朱華進，張 洋，鄂 嵋，禹華鋼

（1.解放軍91469部隊，北京 100841；2.海軍司令部軍務(wù)部，北京 100841；3.解放軍91033部隊，山東青島 266071）

基于約束加權(quán)最小二乘的時差頻差聯(lián)合定位算法?

朱華進1，??，張 洋2，鄂 嵋3，禹華鋼1

（1.解放軍91469部隊，北京 100841；2.海軍司令部軍務(wù)部，北京 100841；3.解放軍91033部隊，山東青島 266071）

針對運動目標(biāo)源定位問題，提出了一種基于約束加權(quán)最小二乘（Constrained Weighted Least-Squares，CWLS）的時差頻差定位算法。該算法利用目標(biāo)源到達多個接收站的時差和頻差信息，對目標(biāo)源的位置和速度進行估計。通過引入中間變量，將時差頻差非線性方程轉(zhuǎn)換成偽線性方程（中間變量與目標(biāo)源位置和速度之間存在約束關(guān)系），再對此約束條件引入拉格朗日乘子技術(shù)，將此偽線性方程的求解轉(zhuǎn)化為求條件極值問題，創(chuàng)造性地求解了此非線性定位方程，提高了定位精度，并能滿足實時性和全局收斂要求。仿真實驗表明，該算法在保持相近復(fù)雜度的同時，進一步提高了定位性能，優(yōu)于兩步加權(quán)最小二乘算法，在噪聲較高時仍然能達到克拉美羅下限。

目標(biāo)源定位；約束加權(quán)最小二乘；到達時差；到達頻差；拉格朗日乘子技術(shù)

1 引言

目標(biāo)源定位技術(shù)在雷達［1－2］、聲納［3］、導(dǎo)航、無線通信、傳感器網(wǎng)絡(luò)［4－5］等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，一直是信號處理領(lǐng)域的研究熱點之一。對于靜止或靜態(tài)目標(biāo)源和接收機情況下的無源定位問題，通常的思路是估計目標(biāo)源到空間分散的接收機或傳感器的到達時差（Time Difference of Arrival，TDOA）來進行定位?，F(xiàn)代定位系統(tǒng)中，接收機往往被安裝在飛機、衛(wèi)星、空中無人飛行器等運動平臺上［6］，當(dāng)目標(biāo)源與接收機之間存在相互運動時，多普勒頻差（Frequency Difference of Arrival，F(xiàn)DOA）定位技術(shù)可以與TDOA定位技術(shù)相結(jié)合，能同時估計出目標(biāo)源的位置和運動速度，并能有效地提高定位精度［7－9］。

2004年，Ho等人對運動目標(biāo)源的TDOA/FDOA聯(lián)合定位技術(shù)進行了深入分析，建立了完善的理論體系，當(dāng)已知接收站位置、速度和信號傳播速度時，運動目標(biāo)源定位問題可以用TDOA/FDOA非線性方程來表示，并提出了著名的兩步加權(quán)最小二乘（twostep Weighted Least-Squares，two-step WLS）TDOA/FDOA聯(lián)合定位算法［10］。不同于傳統(tǒng)的線性迭代方法［11］，two-step WLS算法通過引入中間變量將TDOA/FDOA非線性定位方程轉(zhuǎn)化為偽線性方程（中間變量與目標(biāo)源之間存在約束關(guān)系），從而可以求解其代數(shù)解，避免了初始點選擇和不收斂問題，在較高信噪比時能達到克拉美羅下限（Cramér-Rao Lower Bound，CRLB）［10］。在此基礎(chǔ)上，本文提出了一種基于約束加權(quán)最小二乘（Constrained Weighted Least-Squares，CWLS）的TDOA/FDOA聯(lián)合定位算法，該算法在WLS方程的基礎(chǔ)上，通過引入拉格朗日乘子技術(shù)，將此偽線性方程的求解轉(zhuǎn)化為求條件極值問題，并采用多項式求根運算來求解此拉格朗日乘子，保證了算法的實時性和全局收斂。更重要的是，該算法在較高噪聲時仍然能達到CRLB，克服了two-step WLS算法在噪聲較高時性能衰減的缺點。

2 運動目標(biāo)源定位問題

根據(jù)上述定義，目標(biāo)源到接收站的真實距離為

其中，‖*‖2表示求2范數(shù)，i＝1，2，…，M。則目標(biāo)源到達基準(zhǔn)站與其他站之間的距離差為

為有效利用FDOAs，對式（2）求時間微分：

其中，通過對式（1）求時間微分，能得到˙ri的表達式：

在實際應(yīng)用中，觀測得到的TDOAs：Td＝［t21，t31，…，tM1］T和FDOAs：Fd＝［f21，f31，…，fM1］T中都存在加性噪聲。當(dāng)信號傳播速度恒定時，距離差及其對時間的微分分別與TDOA和FDOA之間成比例關(guān)系，則觀測到的距離差及其對時間的微分分別可以表示為［7］

3 基于CWLS的TDOA/FDOA定位算法

首先定義輔助向量

將ri和r1的表達式代入ri＝ri1＋r1，并對此方程兩邊同時求平方，得到TDOA方程：

對式（7）求時間微分，可得到相應(yīng)的FDOA方程：

并忽略二階誤差項，可得式（9）、（10）：

綜合式（9）、（10）得到對應(yīng)的矩陣表達形式：

其中：

對θ進行估計時，必須考慮此約束關(guān)系。

首先，對式（11）求WLS解［13］：

式中，Qn＝E［nnT］為TDOA/FDOA噪聲向量n的協(xié)方差矩陣。

將約束條件式（15）、（16）代入式（18），則CWLS解等價于對式（19）求最小化：

采用拉格朗日乘子技術(shù)來求解此條件極值問題，式（19）等同于

對式（21）進行求解得到

式中，拉格朗日乘子λ仍然有待求解。將式（22）代入約束條件θTΣθ＝0來求解拉格朗日乘子λ。

其中，I8為8×8的單位矩陣。對矩陣ATW－1AΣ－1進行特征值分解：

其中，Λ＝diag｛η1，η2，…，η8｝為對角矩陣。將式（24）代入式（23）得到方程

其中，p＝［p1，p2，…，p8］T＝UTΣ－TATW－1b，q＝［q1，q2，…，q8］T＝U－1ATW－1b。

式（25）是一個14階的多項式方程。不同于文獻［14－16］以0為初始點，分別采用切線法和牛頓迭代法對式（25）進行求解，本文通過卷積運算對式（25）進行化簡，能簡便地求得此多項式f（λ）的各階系數(shù)，得到一個14階的標(biāo)準(zhǔn)多項式方程，再通過多項式求根運算，能快捷地求解此多項式方程的根。

綜上所述，基于CWLS的TDOA/FDOA定位算法的流程如下：

（1）定義W＝IM－1；

（2）通過卷積運算（對應(yīng)MATLAB中命令“conv”）將f（λ）轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)多項式，通過多項式求根運算（對應(yīng)MATLAB中命令“roots”）求解此多項式方程，考慮到拉格朗日乘子λ為實數(shù)，只需保留其中的實數(shù)根；

第4節(jié)中的仿真實驗表明，重復(fù)執(zhí)行步驟2和步驟3兩次就能得到足夠精確的解＾θ。

4 仿真實驗

為驗證本文算法的性能，對近距離目標(biāo)源和遠距離目標(biāo)源分別進行了一系列的蒙特卡羅仿真實驗。從定位偏差、定位精度和計算復(fù)雜度3個方面對本文提出的CWLS算法與two-step WLS算法［10］的性能進行了比較，其中two-step WLS算法進行了兩次迭代運算。在仿真實驗中，設(shè)定目標(biāo)源位置單位為m，速度單位為m/s。

為保證仿真實驗的有效性，采用與文獻［10］相同的接收站幾何分布和目標(biāo)源位置，如表1所示。

表1 接收站和目標(biāo)源的位置和速度Table 1 Positions and velocities of receivers

采用誤差均方根（Root Mean Squares Error，RMSE）來度量對目標(biāo)源位置和速度的定位精度，分別定義為

首先對近距離目標(biāo)源的定位問題進行仿真實驗分析。如圖1和圖2所示，本文提出的CWLS算法的定位偏差遠低于two-step WLS算法，且在高噪聲條件時尤其明顯。當(dāng)噪聲較低時，CWLS算法的定位偏差接近為0，證明了CWLS在噪聲較低時是漸近無偏的估計算法。同時，由于定位方程的非線性本質(zhì)，隨著噪聲的增大，兩種算法的定位偏差都有所增大，但CWLS算法的定位偏差增大速度明顯低于two-step WLS算法。

圖1 不同噪聲強度條件下對近距離目標(biāo)位置偏差的比較Fig.1 Comparison of the position bias of the proposed estimatorwith the two-step WLSmethod versus measurement error for near-field source

圖2 不同噪聲強度條件下對近距離目標(biāo)速度偏差的比較Fig.2 Comparison of the velocity bias of the proposed estimatorwith the two-step WLSmethod versus measurement error for near-field source

圖3和圖4以CRLB為基準(zhǔn)，給出了two-step WLS和CWLS算法定位精度隨測量誤差變化曲線，其中采用RMSE來度量定位精度。當(dāng)噪聲高于6 dB時，two-step WLS算法性能開始發(fā)散，不能達到CRLB，而CWLS算法在噪聲低于16 dB都可以到達CRLB。這表明CWLS算法隨噪聲增大而性能發(fā)散的門限比two-step WLS算法高10 dB，這一性能在較高噪聲條件下具有顯著的優(yōu)勢。

圖3 不同噪聲強度條件下對近距離目標(biāo)位置RMSE的比較Fig.3 Comparison of the position RMSE of the proposed estimatorwith the two-step WLSmethod versus measurement error for near-field source

圖4 不同噪聲強度條件下對近距離目標(biāo)速度RMSE的比較Fig.4 Comparison of the velocity RMSE of the proposed estimatorwith the two-step WLSmethod versus measurement error for near-field source

圖5～8分別給出了對遠距離目標(biāo)源定位偏差和精度隨測量誤差變化曲線，可以看出本文提出的CWLS算法比two-step WLS算法具有更好的性能。

圖5 不同噪聲強度條件下對遠距離目標(biāo)位置偏差的比較Fig.5 Comparison of the position bias of the proposed estimatorwith the two-step WLSmethod versus measurementerror for far-field source

圖6 不同噪聲強度條件下對遠距離目標(biāo)速度偏差的比較Fig.6 Comparison of the velocity bias of the proposed estimatorwith the two-step WLSmethod versus measurementerror for far-field source

圖7 不同噪聲強度條件下對遠距離目標(biāo)位置RMSE的比較Fig.7 Comparison of the position RMSE of the proposed estimatorwith the two-step WLSmethod versus measurementerror for far-field source

圖8 不同噪聲強度條件下對遠距離目標(biāo)速度RMSE的比較Fig.8 Comparison of the velocity RMSE of the proposed estimatorwith the two-step WLSmethod versus measurementerror for far-field source

采用MATLAB軟件進行10 000次仿真實驗，twostep WLS和CWLS算法所需的運算時間分別為18.132 5 s和34.468 3 s，表明兩種定位算法均能滿足實時性要求。

由于two-step WLS算法首先不考慮中間變量與目標(biāo)源位置和速度之間的約束關(guān)系，直接將偽線性方程當(dāng)作線性方程，求解其WLS解，再在第二步時單獨考慮此約束關(guān)系，來對定位結(jié)果進行修正，在噪聲較低時具有很好的性能，但當(dāng)噪聲較大時，則會造成性能的發(fā)散。而本文提出的CWLS算法通過引入拉格朗日乘子技術(shù)，將此約束關(guān)系轉(zhuǎn)化為條件極值問題，自始至終都考慮了此約束關(guān)系，因此具有更好的性能。由于CWLS算法需要求取拉格朗日乘子，其中包括了特征值分解運算、高階多項式求根等運算，故其計算復(fù)雜度稍高于two-step WLS算法，但仍然能滿足實時性要求。仿真結(jié)果與理論分析相符合。在實際應(yīng)用中，如果噪聲分布無法精確估計，以上兩種算法均無法達到仿真結(jié)果中的性能，但仍然能有效改善對目標(biāo)的定位精度。

5 結(jié)論

現(xiàn)代定位系統(tǒng)中，接收機往往被安裝在飛機、衛(wèi)星、空中無人飛行器等運動平臺上，能實現(xiàn)對運動目標(biāo)的精確定位。針對這一定位問題，本文提出了一種基于CWLS的TDOA/FDOA聯(lián)合定位算法。仿真實驗表明，該算法和two-step WLS算法復(fù)雜度相近，能滿足實時性要求，性能卻遠優(yōu)于后者，CWLS算法的噪聲門限比two-step WLS算法高10 dB，在噪聲較高時具有很好的性能，具有顯著的優(yōu)勢。在后續(xù)研究中，將考慮接收站自身定位存在誤差對目標(biāo)定位精度的影響，并提出相應(yīng)解決辦法。

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朱華進（1978—），男，湖北武穴人，分別于2000年和2003年獲海軍工程大學(xué)學(xué)士學(xué)位和碩士學(xué)位，現(xiàn)為工程師，主要研究方向為通信信號處理和導(dǎo)航工程；

ZHU Hua-jin was born in Wuxue，Hubei Province，in 1978.He received the B.S.degree and the M.S.degree from Naval University of Engineering in 2000 and 2003，respectively.He is now an engineer. His research interests include communication signal processing and navigation engineering.

Email：82450049＠qq.com

張洋（1983—），女，山東青島人，2007年于海軍工程大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向為信號處理和信息處理；

ZHANG Yang was born in Qingdao，Shandong Province，in 1983.She received the B.S.degree from Naval University of Engineering in 2007.She is now a graduate student.Her research interests include signal processing and information processing.

Email：63846660＠qq.com

鄂嵋（1981—），女，黑龍江訥河人，2011年于海軍工程大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為助理工程師，主要研究方向為信號處理和信息處理；

EMeiwas born in Neihe，Heilongjiang，in 1981.She received the B.S.degree from Naval University of Engineering in 2011.She is now an assistant engineer.Her research interests include signal processing and information processing.

Email：63846660＠qq.com

禹華鋼（1984—），男，湖南邵東人，分別于2006年、2008年和2012年獲海軍工程大學(xué)工學(xué)學(xué)士學(xué)位、碩士學(xué)位和博士學(xué)位，現(xiàn)為工程師，主要研究方向為無源定位、通信信號處理、通信工程。

YU Hua-gangwasborn in Shaodong，Hunan Province，in 1984. He received the B.S.degree，the M.S.degree and the Ph.D.degree from Naval University of Engineering in 2006，2008 and 2012，respectively.He is now an engineer.His research interests include passive detection，communication signal processing and communication engineering.

Email：yu－h(huán)uagang＠hotmail.com

Constrained W eighted Least-Squares Algorithm for M oving Source Location Using TDOA and FDOA M easurements

ZHU Hua-jin1，ZHANG Yang2，EMei3，YU Hua-gang1
（1.Unit91469 of PLA，Beijing 100841，China；2.Military Affairs Department of Naval Headquarters，Beijing 100841，China；3.Unit91033 of PLA，Qingdao 266071，China）

By utilizing the time difference of arrival（TDOA）and frequency difference of arrival（FDOA）measurements of a signal received ata number of receivers，a constrained weighted least-squares（CWLS）algorithms for estimating the position and velocity of a moving source is proposed.By utilizing the Lagrange multipliers technique，the known relation between the intermediate variables and the source location coordinates can be exploited to constrain the solution.And，on basis of convolute and polynomial rooting operations，the Lagrange multipliers can be obtained efficiently and robustly，which can allow real-time implementation aswell as ensure global convergence.Simulation results show that the proposed estimator achieves remarkably better performance than the two-step weighted least squares（WLS）approach especially for highermeasurement noise level，which makes the Cramér-Rao lower bound（CRLB）at a sufficiently high noise level before the threshold effect occurs possible.

source localization；constrained weighted least-squares（CWLS）；time difference ofarrival（TDOA）；frequency difference of arrival（FDOA）；Lagrangemultipliers

TN97；V556

A

1001－893X（2013）04－0395－07

10.3969/j.issn.1001－893x.2013.04.005

2012－10－15；

2013－02－27 Received date：2012－10－15；Revised date：2013－02－27

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃（863計劃）項目（2010AA7010422）

Foundation Item：The National High-tech R＆D Program of China（863 Program）（2010AA7010422）

??通訊作者：82450049＠qq.com Corresponding author：82450049＠qq.com