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        二階變系數(shù)線性常微分方程的約化①

        2013-02-02 10:08:08竇彩玲
        關(guān)鍵詞:代數(shù)方程約化實(shí)根

        竇彩玲

        (安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽蕪湖241000)

        0 引 言

        本文考慮二階變系數(shù)線性常微分方程

        的約化和求解,其中f(x),g(x)為充分光滑函數(shù).

        在文獻(xiàn)[1,2]中,作者考慮常系數(shù)線性常微分方程

        形如y = z(x)eλp(x)的解,并將方程(2)約化為關(guān)于λ 的一元二次代數(shù)方程

        這里以及下文中A,B 為任意常數(shù),λ 為滿足(3)的待定常數(shù).代數(shù)方程(3)又稱為方程(2)的特征方程.在求解歐拉方程

        的解時(shí),利用變量代換x = et將方程轉(zhuǎn)化為形如(1)的常系數(shù)線性常微分方程,從而得到方程(4)形如y = xλ形式的解.事實(shí)上,考慮方程(4)形如y= xλ的解,也可以將方程(4)約化為關(guān)于λ 的一元二次代數(shù)方程. 在文獻(xiàn)[3]中,Ibragimovk 通過對(duì)稱群方法,指出方程

        也可以約化為關(guān)于λ 的一元二次代數(shù)方程(3),并且有形如

        的解.在文獻(xiàn)[4 ~8]中,人們利用待定常數(shù)法或者變量代換法,將一些變系數(shù)線性常微分方程約化為代數(shù)方程.

        在本文中,利用待定常數(shù)法,我們考慮具有形如

        的解的二階變系數(shù)線性常微分方程(1),并將方程(1)轉(zhuǎn)化為形如(3)的代數(shù)方程. 事實(shí)上,當(dāng)z(x)= 1,p(x)= x 時(shí),(7)就是形如y = eλx的解;當(dāng)z(x)= 1 且p(x)= ln x 時(shí),(7)就是形如y = xλ的解;當(dāng)時(shí),(7)就是形如(6)的解;當(dāng)z(x)= 1 時(shí),(7)就是文獻(xiàn)[5,6]中考慮的解;因此,解(7)具有一般形式. 在下文中考慮p(x)≠1 的情形.

        1 主要結(jié)果

        1.1 方程(1)的約化

        將y = z(x)eλp(x)代入方程(1),整理后,有

        由(8)和(9)得

        因此,有下面的定理成立.

        定理1 變系數(shù)線性常微分方程

        可約化為代數(shù)方程

        其中

        這里z(x),p(x)任意函數(shù),A,B 為任意常數(shù).

        1.2 二階變系數(shù)線性常微分方程(10)的解

        定理2 設(shè)Δ = A2- AB,則方程(10)的解具體如下:

        (1)當(dāng)Δ >0 時(shí),方程(11)有兩個(gè)不相等的實(shí)根,設(shè)為λ1,λ2,則方程(10)的通解為

        其中C1,C2為任意常數(shù);

        (2)當(dāng)Δ <0 時(shí),方程(11)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根,設(shè)為λ1,2= α ± iβ,此時(shí)方程(10)的通解為y(x)=[C1cos(βp(x))+C2sin(βp(x))]z(x)eαp(x)其中C1,C2為任意常數(shù);

        (3)當(dāng)Δ = 0 時(shí),方程(11)有兩個(gè)相等實(shí)根,設(shè)為λ1,2= λ,則方程(10)的通解為

        其中C1,C2為任意常數(shù).

        證明 在情形(1),(2)中,結(jié)論顯然.這里主要給出第三種情形的證明. 這種情形中,方程(11)有兩個(gè)相等實(shí)根,并且有已知方程(10)的一個(gè)解為y1(x)= z(x)eλp(x). 令y2(x)= u(x)z(x)eλp(x),u(x)為待定函數(shù).則有

        把上述y'(x),y″(x)代入方程中(10)中,可以得到一個(gè)關(guān)于u(x)的方程

        求解后可得到方程(10)的通解

        其中C1,C2為任意常數(shù).

        注 通過常數(shù)變易法,也可得到方程(10)對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程的通解,其中h(x)為連續(xù)函數(shù).

        2 例 題

        例1 在方程(10)中,令z(x)= 1 且p(x)=x2,A = -2,B = 1,此時(shí)方程(10)變?yōu)?/p>

        它的特征方程為λ2-2λ +1 = 0,且有二重根λ =1.此時(shí),方程(12)的通解為

        其中C1,C2為任意常數(shù).

        例2 在方程中(10),令z(x)= x2且p(x)=x,A = -2,B = 3,此時(shí)方程(10)變?yōu)?/p>

        且可被約化為代數(shù)方程

        其中C1,C2為任意常數(shù).

        3 結(jié) 論

        本文通過待定系數(shù)法將一類二階變系數(shù)線性常微分方程約化為代數(shù)方程,從而得到一類具有形如y = z(x)eλp(x)的解的變系數(shù)線性常微分方程,這類解包含了二階常系數(shù)線性常微分方程和歐拉方程的解,具有一般形式.

        [1] 王高雄,周之銘,朱思銘,等. 常微分方程(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2006 年7 月.

        [2] 丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1991 年4 月.

        [3] N.H.Ibragimov,Memoiron Integration of Ordinary Differential Equations by Quadrature[J].ArchivesALGA,2008,5:19 -30.

        [4] 章聯(lián)生,王勤龍.幾類變系數(shù)線性常微分方程的求解[J]. 北京石油化院學(xué)報(bào),2003,11(4):27 -30.

        [5] 李鴻祥.一類二階變系數(shù)線性微分方程的另二種解法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2003,6(2):18 -21.

        [6] 張學(xué)元.一類二階時(shí)變系數(shù)線性微分方程的積分解[J].湖南工程學(xué)院學(xué)報(bào),2003,13(4):88 -94.

        [7] 李鴻祥.關(guān)于幾類高階變系數(shù)線性方程的求解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1983,6(1):29 -33.

        [8] 李鴻祥.常微分方程的一些新的可積類型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),1980(1):46 -51.

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