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        二階脈沖微分方程周期正解的存在性

        2013-02-05 07:59:06張曉穎
        關(guān)鍵詞:邊值問題格林二階

        張曉穎

        (長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院,長(zhǎng)春 130022)

        格林函數(shù),則x(t)是脈沖微分方程(1)的解。

        0 引言

        本文論述下面具有脈沖的周期邊值問題的正解的存在性

        假設(shè)J=[0,T],0 < t1< t2< … < tp< T是給定的,Ik∈C(J,R),其中表示x'(t)在t=tk的右極限 (左極限)。

        假設(shè)f關(guān)于變量t是T-周期函數(shù)并且在上[0,T]×R滿足Cara the odory條件,也就是說(i)對(duì)每個(gè)x∈R,函數(shù)f(x)在[0,T]上是可測(cè)的;(ii)對(duì)幾乎所有的K?R,存在hk∈L1[0,T]使得對(duì)所有x∈K和幾乎處處的 t∈[0,T],都有 |f(t,x)| ≤hk(t)成立。

        文獻(xiàn)[1]對(duì)這種一階脈沖微分方程的的周期性邊值問題進(jìn)行了研究。在本文中,我們將致力于研究二階脈沖微分方程的解的存在性問題。結(jié)合文獻(xiàn)[1,2]的理論,我們將[2]的結(jié)果進(jìn)行了推廣。

        1 主要結(jié)果

        引理1:如果 a≤0,對(duì)幾乎所有的 t∈[0,T],都有當(dāng)(t,s)∈[0,T]×[0,T]時(shí) G(t,s)< 0成立。

        若a≥0,對(duì)于每一個(gè)t∈[0,T],將用到下面最佳索伯列夫常數(shù)

        引理2:假設(shè)a≥0對(duì)幾乎所有的t∈[0,T]以及1≤p≤∞,都有a∈Lp(0,T)成立。如果‖a‖p?K(2p)* ,則 G(t,s)?0 對(duì)所有的(t,s)∈[0,T]×[0,T]成立。

        讓我們定義函數(shù)集合Λ-={a∈L1(0,T):a≤0},對(duì)幾乎所有的t∈[0,T]成立。

        Λ+={a∈L1(0,T):a≥0,對(duì)某些1≤p≤∞,有‖a‖p< K(2p)*},對(duì)幾乎所有的t∈[0,T]。綜上,容易看到,如果 M=max0≤s,t≤TG(t,s)且 m=min0≤s,t≤TG(t,s),則當(dāng) a ∈ Λ+時(shí),M > m > 0。當(dāng) a ∈ Λ-時(shí),m<M<0。

        為了定義(1)的解,我們將考慮下面的空間 J'=J{t1,t2…,tn},X=PC'(J,R)=

        定義1:如果一個(gè)函數(shù)x∈PC'(J,R)∩C2(J',R)是(1)的解,則它滿足微分方程x″+a(t)x=f(t,x),并且在 J{tk},k=1,2,…,p 上,對(duì)每個(gè) k=1,2,…,p,函數(shù) x(t)滿足條件

        格林函數(shù),則x(t)是脈沖微分方程(1)的解。

        引理4:令X是巴拿赫空間,K是X中的錐.假設(shè)Ω1,Ω2是X中滿足0∈Ω1?Ω2的兩個(gè)開集。令Φ:K∩)→K是一個(gè)絕對(duì)連續(xù)的映射,滿足(i)對(duì)所有的x∈K∩?Ω1,有‖Φx‖≤‖x‖,(ii)存在Ψ∈K{0}使得當(dāng)x∈K∩?Ω2且λ >0時(shí),x≠Φx+λΨ.則Φ在K∩()上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

        2 結(jié)語

        現(xiàn)在,我們將考慮以下的周期邊值問題

        其中f∈Car([0,T]× R,R)滿足對(duì)所有的x∈R+和t∈[0,T],有a(t)f(t,x)≥0 且 a(t)Ik(x)≥0,R+= [0,∞)。

        從第1節(jié)的研究,我們知道,如果a∈Λ+,則M >m >0,如果a∈Λ-則 m <M <0,其中m和 M是滿足x″+a(t)x=0周期邊值條件格林函數(shù)的最小值和最大值。本節(jié)中,我們將利用引理4研究系統(tǒng)(3)正解的存在性。

        定理1:假設(shè) a∈Λ+,f(t,x)≥0且Ik(x)≥0對(duì)所有和幾乎所有的R成立。則問題(3)有至少一個(gè)正解。如果下面兩個(gè)條件中的一個(gè)成立

        可以證明K是PC[0,T]中的一個(gè)錐。

        定義一個(gè)映射K如下:

        明顯的,Φ:K→X是絕對(duì)連續(xù)?,F(xiàn)在證明Φ(K)?K。

        x(s))d s+∑pk=1IK(x(tK))]。

        f(t,x)≥ (1- ε)fra(t)x,Ik(x)≥ (1- ε)Ir(k)x,k=1,2,…,p,故有Ψ∈K。現(xiàn)證明

        若上式不成立,則存在x0∈K∩?Ωr,且λ0>0使得x0=Φx0+λ0Ψ。

        因?yàn)閤0∈K∩?Ωr,則,則對(duì)所有 0 ≤ t≤ T,有

        這表明μ>μ+λ0,矛盾。因此 (4)成立。

        因此有,‖Φx‖≤‖x‖。

        [1] X Y Zhang,X Y LI,D Q Jiang,K Wang.Multiplicity positive solutions to periodic problems for first-order impulsive differential equations[J].Computers and Mathematics with Application,2006(52):953-966.

        [2] Pedro J,Torres.Existence of non-signed periodic solutions of some second-order differential equations via a Krasnoselskii fixed point theorem[J].Journal of Differential Equations,2003(290):943-662.

        [3] Rachunkova,M Tvrdy.IVrkoc.Existence of nonnegative and nonpositive solutions for second order periodicboundary value problems[J].Differential Equations,2001(176):445-469.

        [4] X Y Zhang,Q J Wen,Y,SXiao.Multiplicity Positive solutions to superlinear Repulsive Singular Second Order Impulsive Differential Equations[C].Proceedings ICIS,2009(2):149-153.

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