王 文，錢 江

(同濟(jì)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海 200092)

隨著城市建筑高度的不斷增加，電梯已成為不可或缺的垂直交通運(yùn)輸工具，對電梯運(yùn)行速度要求越來越快。高層建筑在風(fēng)荷載與地震作用等水平荷載作用下，會(huì)產(chǎn)生或大或小的搖晃，從而引起電梯懸掛系統(tǒng)振動(dòng)，嚴(yán)重影響電梯乘坐的舒適與安全。電梯懸掛系統(tǒng)振動(dòng)包括沿軸線方向的縱向振動(dòng)與垂直軸線方向的橫向振動(dòng)。研究表明高速運(yùn)行電梯受到外界橫向激勵(lì)時(shí)，繩索的橫向振動(dòng)遠(yuǎn)大于縱向振動(dòng)，是影響乘坐舒適性和運(yùn)行安全性的主要因素［1］。國內(nèi)外對電梯懸掛系統(tǒng)的橫向振動(dòng)已有大量研究。Terumichi等［2］研究在恒定速度下變長度提升系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)現(xiàn)象;Zhu等［3-8］研究運(yùn)行電梯懸掛系統(tǒng)的橫向自由振動(dòng)及振動(dòng)主動(dòng)控制、試驗(yàn)?zāi)M、外部激勵(lì)下受迫響應(yīng);杜小強(qiáng)等［9］引入非線性時(shí)變元模型，對曳引繩—轎廂系統(tǒng)非線性水平振動(dòng)進(jìn)行研究;Kimura等［10］應(yīng)用波動(dòng)法，得到不變張力、恒定速度運(yùn)行電梯繩索受迫振動(dòng)的理論解。

本文主要研究高速運(yùn)行電梯懸掛系統(tǒng)在建筑物搖晃引起的外部位移激勵(lì)作用下橫向振動(dòng)響應(yīng)。將高層建筑簡化為懸臂梁，設(shè)建筑物按基本振型振動(dòng)。應(yīng)用Hamilton原理，建立電梯懸掛系統(tǒng)在受兩點(diǎn)位移激勵(lì)時(shí)的橫向振動(dòng)偏微分方程，應(yīng)用Galerkin方法將其離散化為常微分方程組進(jìn)行求解，得到電梯懸掛系統(tǒng)在不同激勵(lì)頻率下的位移響應(yīng)，并研究轎廂彈簧剛度、集中阻尼及繩索分布阻尼變化對振動(dòng)的影響。

1 懸掛系統(tǒng)的橫向振動(dòng)模型

豎向運(yùn)行電梯懸掛系統(tǒng)可簡化為下端附有一定質(zhì)量的變長度縱向運(yùn)動(dòng)張緊繩，如圖1所示。電梯轎廂用附加在繩索下端質(zhì)量為me的剛體表示，假定其通過剛度為ke的彈簧、阻尼系數(shù)為ce的粘滯阻尼器與導(dǎo)軌相連，在高度為L的高層建筑中豎向運(yùn)行。設(shè)繩索單位長度質(zhì)量為ρ，彈性模量為E，繩索時(shí)變長度為l(t)。在電梯系統(tǒng)豎向運(yùn)行過程中，曳引繩上x(t)處的橫向振動(dòng)位移為y(x，t)。

假設(shè)建筑結(jié)構(gòu)按基本振型Φ(z)振動(dòng)，頂點(diǎn)處振動(dòng)用f(t)表示。則懸臂結(jié)構(gòu)基本振型為:

圖1 電梯懸掛系統(tǒng)模型Fig.1 Model of elevator hoisting system

令懸臂結(jié)構(gòu)振動(dòng)引起電梯懸掛系統(tǒng)上、下端位移激勵(lì)分別為e1(t)，e2(t)［l(t)，t］，有:

繩索系統(tǒng)動(dòng)能為:

式中:微分算子:

繩索系統(tǒng)勢能為:

式中:P(x，t)為繩索縱向張力:

阻尼力虛功為:

據(jù)Hamilton原理:

將式(3)、式(5)、式(7)代入式(8)，應(yīng)用變分原理與分部積分方法簡化可得繩索橫向振動(dòng)控制方程為:

其邊界條件為:

式(9)可轉(zhuǎn)化為具有齊次邊界條件方程。橫向振動(dòng)位移y(x，t)可表示為:

式中:u(x，t)為滿足相應(yīng)齊次邊界條件部分，h(x，t)為不滿足齊次邊界條件部分。

將式(12)分別代入式(9)～式(11)得:

設(shè)h(x，t)可表示為一階多項(xiàng)式，即:

式中:a0(t)=e1(t)，a1(t)=e2［l(t)，t］-e1(t)。

將式(16)代入式(13)、式(15)，得新的外部激勵(lì)下偏微分方程組，解出u(x，t)后據(jù)式(12)可得繩索系統(tǒng)橫向振動(dòng)位移。

2 偏微分方程離散化求解

引入變量ξ=x/l(t)，將對x時(shí)變積分區(qū)域［0，l(t)］轉(zhuǎn)化成關(guān)于ξ的定積分區(qū)間(0，1)。設(shè)(ξ，t)=u(x，t)，則u(x，t)對x，t的偏導(dǎo)數(shù)及(ξ，t)對ξ，t的偏導(dǎo)數(shù)存在關(guān)系為:

同理，令(ξ，t)=h(x，t)，則h(x，t)對x，t的偏導(dǎo)數(shù)及(ξ，t)對ξ，t的偏導(dǎo)數(shù)存在同樣關(guān)系。

設(shè):

式中:qj(t)為廣義坐標(biāo)，ψj(ξ)為假設(shè)振型函數(shù)，n為振型數(shù)。

據(jù)文獻(xiàn)［8］，ψj(ξ)可表示為:

將式(18)、(19)代入式(13)、式(15)，再乘以ψi(ξ)(i=1，2，3，…，n)，并在ξ=［0，1］內(nèi)積分，將偏微分方程離散化成常微分方程:

式中:M(t)，C(t)，K(t)，F(xiàn)(t)分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、廣義力矩陣。各矩陣元素Mij，Cij，Kij，F(xiàn)i的表達(dá)式分別為:

對式(20)進(jìn)行逐步積分，可得不同時(shí)刻廣義坐標(biāo)q值，代入式(18)、式(12)可得橫向振動(dòng)位移y(x，t)。

3 算例與討論

本文用文獻(xiàn)［8］中典型高速電梯參數(shù)進(jìn)行計(jì)算:ρ=1.005 kg/m，me=756 kg，ke=2 083 N/m，轎廂固有頻率ωe=1.66。設(shè)電梯系統(tǒng)初始條件為靜止?fàn)顟B(tài)，即y(x，0)=0，yt(x，0)=0。電梯上升過程中位移、速度、加速度及加加速度曲線如圖2所示。設(shè)建筑物頂部位移激勵(lì)為f(t)=Z1sin(ω1t)，其中Z1=0.1 m。數(shù)值計(jì)算所取振型數(shù)均為n=20。

圖2 電梯上行運(yùn)行曲線Fig.2 Upward movement profile of the elevator

圖3為不同頻率激勵(lì)下轎廂上方10 m處曳引繩無阻尼橫向振動(dòng)位移響應(yīng)，在遠(yuǎn)小于繩索基本頻率低頻激勵(lì)下，橫向振動(dòng)最大振幅很小，繩索振動(dòng)頻率與激勵(lì)頻率近似相等。當(dāng)激勵(lì)頻率等于轎廂自振頻率時(shí)，恰好在繩索基本頻率變化范圍內(nèi)，三者產(chǎn)生共振，繩索最大振幅突然增大，振動(dòng)頻率近似等于激勵(lì)頻率。隨激勵(lì)頻率的增大，離開共振區(qū)繩索最大振幅迅速減小后逐漸增大。圖中也可看到，隨高速電梯的不斷上升，繩索振動(dòng)幅度及振動(dòng)頻率逐漸加大，此為造成乘員在該階段的不適及聽到嗡鳴聲原因。

圖4為激勵(lì)頻率ω1=1.66時(shí)轎廂上方10 m處曳引繩無阻尼橫向振動(dòng)位移隨轎廂剛度變化情況。當(dāng)ke增大時(shí)，繩索振動(dòng)離開共振區(qū)，位移響應(yīng)迅速減少;隨ke的不斷增大，位移響應(yīng)緩慢增加。

由圖3、圖4可知，無阻尼情況下繩索振動(dòng)幅度遠(yuǎn)大于激勵(lì)位移幅度，而實(shí)際工程中是不允許出現(xiàn)的。圖5、圖6為分別考慮集中阻尼、分布阻尼變化對繩索振動(dòng)位移影響。圖5(a)、圖6(a)為繩索系統(tǒng)處于共振情況，從圖中看到隨集中阻尼、分布阻尼的增大，繩索位移響應(yīng)逐漸減少;圖5(b)、圖6(b)為繩索系統(tǒng)處于非共振情況，集中阻尼變化對繩索響應(yīng)位移基本未產(chǎn)生作用，但分布阻尼微小增加能迅速有效減少繩索的響應(yīng)位移。

圖3 不同激勵(lì)頻率(rad/s)的繩索橫向振動(dòng)Fig.3 Transverse vibration of rope with different frequencies excitations(Unit:rad/s)

圖4 不同彈簧剛度(N/m)的繩索橫向振動(dòng)Fig.4 Transverse vibration of rope with different spring stiffness(Unit:N/m)

圖5 集中阻尼(N·s/m)對繩索橫向振動(dòng)影響Fig.5 Effect of lumped damping(Unit:N·s/m)on Transverse vibration of rope

圖6 分布阻尼(N·s/m2)對繩索橫向振動(dòng)影響Fig.6 Effect of distributed damping(Unit:N·s/m2)on Transverse vibration of rope

4 結(jié)論

通過對建筑物搖晃致高速運(yùn)行電梯懸掛系統(tǒng)產(chǎn)生橫向振動(dòng)響應(yīng)分析及算例計(jì)算，結(jié)論如下:

(1)電梯上行過程中，曳引繩的橫向振動(dòng)幅度與振動(dòng)頻率增大;尤其當(dāng)激勵(lì)頻率、繩索自振頻率與轎廂固有頻率接近時(shí)，會(huì)產(chǎn)生共振，導(dǎo)致轎廂劇烈振動(dòng)，造成乘坐不舒適感甚至轎廂脫軌。改變轎廂彈簧剛度可改變其固有頻率，避免共振發(fā)生，能有效減少繩索振動(dòng)幅度。

(2)發(fā)生共振時(shí)，增大分布阻尼與集中阻尼均能可不同程度減少繩索振動(dòng);在非共振區(qū)，增大集中阻尼不能改變繩索振動(dòng)幅度，但分布阻尼的少許增大能迅速有效減小繩索振動(dòng)幅度。

(3)本文對高速運(yùn)行電梯懸掛系統(tǒng)在確定性兩點(diǎn)位移激勵(lì)下橫向振動(dòng)響應(yīng)分析，為研究電梯懸掛系統(tǒng)在隨機(jī)位移激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)與振動(dòng)控制提供參考。

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