何永紅 靳鵬偉

（1.湖南科技學(xué)院 土木工程與建設(shè)管理系，湖南 永州 425199；2.中南大學(xué) 測繪與國土信息工程系，湖南 長沙 410083）

1 引 言

現(xiàn)實(shí)世界中許多災(zāi)害的發(fā)生與變形有著極為密切的聯(lián)系，例如地震、滑坡以及橋梁的垮塌等，都是典型的變形破壞現(xiàn)象。隨著各種大型建筑的大量涌現(xiàn)以及滑坡等地質(zhì)災(zāi)害的頻繁發(fā)生，變形監(jiān)測研究的重要性更加突出，推動著變形監(jiān)測理論和技術(shù)方法的迅速發(fā)展。全球定位系統(tǒng)GPS 具有全天候、無需通視、自動化程度高且能夠測量建筑物的絕對位移量等優(yōu)點(diǎn)，特別是近年來，GPS 衛(wèi)星和接收機(jī)性能的大幅度提升[1]、高效的GPS 單歷元定位算法的提出，促使基于GPS 的工程建筑物健康監(jiān)測成為GPS 和土木結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域中的一個研究熱點(diǎn)[2,3]。GPS 測量由于受對流層、電離層折射、衛(wèi)星與接收機(jī)鐘差、多路徑效應(yīng)等受各種因素的影響，原始數(shù)據(jù)往往含有較大的系統(tǒng)偏差或者被噪聲嚴(yán)重污染，使GPS 信號受到嚴(yán)重的干擾[4]，進(jìn)而使測量結(jié)果難以達(dá)到預(yù)估及規(guī)定的精度要求。如何從觀測數(shù)據(jù)中去掉噪聲，保留真實(shí)信號，是變形監(jiān)測與變形分析需要解決的問題。

小波分析技術(shù)既能反映信號的時間域變化特征，又能反映信號的頻率域變換特征，用它可分析處理各種類型的信號，并已取得了顯著的效果[5,6]。在信號處理中，小波基是否具有對稱性、正交性、短支撐性、高階消失矩對處理的結(jié)果往往至關(guān)重要，但傳統(tǒng)的實(shí)系數(shù)單小波并不存在上述性質(zhì)，這限制了小波的應(yīng)用。而多小波卻具有這些性質(zhì)，它既保持了單小波所具有的良好的時域與頻域的局部化特性，又克服了單小波的缺陷，將實(shí)際應(yīng)用中十分重要的光滑性、緊支性、對稱性、正交性完美的結(jié)合在一起[7]。將多小波分析理論作為數(shù)學(xué)工具對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分解和重構(gòu)，可以取得更好的、更符合實(shí)際的變形曲線圖。

文章通過GPS 歷元定位算法確定接收機(jī)的坐標(biāo)時間序列，獲得GPS 監(jiān)測變形的信息，并應(yīng)用基于不同預(yù)處理方法的多小波分析技術(shù)從GPS 單歷元定位結(jié)果中提取了變形信號，建立基于多小波變形分析模型，并與傳統(tǒng)的單小波去噪效果進(jìn)行比較，為變形監(jiān)測信號處理開辟一條新的途徑。

2 多小波理論

2.1 多小波函數(shù)

多小波(Multi-wavelet)理論是近幾年來在小波理論基礎(chǔ)之上發(fā)展起來的一種新的小波構(gòu)造理論。它是指由2 個或2 個以上函數(shù)作為尺度分量生成的小波。與傳統(tǒng)意義下的單小波相比，多小波兼有對稱性、正交性、緊支性、消失矩等特性，因此被廣泛應(yīng)用于各類信號的濾波。多小波基是由單個小波母函數(shù)經(jīng)過伸縮平移生成的，相應(yīng)地有多個尺度函數(shù)；而單小波僅有一個尺度函數(shù)。

同時，多小波函數(shù)滿足

這里，Hk和 Gk都是r ×r 的矩陣，稱為雙尺度方程的矩陣系數(shù)。也稱為矩陣濾波器系數(shù)[8]。

2.2 多小波預(yù)處理方法的選擇

現(xiàn)在應(yīng)用最廣泛的是GHM 多小波、CL 多小波和cardbal 系列平衡多小波，這些多小波為二重正交、對稱的多小波。多小波與單小波的重要區(qū)別是對含噪信號進(jìn)行預(yù)處理，由于多小波變換的預(yù)濾波器是矩陣形式的，這就要求輸入信號也必須是矢量形式，而實(shí)際采集到的信號一般都不是矢量形式，所以必須進(jìn)行預(yù)處理才能進(jìn)行多小波變換，采用多小波對信號進(jìn)行消噪時，對原始信號的預(yù)處理方法有多種，預(yù)處理方案不是隨意選取的，它與多小波的性質(zhì)、多小波基有關(guān)。預(yù)處理方案的選取直接關(guān)系到信號處理的效果，不合適的預(yù)處理方案將導(dǎo)致非常糟糕的結(jié)果，無法達(dá)到預(yù)期目的。

根據(jù)仿真結(jié)果，對于GHM 多小波采用GHM.init 預(yù)處理方法，對于CL 多小波采用harr 法，cardbal 系列多小波采用平衡多小波法對多小波預(yù)濾波器響應(yīng)改善較好[9,10]。

2.3 多小波去噪效果評價指標(biāo)[11]

(1) 均方根誤差（RMSE）

原始信號與去噪后的估計(jì)信號之間的方差的平方根稱為均方誤差：，其中 f ( n) 是原始信號，為小波濾波后的估計(jì)信號。均方根誤差越小，濾波效果越好。

(2) 信噪比（SNR）

信噪比是測量信號中噪聲量度的傳統(tǒng)方法，常被用來作為評價去噪效果的指標(biāo)，信噪比越高則濾波效果越好。信噪比單位是分貝，其定義為：

(3) 恢復(fù)信號的光滑性

一般而言，恢復(fù)信號光滑性好，則濾波方法好。

綜合考慮，小波濾波去噪性能評價的準(zhǔn)則是：對于同一組數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，若某種濾波方法獲得的濾波效果均方根誤差較小、信噪比相對較高、信噪比增益較大、恢復(fù)信號光滑性好，則說明該濾波方法的性能相對較好。

2.4 多小波信號去噪原理

多小波與傳統(tǒng)小波的去噪原理是相同的，即在多小波分解系數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)噪聲的先驗(yàn)知識，設(shè)置軟閾值處理多小波系數(shù)，將與噪聲相應(yīng)的多小波變換系數(shù)置零，然后利用多小波的重構(gòu)算法重構(gòu)信號。與傳統(tǒng)小波去噪相比，多小波可以同時具有對稱性、正交性、短支撐性、高階消失矩。所以基于多小波變換的去噪不僅完整保留傳統(tǒng)小波去噪的優(yōu)點(diǎn)，而且有更為靈活更為實(shí)用的特點(diǎn)[12]。

圖1. 多小波分解與重構(gòu)原理圖

3 不同多小波在GPS 動態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

3.1 試驗(yàn)

為了驗(yàn)證多小波去噪的有效性，實(shí)驗(yàn)采用某GPS 點(diǎn)的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)采用北京遙測技術(shù)研究所研制的GNSS單頻接收機(jī)，采樣間隔為1s（采樣頻率為1HZ），數(shù)據(jù)在2003 年12 月1 日5：34 開始采集，共觀測了500 個歷元，共視8顆衛(wèi)星（PRN31 04 08 20 28 07 27 11），最高的PRN31 作為參考衛(wèi)星，對其數(shù)據(jù)采用軟件進(jìn)行基線結(jié)算，求得待定點(diǎn)在WGS-84坐標(biāo)系中不同歷元時的坐標(biāo)系列。坐標(biāo)采用X，Y 和Z 表示，分析中，坐標(biāo)均值從坐標(biāo)序列中扣除。結(jié)算后的待定點(diǎn)在不同歷元時其三維坐標(biāo)如下圖所示：

圖2. GPS 點(diǎn)三維坐標(biāo)序列變化曲線

從圖2 中看出，GPS 位移觀測的序列數(shù)據(jù)含有很多毛刺，受到噪聲干擾（如多路徑效應(yīng)、隨機(jī)噪聲），監(jiān)測點(diǎn)的變化趨勢湮沒在噪聲中。為了從其復(fù)雜的變化中提取變形趨勢，需采用多小波對其進(jìn)行處理、分析。由前面的預(yù)處理方法中可知，GHM 多小波采用基于低頻近似的方法、CL 多小波采用Haar 方法以及采用平衡多小波的方法可以取得較好的去噪效果?，F(xiàn)采用不同的多小波對信號進(jìn)行處理，并與傳統(tǒng)的單小波進(jìn)行比較。

3.2 不同多小波去噪結(jié)果驗(yàn)證對比

本節(jié)GHM 多小波采用GHM.init 方法、CL 多小波采用Haar 方法以及采用平衡多小波的方法對GPS 點(diǎn)變形信號進(jìn)行處理，并與傳統(tǒng)的單小波去噪效果進(jìn)行比較。圖3 即為GHM 多小波采用GHM.init 方法消噪后的信號。

圖3. GHM.init 法濾波后坐標(biāo)序列

由圖3 中看出，采用GHM 多小波消噪后的信號反應(yīng)了該點(diǎn)的位移趨勢，去除了噪聲，濾波后GPS 測量微小動態(tài)變形為2mm，達(dá)到了消噪的目的。

現(xiàn)用DGHM 多小波與DB4 小波作比較，采用DB4 小波的原因是其具有四個稀疏的濾波器、正交性和二階消失矩，這與DGHM 多小波非常相似。在圖4 中，實(shí)線為DGHM 多小波去噪曲線，虛線為DB4 小波去噪曲線，由圖中看出，DGHM多小波濾波后的信號在光滑性和尖峰及突變部分較單小波要好，其消噪誤差較之單小波小。DGHM 多小波更適合于對突變和暫態(tài)隨機(jī)信號的消噪，消噪精確度比DB4 小波要小得多，得到了原信號的變化趨勢。

圖4. GHM 多小波、db4 小波去噪對比

圖5 為CL 多小波與db4 小波消噪后的信號對比圖，由圖5 可知，CL 多小波表現(xiàn)出較好的去噪性質(zhì)，去除了信號中的噪聲，獲取的變形趨勢與的db4 小波相差不大。

圖5. 采用CL 多小波與db4 小波消噪對比

圖6為用cardbal3 平衡小波，在GPS 監(jiān)測數(shù)據(jù)中消噪。采用平衡多小波消噪后的信號反應(yīng)了該點(diǎn)的位移趨勢，去除了噪聲，達(dá)到了消噪的目的，并且避免了預(yù)處理，節(jié)省了運(yùn)算時間。但平衡多小波尤其是高階平衡的多小波難以構(gòu)造，關(guān)于如何構(gòu)造更高階的平衡多小波以及對高階的非平衡多小波進(jìn)行平衡的問題，還需要進(jìn)一步研究。

圖6. 平衡小波消噪與DB4 小波消噪對比

表1 為GHM 多小波、CL 多小波、Cardbal3 多小波與DB4 小波去噪在信噪比和均方根誤差方面的比較， GHM 多小波，Cardbal3 多小波采用合適的預(yù)處理方法進(jìn)行去噪可以達(dá)到比單小波還要好的去噪效果，提高了信噪比，降低了均方根誤差。CL 多小波去噪效果相對于其他方法較差。

表1. 不同多小波消噪效果比較

4 結(jié) 論

多小波是矢量小波，同時具有正交性、光滑性、緊支性、對稱性和消失矩等特性，在信號去噪中得到廣泛的應(yīng)用。本文給出基于多小波變換的GPS 信號噪聲去除方法，利用預(yù)濾波方法對信號進(jìn)行預(yù)處理，多小波對GPS 變形信號進(jìn)行分析，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)噪聲的去除，對分析建筑物的變形起到了很好的幫助作用。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， GHM 多小波，Cardbal3 多小波采用合適的預(yù)處理方法進(jìn)行去噪可以達(dá)到比單小波還要好的去噪效果，CL 多小波去噪效果相對于其他方法較差，是最為適合圖像壓縮編碼的多小波[12]。缺點(diǎn)是利用編程工具實(shí)現(xiàn)的多小波去噪程序處理速度比單小波慢，對實(shí)驗(yàn)用計(jì)算機(jī)的性能要求較高。因此，在實(shí)際工作應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際信號的特點(diǎn)和工作要求，選用合理的去噪方法，以滿足實(shí)際的需要。

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