余家祥，趙曉哲，梁德清，姜魯東，周晶

(1.海軍大連艦艇學(xué)院 戰(zhàn)術(shù)學(xué)博士后流動(dòng)站，遼寧 大連116018;2.海軍裝備部，北京100083)

0 引言

利用無人機(jī)、電視偵察彈等空中平臺的航空偵察圖像對地面目標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)定位具有極其重要的軍事價(jià)值，因而受到普遍重視［1］。目前，根據(jù)航空圖像進(jìn)行實(shí)時(shí)目標(biāo)定位的方法大致可以歸為4 種，即基于數(shù)字高程(DEM)的定位方法［2-4］、基于激光測距的定位方法［5］、基于多幀圖像聯(lián)測的定位方法［6］和基于多幀圖像同名點(diǎn)的定位方法［7-8］。

基于多幀圖像同名點(diǎn)的定位方法是為降低其他3 種方法的使用條件而產(chǎn)生的一種地面目標(biāo)定位方法，應(yīng)用一次完成最小二乘算法(LMS)求解攝像機(jī)參數(shù)改正數(shù)和地面點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)是該方法的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。然而，在運(yùn)用該方法的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圖像幀數(shù)及同名點(diǎn)數(shù)目較大時(shí)，一次完成LMS 的系數(shù)矩陣規(guī)模偏大、算法時(shí)間復(fù)雜度高、效率低。為解決該問題，本文根據(jù)改正數(shù)約束方程的特點(diǎn)，提出了基于分離LMS 原理的分離估計(jì)算法，該算法運(yùn)用迭代方式交替估計(jì)航空攝像機(jī)參數(shù)改正數(shù)和地面點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)，能夠有效提高改正數(shù)估計(jì)算法的效率。

1 分離LMS 原理

考慮如下線性方程組

式中:x 為l 維未知參數(shù)向量;b 為q 維觀測數(shù)據(jù)列向量;A 為q×l 維系數(shù)矩陣(q ＞l).

為了估計(jì)未知參數(shù)，將x 劃分成n 組，并相應(yīng)地將矩陣A 劃分成n 塊，即將x 和A 分別寫成如下形式

將(2)式和(3)式代入(1)式，可得

式中:A1，A2，…，An分別為q ×l1，q ×l2，…，q ×ln階矩陣;未知參數(shù)向量x1，x2，…，xn的維數(shù)分別為l1，l2，…，ln，并且有

假設(shè)估計(jì)順序?yàn)閤1→x2→…→xn.在估計(jì)xi時(shí)，將x1，x2，…，xi-1的本次迭代估計(jì)值和xi+1，xi+2，…，xn的上次迭代估計(jì)值(或首次迭代初值)一并代入(4)式，移項(xiàng)整理后得

根據(jù)(6)式可以得到xi的估計(jì)值

根據(jù)測量平差理論的慣例［9］，將(8)式中Wbi稱為觀測向量bi的權(quán)陣，它是bi的協(xié)因數(shù)陣Qbi的逆陣，即

式中協(xié)因矩陣Qbi可以通過如下運(yùn)算得到

式中Qb為b 的協(xié)因矩陣。

當(dāng)k ＜i 時(shí)，(10)式中的Qxk為xk當(dāng)前迭代估計(jì)值的協(xié)因數(shù)陣;k ＞i 時(shí)，Qxk為xk上一次迭代估計(jì)值的協(xié)因數(shù)陣，且對于第一次迭代有

當(dāng)i=1 時(shí)，(11)式被定義為

(11)式中xk的當(dāng)前迭代估計(jì)值的協(xié)因數(shù)陣Qxk可以通過下式求取

根據(jù)(8)式得到xi的估計(jì)值以后，用類似的方式依次求解其他n-1 組參數(shù)。所有n 組參數(shù){xk|k=1，2，…，n}計(jì)算完成后，意味著關(guān)于未知參數(shù)向量x 的第一次迭代步驟結(jié)束，得到x 的一個(gè)近似值。接著進(jìn)入下一次迭代，直到所有參數(shù)組估計(jì)精度滿足要求。

通過證明可分離算法估計(jì)結(jié)果與Jacobi 迭代計(jì)算結(jié)果等價(jià)，可以判斷LMS 的收斂性［10-11］。為此，將(1)式寫成如下形式

與(4)式類似，(14)式可以等價(jià)地寫為

使用Jacobi 迭代，得到(15)式的解

顯然，由(16)式確定的解與由(8)式確定的解相同。由于矩陣ATWA 是對稱正定的，因此上述可分離算法的交替迭代過程是收斂的。

2 改正數(shù)約束方程

文獻(xiàn)［7］指出:如果m 個(gè)地面點(diǎn)在從不同方位上攝取的n 幀圖像上均有可識別像點(diǎn)，則根據(jù)這些像點(diǎn)可以建立2mn 個(gè)關(guān)于航空攝像機(jī)參數(shù)改正數(shù)和地面點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)的約束方程組，且該方程組可以簡潔地表示為

式中:

3 改正數(shù)的分離估計(jì)方法

3.1 地面點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)的分離估計(jì)

求解u 之前，將(17)式改寫成類似于(1)式的形式，即

式中

式中v 為上一次迭代的估計(jì)值(或首次迭代的初值)。

若v 是給定的常量初值，則bu的協(xié)因數(shù)陣Qbu與b 的協(xié)因數(shù)陣Qb相同，即

否則，若v 是上一次迭代估計(jì)值，則根據(jù)誤差傳播規(guī)律可以推導(dǎo)出

式中Qv為上一次迭代v 估計(jì)值的協(xié)因數(shù)陣。

根據(jù)誤差傳播規(guī)律，u 的協(xié)因數(shù)陣Qu可以由下式求取

式中Wb通常稱為觀測向量b 的權(quán)陣，它是協(xié)因數(shù)陣Qb的逆陣，即

由于m 個(gè)地面點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)u1，u2，…，uj，…，um相互獨(dú)立，因此可以利用分離算法求解(23)式。為此，將(23)式重寫為

式中Au1，Au2，…，Aum為矩陣C 的2mn×3 階子塊。

假設(shè)估計(jì)順序?yàn)?u1→u2→…→um.在估計(jì)uj時(shí)，將u1，u2，…，uj-1的本次迭代估計(jì)值和uj+1，uj+2，…，um的上次迭代估計(jì)值代入(29)式，移項(xiàng)、整理后，得

式中

這樣，uj的估計(jì)值為

式中Wbuj為觀測向量buj的權(quán)陣，它是buj的協(xié)因數(shù)陣Qbuj的逆陣，即

根據(jù)(31)式可以推導(dǎo)Qbuj的表達(dá)式

當(dāng)k ＜j 時(shí)，(34)式中的Quk為uk當(dāng)前迭代估計(jì)值的協(xié)因數(shù)陣;當(dāng)k ＞j 時(shí)，Quk為uk上一次迭代估計(jì)值的協(xié)因數(shù)陣，且對于第一次迭代有

當(dāng)j=1 時(shí)，(35)式被定義為

(34)式和(35)式中，uk的當(dāng)前迭代估計(jì)值的協(xié)因數(shù)陣Quk可以通過(37)式求取

3.2 攝像機(jī)參數(shù)改正數(shù)的分離估計(jì)

用分離算法估計(jì)v 的過程與估計(jì)u 類似。首先，將(17)式改寫成類似于(23)式的形式，即

式中

式中u 為當(dāng)前迭代估計(jì)值。

根據(jù)誤差傳播規(guī)律，可以得到bv的協(xié)因數(shù)陣

式中Qu為u 的協(xié)因數(shù)陣，由(27)式確定。估計(jì)值v 的協(xié)因數(shù)陣

由于n 個(gè)攝像機(jī)參數(shù)改正數(shù)v1，v2，…，vi，…，vn相互獨(dú)立，因此(38)式也適用分離算法，且算法實(shí)現(xiàn)原理與(29)式～(37)式所示運(yùn)算過程類同。

4 仿真分析

由于改正數(shù)估計(jì)的精度最終以同名地面點(diǎn)定位誤差的形式反映，因此實(shí)驗(yàn)以定位誤差作為衡量分離LMS 和一次完成最小二法計(jì)算精度指標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上比較兩類方法的運(yùn)算效率。

仿真條件:1)圖像幀數(shù)為n，分別由攝像機(jī)從均勻分布在以待定位地面點(diǎn)的天頂點(diǎn)為圓心的圓圈上的n 個(gè)攝站上拍攝，如圖1所示;2)圖1中，圓圈直徑相對于待定地面點(diǎn)張角α 為90°，攝站與與待定位地面點(diǎn)的距離為2 500 m;3)攝像機(jī)焦距為120 mm;在圖1中的500 m ×500 m ×200 m 長方體內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生m 個(gè)地面點(diǎn);4)仿真計(jì)算時(shí)，攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)和地面點(diǎn)坐標(biāo)的迭代初值與真值的偏差大小設(shè)置為真值的10%.仿真結(jié)果如表1所示。

圖1 攝站分布示意圖Fig.1 Layout of cameras

表1 兩種LMS 定位性能比較Tab.1 Location capability comparison of two LMS methods

分析表1可以得到如下兩點(diǎn)結(jié)論:1)分離算法和一次完成LMS 的計(jì)算精度相當(dāng);2)分離算法的運(yùn)算效率高于一次完成算法，且隨著同名點(diǎn)數(shù)目增加，運(yùn)算效率提高越顯著。

5 結(jié)論

針對一次完成LMS 運(yùn)算效率較低的問題，根據(jù)攝像機(jī)參數(shù)改正數(shù)和地面點(diǎn)坐標(biāo)改正數(shù)約束方程組的特點(diǎn)，給出了基于分離LMS 的改正數(shù)迭代交替計(jì)算模型。仿真分析表明，分離估計(jì)算法與一次完成LMS 的計(jì)算精度相當(dāng)，但其運(yùn)算效率高于一次完成算法，且隨著同名點(diǎn)數(shù)目增加，運(yùn)算效率提高越顯著，體現(xiàn)了改正數(shù)分離估計(jì)算法的優(yōu)越性。本文后續(xù)研究內(nèi)容將主要考慮分離估計(jì)算法對攝像機(jī)空間位置分布的魯棒性。

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