張玉梅 韓增堯 劉紹奎

（北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）

1 引言

在全壽命期間，航天器要經歷不同類型的動力學環(huán)境，其中包括：噪聲、隨機振動、沖擊、低頻瞬態(tài)振動等［1］。將上述動力學環(huán)境載荷等效為準靜態(tài)的設計載荷，是目前航天器結構強度設計采取的主要方法。對于航天器主結構來說，主要考慮恒加速度環(huán)境以及低頻（150Hz以下）振動。制定低頻振動設計載荷的主要方法有：質量加速度曲線（MAC）、廣義模態(tài)沖擊譜、瞬態(tài)分析以及耦合載荷分析［2］。次級結構的強度設計則需要綜合考慮和權衡正弦振動環(huán)境、噪聲環(huán)境和隨機振動環(huán)境。對于同時發(fā)生的動力學環(huán)境，則需要耦合其設計載荷。耦合方法有直接相加、概率聯合分布和蒙特卡羅等方法。

結構在隨機振動下的失效形式分為首次穿越失效和疲勞失效兩種［3］。將隨機振動載荷等效為準靜態(tài)載荷是基于首次穿越失效模式，不考慮疲勞破壞。在航天領域，從20世紀60年代起就有學者研究如何將隨機振動載荷等效為準靜態(tài)載荷［4］；在地震領域中，該問題也受到很多學者關注。但是，將隨機振動載荷等效為準靜態(tài)載荷的等效原則一直是比較模糊的概念。迄今為止，還沒有一個能夠被廣泛接受的標準規(guī)范用于設計和驗證振動環(huán)境的等效過程。歸納現有的等效方法，可將其等效原則分為三種：加速度峰值響應等效、位移峰值響應等效以及應力峰值響應等效。本文重點比較了加速度峰值響應等效和位移峰值響應等效的設計載荷。

2 兩種等效原則簡介

（1）基于加速度峰值響應等效的設計載荷

加速度峰值響應等效即設計載荷所產生的加速度響應與隨機振動中的加速度響應峰值是相等的。外載荷激勵條件下，加速度峰值響應等效的設計載荷計算公式為

式中 Fa為加速度峰值響應等效的設計載荷；M為質量矩陣；F（t）為隨機載荷；K為剛度矩陣；C為阻尼矩陣；x為位移向量為速度向量為加速度向量。

由公式（1）可以看出，計算設計載荷的關鍵步驟是計算加速度峰值響應。常用的加速度峰值的估算方法有Miles公式法、試驗規(guī)范法、全頻段功率譜密度法、模態(tài)質量參與法、半功率點法、加權的半功率點法和有限頻段法。上述幾種方法都是假設加速度響應呈零均值高斯分布，然后根據3σ準則得到其加速度峰值。目前，我國航天領域常用的是全頻段的功率譜法，其公式為［5］

式中 S為加速度響應譜密度。一般來講，有限元分析法適用于低頻段，高頻段采用統(tǒng)計能量法。但是在實際工程計算中，有限單元法應用較為普遍。

2001年，Chung Y T 提出了有限頻段法，公式為［6］

式中 f0為積分頻率上限。

有限頻段法是根據波音公司和NASA 的試驗結果，發(fā)現結構高頻部分的應變收斂很快，而加速度收斂很慢，因此，應該以應變的收斂區(qū)間確定加速度積分的范圍。根據波音公司的測量結果，結構響應的應變通常在300～400Hz收斂［7］，建議計算隨機振動響應峰值的積分區(qū)間應取為20～300Hz。文獻［8］總結了國內噪聲試驗的結果，發(fā)現次級結構在600Hz附近應變收斂。由此看出，不同的結構形式在不同種類的隨機激勵下，其積分上限存在一定的差異，目前仍沒有一個統(tǒng)一的認識。

有限頻段法的重要意義在于對加速度峰值響應等效原則提出了質疑，即對結構進行強度設計時關注的參數應該是應變而非加速度。文獻［9］回顧了美國航天40年發(fā)展，并提出載荷設計關心的參數不應該是加速度而應該是應變或者力。

（2）基于位移峰值響應等效的設計載荷

隨機振動的設計載荷問題在土木工程行業(yè)也很受重視。文獻［10］提出以位移峰值響應等效來制定等效靜態(tài)載荷，并給出了等效靜態(tài)載荷的具體定義：當結構承受動態(tài)載荷時，在某一時刻，結構都發(fā)生變形從而形成一個位移場。如果一個靜態(tài)載荷，能夠產生相同的位移場，則稱該靜態(tài)載荷為這一動態(tài)載荷在某一時刻的等效靜態(tài)載荷。

外載荷激勵下，設計載荷計算公式為

式中 Fx為基于位移響應等效的設計載荷，其余參數與式（1）相同。由于剛度矩陣是系統(tǒng)固有參數，因此該方法中最重要的是計算位移峰值。傳統(tǒng)的隨機振動響應分析方法均可用于獲得結構的位移響應，航天工程中最為常用的手段是利用一些商業(yè)軟件，如NASTRAN 等，進行隨機振動有限元分析。通過數值分析可以得到位移均方根值，假設位移響應亦呈零均值高斯分布，那么根據3σ準則可以得到其峰值位移：

式中 S1為位移響應譜密度。

3 基于解析法的設計載荷對比

3.1 基于單自由度振動模型的設計載荷比較

圖1 基礎激勵下的單自由度振動模型Fig.1 Single－degree－of－freedom vibration model with moving base

基礎激勵下的單自由度振動模型如圖1所示。

假設激勵為白噪聲，則根據線性隨機振動理論，可以得到相對位移的方差響應為［11］

式中 ωn＝2πfn，fn為固有頻率；2S¨U為白噪聲常數；ξ為系統(tǒng)阻尼比；z（t）＝ x（t）－u（t），z（t）為相對位移，x（t）為絕對位移，u（t）為基礎位移

亦可以得到絕對加速度的均方響應為

由位移峰值等效得到的設計載荷為

式中 k為系統(tǒng)剛度。

由加速度峰值響應等效得到的設計載荷為

式中 m為系統(tǒng)質量。

兩種設計載荷相比可得

通常ξ數值比較小，由此看出加速度峰值響應等效的設計載荷與位移峰值響應等效的設計載荷基本相等。

3.2 基于二自由度振動模型的設計載荷比較

圖2是二自由度振動模型示意，其系統(tǒng)的運動微分方程為［12］

圖2 二自由度振動模型Fig.2 Two－degree－of－freedom vibration model

假設：

絕對加速度的均方響應為

式中 i＝1，2；S0為白噪聲常數。

相對位移響應的表達式為

式中 i＝1，2；質量m2相對位移響應Δ2表達式為

兩種設計載荷比為

式中 a1為質量m1的絕對加速度；a2為質量m2的絕對加速度；z2為質量m2相對于基礎的位移。

為比較兩種設計載荷的大小，假設阻尼比均為0.03，質量（m1）－彈簧（k1）系統(tǒng)的頻率為50Hz，質量（m2）－彈簧（k2）系統(tǒng)的頻率為100Hz，則設計載荷比與質量比的關系如圖3所示。假設阻尼比均為0.03，質量m2＝0.01m1，則載荷比值與頻率比f′的關系如圖4所示。

由分析可知，設計載荷比隨著頻率比以及質量比的增大呈單調遞減，并最終趨近于1。因此可見，在假設阻尼比均為0.03的情況下，二自由度振動模型中，基于加速度的設計載荷要不小于基于位移的設計載荷。

圖3 載荷比與質量比的關系Fig.3 Relationship between the ratio of two loads and the ratio of two masses

圖4 載荷比與頻率比的關系Fig.4 Relationship between the ratio of two loads and the ratio of two frequencies

3.3 工程算例仿真分析

為了進一步比較兩種設計載荷的關系，以某航天器產品單元為例進行有限元仿真分析。模型如圖5所示，為長方盒結構，中空，內有兩層隔板，隔板上的安裝器件用質量點代替。主體結構為殼單元，底座為實體單元，材料為鋁合金。約束方式為4個安裝底座全約束，載荷為基礎激勵。

分析步驟如下：

1）通過隨機振動分析，得出隔板上一質量點（節(jié)點9048）的加速度響應與位移響應；

2）分別計算出加速度峰值響應與相對位移峰值響應；

3）將加速峰值響應算出設計載荷作為靜載荷施加在質量點上，進行靜力分析，計算出9048節(jié)點位移；

4）與隨機振動分析的相對位移峰值進行比較。

載荷條件［13］如表1所示，有限元模型如圖5，加速度響應如圖6，位移響應如圖7所示。

圖5 某航天產品有限元分析模型Fig.5 FEM model of a spacecraft apparatus

表1 隨機振動載荷條件Tab.1 Random vibration test level

圖6 加速度響應功率譜密度Fig.6 Acceleration response PSD

圖7 位移響應功率譜密度Fig.7 Displacement response PSD

Z 向加速度3σ峰值響應為76.02gn，9 048質量點為電子元器件，質量為0.007kg，因此設計載荷為5.215N。將設計載荷施加在質量點上，進行靜力計算，該點的位移為7.66×10－5m。而隨機振動時該點的絕對位移均方響應為3.8×10－5m，底座的位移響應為1.963×10－5m，因此相對位移峰值響應為5.511×10－5m。根據加速度3σ響應等效得到的設計載荷產生的位移比隨機振動的峰值相對位移大了約40%。

4 結束語

綜合分析可以得出，若試驗件為單自由度，在基礎激勵下，兩種等效原則的設計載荷近似相等；若試驗件為二自由度模型，加速度峰值等效得到的設計載荷要大于位移峰值等效得到的設計載荷。等效原則的選用取決于破壞機理。在交變載荷下，材料仍然服從彈性力學原理。因此，本文推薦使用基于位移響應等效的設計載荷，該方法將有效減少航天器結構質量。

進一步研究工作包括：

1）開展試驗驗證。等效原則的改變意味著設計準則的變換，本文只進行了分析計算與仿真，還需要進行充分的試驗驗證。

2）應力響應等效與加速度響應等效的比較研究。

3）應力峰值的計算方法研究。

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