朱增寶，朱如鵬，李應(yīng)生，戴光昊，朱振榮

(1.南京航空航天大學(xué) 江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點實驗室，江蘇 南京210016;2.安徽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南232001;3.中國船舶重工集團(tuán)公司第703 研究所，黑龍江 哈爾濱150036)

0 引言

行星齒輪傳動利用多個行星輪分擔(dān)載荷，形成功率分流，具有體積小、質(zhì)量輕、傳動比大和壽命長等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于冶金、礦山、航空、艦船等領(lǐng)域的機(jī)械傳動系統(tǒng)。

動態(tài)載荷特性直接影響行星齒輪傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性，國內(nèi)外學(xué)者對此做了大量的研究工作。文獻(xiàn)[1 －4]研究了行星傳動系統(tǒng)誤差、轉(zhuǎn)速等因素對系統(tǒng)動態(tài)載荷特性的影響，文獻(xiàn)[5 －8]研究了行星傳動動態(tài)載荷的均載特性。嚙合剛度是行星齒輪傳動系統(tǒng)主要參數(shù)激勵，嚙合剛度激勵是行星傳動動力學(xué)研究的一項重要內(nèi)容。文獻(xiàn)[9 －10]研究了嚙合剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響，文獻(xiàn)[11 －12]研究了嚙合剛度對系統(tǒng)固有頻率的影響。以上這些研究對象主要針對直齒輪行星傳動系統(tǒng);主要研究內(nèi)容為誤差、轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)動態(tài)載荷特性的影響，傳動系統(tǒng)動態(tài)載荷的均載特性以及嚙合剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性、固有頻率的影響，而嚙合剛度對行星傳動系統(tǒng)動態(tài)載荷特性的影響，國內(nèi)外文獻(xiàn)中未見較深入的研究。

人字齒行星傳動系統(tǒng)中的人字齒載荷是逐漸加上，再逐漸卸掉的，與直齒輪載荷突然加上和卸掉完全不同，不能按直齒輪鋸齒型嚙合剛度曲線計算人字齒輪時變嚙合剛度;人字齒行星傳動系統(tǒng)內(nèi)齒輪一般不固定，雙齒聯(lián)軸器作為內(nèi)齒輪與固定齒圈間的中間構(gòu)件有周向自由度，應(yīng)把雙齒聯(lián)軸器納入動力學(xué)模型中。

本文考慮了雙齒聯(lián)軸器的影響，基于集中參數(shù)振動理論，建立了人字齒行星傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型;引入斜齒輪嚙合剛度公式按2 個斜齒剛度并聯(lián)計算了人字齒時變嚙合剛度，獲得了時變嚙合剛度交變分量幅值的精確值，改變了傳統(tǒng)嚙合剛度交變分量幅值按平均分量[13]進(jìn)行估算的方法;從嚙合剛度的平均分量和交變分量2 個方面研究了內(nèi)外嚙合剛度對傳動系統(tǒng)內(nèi)外嚙合動態(tài)載荷特性的影響。研究工作對人字齒行星傳動系統(tǒng)內(nèi)外嚙合剛度的確定具有指導(dǎo)意義。

1 系統(tǒng)的動力學(xué)模型

如圖1 所示人字齒行星傳動系統(tǒng)示意圖。整個系統(tǒng)由太陽輪Zs、行星輪Zpi(i =1，2，…，n)、內(nèi)齒輪Zr、行星架H、雙齒聯(lián)軸器Zg，固定齒圈Zf組成。輸入扭矩TD通過太陽輪Zs經(jīng)行星架H，傳送到輸出軸L 上。

圖1 人字齒行星傳動系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch map of herringbone planet train

太陽輪、行星輪采用人字齒，為便于加工，齒輪設(shè)有退刀槽。內(nèi)齒輪由2 個齒向不同的斜齒齒圈組成，內(nèi)齒輪Zr1采用斜齒與雙齒聯(lián)軸器Zg連接，雙齒聯(lián)軸器Zg采用直齒與浮動齒圈Zf連接。

系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖2 所示。采用以行星架轉(zhuǎn)速ωH旋轉(zhuǎn)的動坐標(biāo)系，以行星架的速度作為參照，按“轉(zhuǎn)化輪系法”計算各個齒輪的相對速度。

圖2 中，KHL為聯(lián)接行星架H 和輸出軸L 的扭轉(zhuǎn)剛度;Ks、Kp和Kr分別為齒輪Zs、Zpi和Zr的支承剛度;KH為行星架H 在行星輪Zpi公轉(zhuǎn)半徑rH上的切向剛度;Kgq和Kfq分別為雙齒聯(lián)軸器Zg與齒輪Zr以及固定齒圈Zf接觸的切向剛度。

人字齒行星傳動系統(tǒng)共有(9 +3n)個自由度，其廣義位移列向量

圖2 人字齒行星傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of herringbone planet train

式中:xs、xpi和xr分別為齒輪Zs、Zpi和Zr沿基圓半徑扭轉(zhuǎn)的線位移;xg為雙齒聯(lián)軸器Zg沿分度圓半徑扭轉(zhuǎn)的線位移;xH表示行星架H 在其半徑rH的線位移;xL為輸出軸L 與行星架H 的半徑rH接觸處的線位移;Hs與Vs、Hpi與Vpi和Hr與Vr分別為齒輪Zs、Zpi和Zr的中心在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的橫向與縱向位移。

2 系統(tǒng)的動力學(xué)方程

行星傳動系統(tǒng)行星輪Zpi與內(nèi)齒輪Zr間的嚙合稱為內(nèi)嚙合，太陽輪Zs與行星輪Zpi間的嚙合稱為外嚙合，一起簡稱為內(nèi)外嚙合。令Prpi和Pspi分別為內(nèi)外嚙合的彈性嚙合力，則

式中:Krpi和Kspi分別為內(nèi)外嚙合的時變嚙合剛度，分別稱為內(nèi)嚙合剛度和外嚙合剛度;α1和α2分別為齒輪副內(nèi)外嚙合的嚙合角;erpi和espi分別為內(nèi)外嚙合的嚙合線上誤差等效位移;2π(i －1)/n 表示第i 個行星輪相對于第1 個行星輪的位置角。

令Drpi和Dspi分別為內(nèi)外嚙合的嚙合阻尼力，則

式中Crp和Csp分別為內(nèi)外嚙合的阻尼系數(shù)，按文獻(xiàn)[14]中方法計算。

考慮雙齒聯(lián)軸器的影響，建立的人字齒行星傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程由(4)式～(9)式組成:

其中:ms、mp和mr分別為齒輪Zs、Zpi和Zr在各自基圓半徑上等效質(zhì)量;mg為雙齒聯(lián)軸器Zg在其分度圓半徑上等效質(zhì)量;mH為行星架H 在行星架半徑rH上等效質(zhì)量;mL為輸出軸L 與行星架H 接觸處rL上等效質(zhì)量;Ms、Mp和Mr分別為齒輪Zs、Zpi和Zr的 質(zhì)量;PD為輸入轉(zhuǎn)矩TD在齒輪Zs基圓半徑rsb上的等效力，PD=TD/rsb;PL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL在輸出軸L 與行星架H 接觸處rL上等效力，PL=TL/rL.

3 人字齒輪副時變嚙合剛度計算

Maatar 等[15]基于齒輪副瞬時總接觸線長度推導(dǎo)出斜齒輪時變嚙合剛度。本文應(yīng)用該公式按2 個斜齒剛度并聯(lián)計算人字齒嚙合剛度

式中:k0為單位接觸線長度的齒輪平均嚙合剛度，按國標(biāo)GB/T3480—1997 中斜齒輪平均嚙合剛度計算公式計算;L(τ)為齒輪副瞬時總接觸線長度;τ =t/Tm，t 為時間歷程，Tm為嚙合周期。L(τ)的計算公式為

式中:φ 為各個行星輪與太陽輪之間嚙合相位差，按Parker 等[16]提出的方法計算。Ak、Bk和Lm具體含義見(12)式

式中:εα為齒輪副端面重合度;εβ為齒輪副軸向重合度;βb為齒輪基圓螺旋角;b 為人字齒輪單邊斜齒寬度。

由(11)式可見，人字齒輪副瞬時總接觸線長度由平均分量和交變分量2 部分構(gòu)成:Lm和總接觸線長度交變分量的第1 階諧波幅值A(chǔ)mp1隨端面重合度εα和軸向重合度εβ變化曲面如圖3 所示，隨著齒輪副軸向重合度εβ增大，Amp1衰減很快。人字齒輪副軸向重合度εβ一般大于2，所以Amp1很小?？偨佑|線長度交變分量的其他階諧波幅值隨端面重合度εα和軸向重合度εβ變化變化規(guī)律與圖3 相似，其他階諧波幅值遠(yuǎn)比第1 階諧波幅值A(chǔ)mp1小。由此可知，人字齒輪副總接觸線長度交變分量幅值很小。

圖3 隨εα 和εβ 變化的Amp1曲面Fig.3 Curved surface of Amp1 vs εα and εβ

與人字齒輪副瞬時總接觸線長度的平均分量和交變分量相對應(yīng)，時變嚙合剛度由平均分量和交變分量2 部分構(gòu)成φ)+Bksin(2πkτ －φ)).取前5 階諧波按文中算例參數(shù)計算的人字齒輪副內(nèi)外嚙合剛度Krp1和Ksp1曲線如圖4 所示?？梢姡俗铸X嚙合剛度曲線變化平緩，嚙合剛度交變分量的幅值很小，與直齒輪鋸齒型嚙合剛度曲線相比區(qū)別明顯。

圖4 人字齒輪副內(nèi)/外嚙合剛度Fig.4 Internal (external)mesh stiffness of herringbone gear pair

4 動載系數(shù)計算

用動載系數(shù)反映行星傳動系統(tǒng)的動態(tài)載荷特性。動載系數(shù)定義為實際齒輪副嚙合時的最大作用力和純由外加載荷所產(chǎn)生的相應(yīng)作用力之比值[17]。動載系數(shù)越大，嚙合齒輪副承擔(dān)的動態(tài)載荷越大。

采用傅立葉級數(shù)法[18]求解(4)式～(9)式，進(jìn)而得內(nèi)外嚙合彈性力Prpi和Pspi，令Grpi(t)和Gspi(t)分別為各行星輪內(nèi)外嚙合動態(tài)載荷系數(shù)，則

式中Tr為作用在內(nèi)齒輪Zr基園半徑rrb上的扭矩。

動態(tài)載荷系數(shù)的最大值為動載系數(shù)，則系統(tǒng)行星輪內(nèi)外嚙合動載系數(shù)

5 嚙合剛度對系統(tǒng)動態(tài)載荷特性的影響分析

針對某人字齒行星傳動減速器進(jìn)行分析。

減速器主要參數(shù):模數(shù)m =5 mm，行星輪個數(shù)N=3，太陽輪齒數(shù)Zs=41，行星輪齒數(shù)Zp=22，內(nèi)齒輪齒數(shù)Zr=85，齒寬系數(shù)φd=1.3，壓力角α =20°，螺旋角β=22°;輸入軸轉(zhuǎn)速n =1 500 r/min，輸入功率P=400 kW;太陽輪、行星輪和內(nèi)齒輪均使用合金結(jié)構(gòu)鋼40Cr，彈性模量為2.06 ×1011N/m2;太陽輪、行星輪和內(nèi)齒輪支撐剛度分別為2 × 108N/m、1 ×109N/m和2 ×108N/m;行星架與輸出軸的扭轉(zhuǎn)剛度為2.2 ×109(N·m)/rad;雙齒聯(lián)軸器與內(nèi)齒輪及固定齒圈接觸的切向剛度分別為1.1 ×1012N/m、6.1×1011N/m;按(10)式計算的人字齒內(nèi)外嚙合剛度平均分量分別為8.689×109N/m 和7.488×109N/m.各齒輪偏心誤差分別為20 μm，內(nèi)外嚙合的齒頻誤差分別為10 μm.

本文從嚙合剛度平均分量和交變分量2 個方面研究行星傳動系統(tǒng)內(nèi)外嚙合剛度對內(nèi)外嚙合動態(tài)載荷特性的影響。由于內(nèi)嚙合剛度對外嚙合動載系數(shù)及外嚙合剛度對內(nèi)嚙合動載系數(shù)的影響均很小，可以忽略，限于篇幅，不作贅述。

5.1 嚙合剛度平均分量對動態(tài)載荷特性的影響分析

在外/內(nèi)嚙合剛度不變情況下，假設(shè)內(nèi)/外嚙合剛度交變分量保持不變，按內(nèi)/外嚙合剛度平均分量80%和100%計算內(nèi)/外嚙合動載系數(shù)隨轉(zhuǎn)速變化曲線如圖5 ～圖6 所示。可見，在轉(zhuǎn)速區(qū)間大部分區(qū)域，按嚙合剛度平均分量80%計算的內(nèi)/外嚙合動載系數(shù)明顯減小，降低內(nèi)/外嚙合剛度平均分量可以減小內(nèi)/外嚙合動載系數(shù)。

嚙合剛度平均分量越大，嚙合線位移越小，通過改變嚙合位移均衡載荷的能力越弱，載荷越不均衡，動載系數(shù)越大。所以降低內(nèi)外嚙合剛度平均分量可以增大嚙合線位移的變化量，提高了嚙合線位移變化均衡載荷的能力，減小了內(nèi)外嚙合動載系數(shù)。在轉(zhuǎn)速區(qū)間的絕大部分區(qū)域，內(nèi)外嚙合剛度平均分量越大內(nèi)外嚙合動載系數(shù)越大，齒輪承擔(dān)的動態(tài)載荷也越大。在轉(zhuǎn)速區(qū)間很窄的局部區(qū)域，由于存在共振，內(nèi)外嚙合剛度平均分量較小時，反而內(nèi)外嚙合動載系數(shù)較大。

圖5 不同內(nèi)嚙合剛度平均分量作用下內(nèi)嚙合動載系數(shù)Fig.5 Dynamic load coefficients of internal mesh under action of different average components of internal mesh stiffness

圖6 不同外嚙合剛度平均分量作用下外嚙合動載系數(shù)Fig.6 Dynamic load coefficients of external mesh under action of different average components of external mesh stiffness

5.2 嚙合剛度交變分量對動態(tài)載荷特性的影響分析

在外/內(nèi)嚙合剛度不變情況下，假設(shè)內(nèi)/外嚙合剛度平均分量保持不變，按內(nèi)/外嚙合剛度交變分量0%(不考交變分量)和100%計算內(nèi)/外嚙合動載系數(shù)隨轉(zhuǎn)速變化曲線如圖7 ～圖8 所示?？梢?，不考慮嚙合剛度交變分量的內(nèi)外嚙合動載系數(shù)曲線與算例情況下動載系數(shù)曲線基本重合，所以圖7 ～圖8中僅顯示一條曲線。

為清楚顯示內(nèi)外嚙合剛度交變分量變化對內(nèi)外嚙合動載系數(shù)的影響，分別提取圖7 和圖8 中1 450 ～1 550 r/min 部分，如圖9 ～圖10 所示?？梢?，不考慮交變分量計算的動載系數(shù)曲線與算例情況下動載系數(shù)曲線實際上不重合，內(nèi)嚙合剛度交變分量變化對內(nèi)嚙合動載系數(shù)的影響很小。

人字齒接觸線長度交變分量幅值很小，對應(yīng)的人字齒嚙合剛度交變分量幅值同樣很小，算例中人字齒輪副內(nèi)外嚙合剛度交變分量幅值分別為0.24 ×109N/m 和0.29 ×109N/m，僅為對應(yīng)平均分量的2.76%和3.87%，遠(yuǎn)小于直齒輪嚙合剛度交變分量幅值，所以人字齒行星傳動系統(tǒng)嚙合剛度交變分量變化對動載系數(shù)影響很小，見圖7 ～圖10.這也是人字齒輪相比直齒輪嚙合平穩(wěn)、振動較小的原因。

圖7 不同內(nèi)嚙合剛度交變分量作用下內(nèi)嚙合動載系數(shù)Fig.7 Dynamic load coefficients of internal mesh under action of different alternate components of internal mesh stiffness

圖8 不同外嚙合剛度交變分量作用下外嚙合動載系數(shù)Fig.8 Dynamic load coefficients of external mesh under action of different alternate components of external mesh stiffness

對于人字齒行星傳動系統(tǒng)，由于人字齒嚙合剛度交變分量對動載系數(shù)影響很小，所以進(jìn)行動力學(xué)方程求解時不考慮嚙合剛度的交變分量，以嚙合剛度平均分量代替嚙合剛度計算的動載系數(shù)與準(zhǔn)確值偏差不大，在計算精度要求不太高的情況下是可行的。

6 結(jié)論

1)嚙合剛度平均分量越大，嚙合線位移越小，通過改變嚙合位移均衡載荷的能力越弱，動載系數(shù)越大。在不考慮共振的情況下，內(nèi)外嚙合剛度平均分量越大，內(nèi)外嚙合動載系數(shù)越大，齒輪承擔(dān)的動態(tài)載荷也越大。

圖9 局部轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)嚙合動載系數(shù)Fig.9 Dynamic load coefficients of internal mesh in local speed range

圖10 局部轉(zhuǎn)速區(qū)間外嚙合動載系數(shù)Fig.10 Dynamic load coefficients of external mesh in local speed range

2)由于人字齒接觸線長度交變分量幅值較小，與此相對應(yīng)的人字齒嚙合剛度交變分量幅值同樣較小，所以人字齒嚙合剛度交變分量對動載系數(shù)的影響很小，這也是人字齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)，振動較小的原因。

3)進(jìn)行人字齒行星傳動系統(tǒng)動載系數(shù)計算，在精度要求不太高的情況下，求解動力學(xué)方程時以嚙合剛度平均分量表示嚙合剛度是可行的。

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