(tǒng)快速性指標(biāo)τ 和合適的阻尼系數(shù)ξ，其次選取合適的λ，同時(shí)檢驗(yàn)開(kāi)環(huán)穿越頻率ωCR與舵機(jī)頻帶的匹配性和穩(wěn)定裕度等指標(biāo)，研究表明在保證舵機(jī)系統(tǒng)頻帶約為駕駛儀穿越頻率的3 ～5 倍時(shí)，λ 可取6 ～9.該設(shè)計(jì)思路通過(guò)閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計(jì)并輔以開(kāi)環(huán)指標(biāo)檢驗(yàn)，能夠使駕駛儀具有合適的快速性、穩(wěn)定性和魯棒性。

4 結(jié)論

建立了縱向彈體控制模型，提出了三回路過(guò)載駕駛儀的兩層內(nèi)回路可獨(dú)立構(gòu)造新彈體的概念，并對(duì)比研究了開(kāi)環(huán)彈體、阻尼回路新彈體、增穩(wěn)回路新彈體和三回路駕駛儀的結(jié)構(gòu)、快速性、魯棒性以及對(duì)靜不穩(wěn)定彈體的增穩(wěn)能力;推導(dǎo)了三回路駕駛儀的無(wú)量綱模型并進(jìn)行了仿真分析;最后提出了一種三回路駕駛儀的設(shè)計(jì)思路。

研究結(jié)果表明:阻尼回路新彈體可抑制彈體擺動(dòng)，但其增穩(wěn)能力和魯棒性較弱;增穩(wěn)回路新彈體構(gòu)造了一階低頻主導(dǎo)極點(diǎn)，具有良好的增穩(wěn)能力和魯棒性，但受彈體氣動(dòng)性能限制，其響應(yīng)速度較慢;三回路駕駛儀的時(shí)頻特性主要由設(shè)計(jì)參數(shù)決定，魯棒性較強(qiáng)，其增穩(wěn)回路提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，過(guò)載主反饋使駕駛儀具有較快的響應(yīng)速度。

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