樂京霞 周 恒

（武漢理工大學(xué)交通學(xué)院 武漢 430063）

0 引 言

80%以上的結(jié)構(gòu)嚴(yán)重破壞是由于疲勞和斷裂破壞引起的［1］．對于斷裂問題，常采用應(yīng)力強(qiáng)度因子（stress intensity factor，SIF）這一物理量來反映裂紋尖端彈性應(yīng)力場的強(qiáng)弱．傳統(tǒng)求解SIF方法很多，如應(yīng)力函數(shù)法、積分變換法、有限單元法、邊界元法和邊界配置法等．以上方法理論成熟，但需要繁瑣的推導(dǎo)和計(jì)算．文獻(xiàn)［2］給出了部分簡單裂紋模型的SIF計(jì)算公式．然而真實(shí)構(gòu)件中的裂紋形態(tài)分布各異，手冊不可能完全覆蓋．因此，利用商用有限元分析軟件對裂紋尖端應(yīng)力場進(jìn)行數(shù)值模擬進(jìn)而計(jì)算SIF的方法，由于其簡便易行，逐漸成為工程中解決疲勞斷裂問題常用方法．

ANSYS求解斷裂力學(xué)問題的步驟為：首先進(jìn)行線彈性分析或彈塑性靜力分析，然后用特殊的后處理命令、或宏命令計(jì)算所需的斷裂參數(shù)．其自帶的KCALC命令可直接由裂尖應(yīng)力／位移場插值求解出SIF．在新推出的高版本ANSYS中增加了一種基于相互積分理論的數(shù)值計(jì)算命令CINT．本文利用ANSYS有限元分析軟件，基于上述兩種不同的斷裂力學(xué)理論模型，分別求解了張開型二維裂紋及三維裂紋的SIF值，并將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論解析解和裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，得出了更為準(zhǔn)確的張開型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值計(jì)算方法．

1 基于相互積分法理論的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算

相互作用積分法假定含裂紋彈性介質(zhì)受到2個載荷的共同作用：有單獨(dú)真實(shí)載荷引起的裂紋尖端力學(xué)場，稱為真實(shí)應(yīng)力σki，σkj；uk，i為真實(shí)場中的位移；σauxkj稱 為 輔 助 場 的應(yīng)力；uauxk，i為 輔 助場中的位移；qi，j為裂紋擴(kuò)展矢量；qn為裂紋擴(kuò)展法向；δi，j為克羅次符號［3］．將 真實(shí)場 和輔助 場疊加代入J積分，再分離出由真實(shí)場和輔助場分別引起的J積分，剩余的真實(shí)場和輔助場相互作用項(xiàng)即為相互作用積分I，其表達(dá)式為

相互作用積分I和應(yīng)力強(qiáng)度因子相關(guān)聯(lián)的定義式為

式中：Kaux分別為輔助場中的應(yīng)力強(qiáng)度因子；E＊為平面應(yīng)力和平面應(yīng)變下的彈性模量；μ為剪切模量．

2 二維裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值分析

2．1 基于ANSYS的數(shù)值模擬

數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)的對象為對邊受拉應(yīng)力σ的中心裂紋板，板的高度、寬度和厚度分別為2 H，2W和B，中心裂紋的總長為2a．假設(shè)板的材料各向同性、均勻、線彈性，其彈性模量和泊松比分別是E＝2×105MPa和ν＝0．25［4］．?dāng)?shù)值模擬根據(jù)受力不同和試樣幾何尺寸不同總共進(jìn)行了6次，表1給出的是不同的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木唧w參數(shù)．利用模型的對稱性，取模型的1／4進(jìn)行分析，見圖1．在裂紋尖端第一排的單元要有奇異性，采用平面單元（PLANE183）進(jìn)行網(wǎng)格劃分，各個模型的網(wǎng)格尺寸相同，方便計(jì)算結(jié)果的對比．采用Plane strs w／thk，不考慮厚度方向的影響，簡化為平面應(yīng)力模型．模型左邊所有的節(jié)點(diǎn)X方向以及下面裂紋尖端以右的所有節(jié)點(diǎn)的Y方向進(jìn)行約束，對模型的所有的上邊緣進(jìn)行加載．

表1 數(shù)值模擬所選取的模型

圖1 中心裂紋板有限元模型

針對上述中心裂紋板模型，利用ANSYS軟件進(jìn)行有限元分析，圖2給出了裂尖區(qū)域應(yīng)力云圖．然后分別采用位移插值法和相互積分法，計(jì)算得出各個模型的應(yīng)力強(qiáng)度因子．高版本ANSYS提供的CINT命令可基于相互積分法求出SIF，本文考慮裂尖奇異性和應(yīng)力集中等影響，取第二圈和第三圈單元積分值的算術(shù)平均作為最終SIF．

圖2 裂尖區(qū)域von－Mises應(yīng)力云圖

2．2 與線彈性斷裂力學(xué)解析解的對比分析

對于無限遠(yuǎn)受拉中心裂紋板問題，其應(yīng)力強(qiáng)度因子已經(jīng)有理論解，參看下式．

表2 應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值分析結(jié)果與理論解比較／應(yīng)力強(qiáng)度因子

由表2可見，數(shù)值分析結(jié)果和理論解的誤差不超過1%，且模型載荷與裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子的線性關(guān)系［5］，驗(yàn)證了 ANSYS求解張開型裂紋SIF的可靠性．其中，基于相互積分的數(shù)值計(jì)算對網(wǎng)格精度要求低，計(jì)算更為簡便．

3 三維裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值分析

3．1 應(yīng)力強(qiáng)度因子的測量實(shí)驗(yàn)

本文根據(jù)國標(biāo)GB／T 6398—2000，通過裂紋擴(kuò)展速率測試實(shí)驗(yàn)推算出三維裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，計(jì)算公式如下［6］．

式中：ΔK是應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值；α＝2a／W．

所用試件類型為標(biāo)準(zhǔn)的單邊缺口三點(diǎn)彎曲試件．厚度方向B＝36mm，試件高度W＝75mm，試件跨距S≈4B＝300mm，預(yù)制初始疲勞裂紋長度為9mm．加載裝置為JXG－200高頻疲勞試驗(yàn)機(jī)，材料為Q370qE高強(qiáng)度鋼板母材．實(shí)驗(yàn)載荷最大值Pmax＝35kN，最小值Pmin＝3．5kN，載荷比為R＝0．1，載荷幅值為ΔP＝31．5kN．

3．2 基于ANSYS的數(shù)值模擬

對于上述實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，采用ANSYS的SOLID186體單元，沿試件厚度B方向劃分3層網(wǎng)格進(jìn)行有限元計(jì)算．試件所受載荷幅值為31．5kN，假定兩端分別約束X，Y，Z方向和X，Z方向的位移．采用彈性模量E＝2×105MPa和泊松比ν＝0．3進(jìn)行計(jì)算．分別采用位移插值法和相互積分法，計(jì)算得出各個模型的應(yīng)力強(qiáng)度因子．計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較見表3．

表3 應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值的數(shù)值分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)值比較 MPa·m1／2

表3中列出的是試件表面Z＝75mm處的計(jì)算結(jié)果．從以上的計(jì)算中可以看出，位移差值法求取的ΔK不超過3%，而相互積分法計(jì)算誤差比前者小一個數(shù)量級，更接近與實(shí)驗(yàn)測量值．另外，在采用位移插值法求解SIF時，沿著裂尖厚度方向每次只能計(jì)算出一個值，需要輸入裂紋前緣不同的位置坐標(biāo)才能計(jì)算出不同位置的SIF．但是，相互積分法只需要一次后處理，就可以輸出沿著裂紋厚度方向SIF的系列值，更加適用于三維裂紋的數(shù)值分析．

4 結(jié)束語

文中對二維及三維張開型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值分析方法研究，并將數(shù)值計(jì)算結(jié)果同線彈性斷裂力學(xué)解析解和疲勞裂紋擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)實(shí)測值進(jìn)行了對比分析，得出如下結(jié)論：對于二維裂紋，位移差值法和相互積分法和理論值的誤差均不大于1%；對于三維裂紋，采用相互積分法求取的應(yīng)力強(qiáng)度因子的誤差比位移差值法的計(jì)算結(jié)果小一個數(shù)量級．鑒于相互積分法只需要一次后處理，就可以輸出沿著裂紋厚度方向應(yīng)力強(qiáng)度因子的分布，為三維裂紋擴(kuò)展的數(shù)值模擬提供了參考．本文只對靜載荷和I型裂紋進(jìn)行了模擬，今后，還可對動態(tài)載荷和復(fù)合型裂紋擴(kuò)展進(jìn)行更進(jìn)一步的探索．

［1］崔維成，蔡新剛，冷建興．船舶結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度校核研究現(xiàn)狀及我國的進(jìn)展［J］．船舶力學(xué)，1998（4）：63－81．

［2］仇仲翼．應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊［M］．北京：科學(xué)出版社，1993．

［3］于紅軍．含復(fù)雜界面非均勻材料斷裂力學(xué)研究［D］．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010．

［4］解 德，錢 勤，李長安．?dāng)嗔蚜W(xué)中的數(shù)值計(jì)算方法及工程應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社，2009．

［5］張曉敏．?dāng)嗔蚜W(xué)［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2012．

［6］國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局．GB／T 6398—2000金屬材料疲勞裂紋擴(kuò)展速率試驗(yàn)方法［S］．北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2000．