劉福國(guó)

（昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100）

百慕大期權(quán)定價(jià)方法及實(shí)證研究

劉福國(guó)

（昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100）

利用保險(xiǎn)精算方法給出連續(xù)市場(chǎng)模型下百慕大期權(quán)定價(jià)公式，并對(duì)我國(guó)的上海權(quán)證市場(chǎng)中的百慕大式權(quán)證的實(shí)際數(shù)據(jù)利用離散（二叉數(shù)方法）和連續(xù)市場(chǎng)（保險(xiǎn)精算方法）兩種模型下的百慕大期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行實(shí)證分析。

百慕大期權(quán);保險(xiǎn)精算定價(jià);二叉樹(shù);實(shí)證分析

1 引言

期權(quán)按照交易時(shí)間的不同，期權(quán)有歐式期權(quán)和美式期權(quán)之分，標(biāo)準(zhǔn)美式期權(quán)可在其有效期內(nèi)任何時(shí)間均可行使期權(quán)，標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)只能在約定時(shí)間行使權(quán)力，因而美式期權(quán)比歐式期權(quán)應(yīng)用得更為普遍，國(guó)際金融衍生市場(chǎng)交易的大多數(shù)期權(quán)都是美式期權(quán)，但實(shí)際中交易的美式期權(quán)不一定總是具備這些標(biāo)準(zhǔn)特征，尤以股票期權(quán)市場(chǎng)最為突出，例如百慕大（bermudan）期權(quán),就只限于在期權(quán)有效期內(nèi)特定日期而不是在任何時(shí)間可行使期權(quán)，即其價(jià)格具備路徑依賴特征，例如一些公司發(fā)行的某些認(rèn)購(gòu)權(quán)證和認(rèn)沽權(quán)證?？梢?jiàn)百慕大期權(quán)的定價(jià)既有重要的理論價(jià)值，又具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，因而百慕大期權(quán)的定價(jià)一直是國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一。但是由于路徑依賴特征的復(fù)雜性，百慕大期權(quán)的定價(jià)相對(duì)較難，關(guān)于該問(wèn)題研究的文獻(xiàn)比較少，如2005年林建偉采用偏微分方程方法討論了帶跳擴(kuò)散項(xiàng)的永久百慕大期權(quán)定價(jià)問(wèn)題［1］，但他僅解決作為周期解的連續(xù)的數(shù)學(xué)模型，但沒(méi)有給出一般連續(xù)市場(chǎng)模型下百慕大期權(quán)定價(jià)公式。

保險(xiǎn)精算定價(jià)法最早由Bladt M和Rydberg HT應(yīng)用到期權(quán)定價(jià)中［2］，閆海峰，劉三陽(yáng)［3］利用保險(xiǎn)精算法推廣了B-S模型，推導(dǎo)出了股票價(jià)格遵從Ornstein-Uhlenback過(guò)程的期權(quán)定價(jià);隨后眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者將此方法進(jìn)一步推廣，如劉倩、劉新平［4］和葉小青［5］把保險(xiǎn)精算法推廣到外匯期權(quán)、亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題中等等，由于保險(xiǎn)精算法模型無(wú)任何條件假設(shè)的優(yōu)越性使該方法的應(yīng)用極具推廣性。本文利用保險(xiǎn)精算方法給出連續(xù)市場(chǎng)模型下百慕大期權(quán)定價(jià)公式并給出相應(yīng)的實(shí)證分析。

2 百慕大期權(quán)定價(jià)方法

定義2.1［6］按和約規(guī)定，提前實(shí)施只限于期權(quán)有效期內(nèi)的一些特定時(shí)間才可以進(jìn)行，在其他時(shí)間與其它歐式期權(quán)一樣不能提前實(shí)施,此類(lèi)期權(quán)稱之為百慕大期權(quán)。

2.1 二叉樹(shù)模型

二叉樹(shù)模型首先解決的就是股價(jià)走勢(shì)的問(wèn)題，雖然不知道未來(lái)某個(gè)時(shí)點(diǎn)的股價(jià)具體是多少，但是二叉樹(shù)模型認(rèn)為在較短的時(shí)間間隔內(nèi)，股票價(jià)格S只有兩種運(yùn)動(dòng)方向，以概率p向上增長(zhǎng)為Su，或以概率1-p下降為Sd，根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率，可推算u,d并設(shè)定如下：

在給期權(quán)定價(jià)時(shí)，實(shí)務(wù)界一般認(rèn)為采用20步二叉樹(shù)就能取得較好的定價(jià)效果，并且我們通過(guò)適當(dāng)調(diào)整步長(zhǎng)使行權(quán)點(diǎn)剛好與二叉樹(shù)分層點(diǎn)重合，對(duì)于看跌期權(quán)而言，由于最后一層節(jié)點(diǎn)處為期末，期權(quán)的價(jià)值僅為立即行權(quán)的價(jià)值max{X-ST,0}，然后根據(jù)公式（2.2）不斷的往前回溯，如果該節(jié)點(diǎn)處有行權(quán)的權(quán)利，則期權(quán)價(jià)值為：

如果該節(jié)點(diǎn)處無(wú)行權(quán)的權(quán)利，則期權(quán)價(jià)值為：e-rT[Pfu+(1-P)fd]，回溯到第一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)則為百慕大期權(quán)價(jià)值

其中P=。

2.2 連續(xù)模型

我們考慮由兩類(lèi)資產(chǎn)（證券）組成的連續(xù)貿(mào)易金融市場(chǎng),一種是在t時(shí)刻具有瞬時(shí)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r(t)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)Q(t)（如債券）;另一類(lèi)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如股票）,在t時(shí)刻其價(jià)格為S(t),考慮的時(shí)間區(qū)間為[0,T],0表示為初始時(shí)間,T表示為到期日,{S(t):t≥0}是定義在給定的濾子化完備概率空間(Q,F,F(t)t≥0,P)上的隨機(jī)過(guò)程,{F(t):t≥0}是由S(t)產(chǎn)生的自然濾子,假設(shè)S(0)=S是大于零的常數(shù)（有關(guān)保險(xiǎn)精算定價(jià)的的概念沿襲文獻(xiàn)［2］［3］）。

假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（股票）的價(jià)格過(guò)程{S(t):t≥0}和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程{Q(t):t≥0}分別滿足:

其中Bt表示定義在完備概率空間(Ω,F,P)上的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)。S(0)=S,S是大于零的常數(shù),r(t),μ(t),σ(t)是[0,∞]→R上的函數(shù),且滿足

設(shè)C(X,T)和P(X,T)分別表示以股票價(jià)格S(t)為標(biāo)的資產(chǎn),執(zhí)行價(jià)為X,到期日為T(mén)的百慕大式看漲和看跌期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)。

對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)不支付中間紅利的百慕大期權(quán)定價(jià)有如下結(jié)論：

定理2.1假設(shè){S(t):t≥0},{Q(t):t≥0}滿足方程（2.3）、（2.4）且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在有效期內(nèi)無(wú)紅利支付,則百慕大期權(quán)保險(xiǎn)定價(jià)公式是：

t1表示第一個(gè)可行權(quán)的時(shí)刻，C1表示相應(yīng)與該時(shí)刻百慕大看漲期權(quán)的價(jià)值。

t1表示第一個(gè)可行權(quán)的時(shí)刻，P1表示相應(yīng)與該時(shí)刻百慕大看跌期權(quán)的價(jià)值。

證明：由伊藤引理，隨機(jī)微分方程（2.3）有唯一解

（Ⅰ）先對(duì)1)式進(jìn)行證明

設(shè)t1,t2,……,tN為可以行權(quán)的時(shí)刻，把[0,T]分為：0≤t1≤……≤tN=T,實(shí)際中不同期權(quán)N不同。

當(dāng)N=2時(shí),即0＜t1＜T在[0,T]內(nèi)只有t1，T時(shí)刻才可以行權(quán)；

圖中Y表示執(zhí)行期權(quán)，N表示不執(zhí)行期權(quán)

如上圖所示，在t1時(shí)刻或執(zhí)行或不執(zhí)行，如果：

(a)t1時(shí)刻不執(zhí)行，則此期權(quán)為在[t1,T]上的歐式期權(quán)，在t1時(shí)刻的價(jià)值為C1(X,T-t1)，則：

(b)t1時(shí)刻若執(zhí)行，其執(zhí)行條件為：S(t1)-X＞C1?S(t1)＞C1+X

按保險(xiǎn)精算法其執(zhí)行條件應(yīng)為：

那么綜合（a）（b），有：

由于（2.10）式中：

當(dāng)N＞2時(shí),即t1,t2,……,tN為可以行權(quán)的時(shí)刻，把[0,T]分為：0≤t1≤……≤tN=T。

圖中Y表示執(zhí)行期權(quán)，N表示不執(zhí)行期權(quán)

同1°中理：

(a)當(dāng)tN-1時(shí)刻不執(zhí)行，則此期權(quán)為在[tN-1,T]上的歐式期權(quán)，在tN-1時(shí)刻的價(jià)值為CN-1(X,T-tN-1),則：

(b)當(dāng)tN-1時(shí)刻若執(zhí)行，按保險(xiǎn)精算法可推得tN-1時(shí)刻百慕大期權(quán)的價(jià)值為：CN-2(X,T-tN-2)

如上依次往前遞推，最終可得出0時(shí)刻百慕大看漲期權(quán)的價(jià)值即為結(jié)論1)，即：得證。

同(1)式理可證明(2)式。證明完畢。

對(duì)于百慕大期權(quán)的定價(jià)其它定價(jià)法相比較，保險(xiǎn)精算定價(jià)模型具有以下特點(diǎn)：

一、沒(méi)有對(duì)金融市場(chǎng)和價(jià)格過(guò)程作任何限制，計(jì)算期權(quán)價(jià)格時(shí)只利用了價(jià)格過(guò)程在期末時(shí)的實(shí)際概率分布和公平保費(fèi)原理,克服了鞅方法定價(jià)中尋找等價(jià)鞅測(cè)度的困難，并且克服了其他模型難求顯式解的困難。

二、與傳統(tǒng)的無(wú)套利定價(jià)有許多本質(zhì)的區(qū)別:保險(xiǎn)精算定價(jià)中買(mǎi)權(quán)執(zhí)行條件為而不是S(t1)＞C1+X與期權(quán)定價(jià)的鞅方法相比較，保險(xiǎn)精算方法的不同之處在于：計(jì)算數(shù)學(xué)期望所用的概率測(cè)度、期權(quán)被執(zhí)行的條件以及計(jì)算可能損失的方式。當(dāng)金融市場(chǎng)是有套利、非均衡（等價(jià)鞅測(cè)度不存在）或不完備（等價(jià)鞅測(cè)度存在但不唯一）鞅方法將不能使用。保險(xiǎn)精算方法將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的公平保費(fèi)確定問(wèn)題，由于無(wú)任何經(jīng)濟(jì)假設(shè)，所以它不僅對(duì)無(wú)套利、均衡、完備的市場(chǎng)有效，且對(duì)有套利、非均衡、不完備的市場(chǎng)也有效。

3 實(shí)證研究

定義3.1權(quán)證［7］，是指標(biāo)的證券發(fā)行人或其以外的第三人發(fā)行的，約定持有人在規(guī)定期間內(nèi)或特定到期日，有權(quán)按約定價(jià)格向發(fā)行人購(gòu)買(mǎi)或出售標(biāo)的證券，或以現(xiàn)金結(jié)算方式收取結(jié)算差價(jià)的有價(jià)證券。

權(quán)證本質(zhì)上是期權(quán)的一種，百慕大式權(quán)證實(shí)質(zhì)就屬于百慕大期權(quán)，在我國(guó)的權(quán)證市場(chǎng)中大部分的權(quán)證是百慕大式的，百慕大權(quán)證吸收了歐式權(quán)證和美式權(quán)證的靈活性，更加滿足市場(chǎng)的需求，對(duì)其定價(jià)就顯得更加重要。本文對(duì)中國(guó)上海權(quán)證市場(chǎng)中2006年以來(lái)的所有百慕大式認(rèn)沽權(quán)證和認(rèn)購(gòu)權(quán)證（合計(jì)22種權(quán)證）的自發(fā)行以來(lái)每天的收盤(pán)價(jià)格作為實(shí)際數(shù)據(jù)，并以MATHLAB作為數(shù)學(xué)模擬工具對(duì)二叉樹(shù)模型和保險(xiǎn)精算方法分別進(jìn)行模擬，并與實(shí)際進(jìn)行比較，部分結(jié)果如下圖：

通過(guò)實(shí)證分析我們有如下結(jié)論：

首先，我們可以從實(shí)證圖形結(jié)果很直觀的看出保險(xiǎn)精算方法為百慕大權(quán)證定價(jià)較目前使用的二叉樹(shù)方法更接近實(shí)際，更能反映實(shí)際的市場(chǎng)變化趨勢(shì)；對(duì)所有的百慕大式認(rèn)沽權(quán)證和認(rèn)購(gòu)權(quán)證都使用該方法進(jìn)行分析，其結(jié)果說(shuō)明保險(xiǎn)精算定價(jià)結(jié)果比二叉樹(shù)定價(jià)結(jié)果更接近實(shí)際,并且對(duì)其中所有數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得（總天數(shù)為250）:保險(xiǎn)精算結(jié)果優(yōu)于二叉樹(shù)結(jié)果的天數(shù)為150的占100%,為180的占92%,為220的占62%,為240的占52%。

其次，我們?yōu)榱吮容^保險(xiǎn)精算方法和二叉樹(shù)方法對(duì)于百慕大期權(quán)定價(jià)與實(shí)際誰(shuí)更接近，采用假設(shè)檢驗(yàn)的方法［8］進(jìn)行驗(yàn)證：

對(duì)于二叉樹(shù)、保險(xiǎn)精算每天定價(jià)的對(duì)數(shù)值與實(shí)際價(jià)格的對(duì)數(shù)值的差是成對(duì)的，即有n對(duì)相互獨(dú)立的計(jì)算結(jié)果(α1,β1),(α2,β2),……,(αn,βn),令D1=α1-β1,D2=α2-β2,……,Dn=αn-βn,則D1,D2,……,Dn相互獨(dú)立。假設(shè)Di～N(μD,),i=1,2,……,n，

這就是說(shuō)D1,D2,……,Dn構(gòu)成正態(tài)總體N(μD,)的一個(gè)樣本，其中μD,未知。我們需要基于這一樣本檢驗(yàn)假設(shè)：H0≥0,H1≤0 （1）

分別記D1,D2,……,Dn的樣本均值和樣本方差的觀察值為ˉ,，那么關(guān)于單個(gè)正態(tài)總體均值的t檢驗(yàn)知檢驗(yàn)問(wèn)題（1）的拒絕域?yàn)椋z驗(yàn)水平為α=0.05）：，由求出t值判斷是否落在拒絕域內(nèi)來(lái)判斷接受H0或H1，接受H0即說(shuō)明保險(xiǎn)精算數(shù)據(jù)比二叉樹(shù)數(shù)據(jù)更接近實(shí)際數(shù)據(jù)。

例如包鋼認(rèn)購(gòu)權(quán)證：D1,D2,……,Dn的樣本均值ˉ=0.2281，樣本方差的觀察值為SD=0.3740，現(xiàn)在,即知問(wèn)題（1）的拒絕域?yàn)椋?/p>

即接受H0，說(shuō)明包鋼認(rèn)購(gòu)權(quán)證的保險(xiǎn)精算定價(jià)結(jié)果比二叉樹(shù)定價(jià)結(jié)果更接近實(shí)際。

邯鋼認(rèn)購(gòu)權(quán)證定價(jià)比較示意圖

包鋼認(rèn)購(gòu)權(quán)證定價(jià)比較示意圖

最后，保險(xiǎn)精算定價(jià)模型的條件假設(shè)更為自由，更貼近實(shí)際，將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的公平保費(fèi)確定問(wèn)題,由于無(wú)任何經(jīng)濟(jì)假設(shè),所以它不僅對(duì)無(wú)套利、均衡、完備的市場(chǎng)有效,且對(duì)有套利、非均衡、不完備的市場(chǎng)也有效。但權(quán)證是指標(biāo)的證券發(fā)行人或其以外的第三人發(fā)行的，反映的是發(fā)行人與持有人之間的一種契約關(guān)系，發(fā)行人也以追求經(jīng)濟(jì)利益為目的，而且權(quán)證的價(jià)格往往還要受到權(quán)證的市場(chǎng)供求、發(fā)行人業(yè)績(jī)等因素影響，所以造成對(duì)于百慕大式認(rèn)沽權(quán)證和認(rèn)購(gòu)權(quán)證的理論價(jià)值有時(shí)與實(shí)際價(jià)格存在一定的差距。

本文對(duì)于百慕大期權(quán)定價(jià)是在標(biāo)的資產(chǎn)不存在分紅和利率、波動(dòng)率是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)的假設(shè)條件下進(jìn)行的，標(biāo)的資產(chǎn)存在分紅和利率、波動(dòng)率是隨機(jī)情形還有待繼續(xù)研究。

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O212.7

：A

：1671-6469（2013）04-0042-06

2013-06-26

昌吉學(xué)院科研項(xiàng)目（2011SSQD02）

劉福國(guó)（1978—），男，新疆昌吉人，昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。