聞學(xué)穎，孫 維，孟憲濤，劉 暢

（1.大連海洋大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧大連 116300；2.沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034；

3.沈陽市廣全中學(xué)數(shù)學(xué)教研組，沈陽 110141）

基于中心線一側(cè)打點數(shù)量異常判斷選取準(zhǔn)則

聞學(xué)穎1，孫 維1，孟憲濤2，劉 暢3

（1.大連海洋大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧大連 116300；2.沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034；

3.沈陽市廣全中學(xué)數(shù)學(xué)教研組，沈陽 110141）

介紹了控制圖的概念和3σ原理以及與控制圖共生的2類錯誤，一是以真為假的第一類錯誤，一是以假為真的第二類錯誤。指出了控制圖與假設(shè)檢驗一樣，遵循“小概率事件不容易發(fā)生”這一統(tǒng)計基本原理。論述了控制圖選用的顯著性水平一般要比假設(shè)檢驗所選取的顯著性水平小很多的原因。利用控制圖中的落在控制限內(nèi)中心線一側(cè)打點數(shù)量這一視角，研究了位于控制限內(nèi)n個樣本打點中有k個落在中心線一側(cè)相應(yīng)質(zhì)量系統(tǒng)異常判斷準(zhǔn)則的構(gòu)建問題。分析出這k個點符合二項分布，給出了位于控制限內(nèi)n個打點中至少有k個打點落在中心線一側(cè)的概率計算公式。最后得到當(dāng)n≤19各種樣本情況的質(zhì)量系統(tǒng)異常判斷準(zhǔn)則。

質(zhì)量管理；控制圖；異常判斷

0 引 言

質(zhì)量的時代需要科學(xué)的質(zhì)量學(xué)說，20世紀(jì)20年代美國工程師休哈特應(yīng)用統(tǒng)計科學(xué)方法創(chuàng)立了控制圖，此舉具有劃時代意義，它標(biāo)志著質(zhì)量管理已在質(zhì)量檢驗階段的基礎(chǔ)上進(jìn)入到統(tǒng)計質(zhì)量控制階段，從此質(zhì)量管理學(xué)作為一門科學(xué)在企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營的質(zhì)量控制過程中發(fā)揮著越來越大的作用［1］。質(zhì)量控制階段以后，質(zhì)量管理又先后經(jīng)歷了全面質(zhì)量管理階段和6σ管理階段。值得一提的是，雖然目前質(zhì)量管理已經(jīng)出現(xiàn)了6σ管理方法，但以控制圖為代表的質(zhì)量控制階段的許多管理方法目前仍具有很強(qiáng)的生命力。

1 控制圖簡介

所謂控制圖，實際上就是圖上作業(yè)的假設(shè)檢驗，它對于質(zhì)量過程的控制管理是十分有效的。

1.1 控制圖的3σ原理

若以X表示生產(chǎn)過程中的質(zhì)量特性，并設(shè)X～N（μ，σ2），于是就有

這里α0＝0.0027，稱為顯著性水平。現(xiàn)在以坐標(biāo)系中的橫軸表示樣本序號，縱軸表示樣本值，分別以X＝μ±3σ表示上下控制限，以X＝μ為中心線。將樣本以打點形式依次描在坐標(biāo)系中，便得到相應(yīng)的控制圖如圖1所示。

生產(chǎn)過程存在的價值在于它的質(zhì)量始終處在可控的穩(wěn)定狀態(tài)，即X～N（μ，σ2）在過程中始終成立。此時Χ只受到隨機(jī)因素的作用，而沒有系統(tǒng)因素的影響。即對于一個樣本打點，其落在控制限以內(nèi)的概率為0.9973，據(jù)此休哈特在創(chuàng)立控制圖初期就把“一個樣本打點出界即判異?！贝_定為系統(tǒng)的判異準(zhǔn)則。

1.2 控制圖的兩類錯誤

依據(jù)該判異準(zhǔn)則，對一個打點出界即判為異常，則在邏輯上存在著誤判的風(fēng)險。即當(dāng)X～N（μ，σ2）沒有變化時，由于隨機(jī)因素的影響，使得打點也可能出界。此時若按該準(zhǔn)則判為異常，就是一種誤判，其概率為0.0027。這種誤判是以真為假的誤判，在數(shù)理統(tǒng)計上稱為第一類錯誤。我們當(dāng)然可以減小顯著性水平使出現(xiàn)以真為假的誤判概率降低。但這卻增大了所謂以假為真誤判的發(fā)生概率。對于后一種誤判稱為第二類錯誤。椐經(jīng)驗，按3σ原理構(gòu)造的控制圖，相應(yīng)的兩類錯誤造成的總損失最小，即α0＝0.0027是適宜的。

1.3 控制圖的顯著性水平

雖然控制圖與假設(shè)檢驗的原理相同，但它們二者所選用的顯著性水平的差異卻是很大。假設(shè)檢驗選用的顯著水平通常是控制圖的幾倍甚至幾十倍。依據(jù)休哈特的“一點出界即判為異?！钡呐挟悳?zhǔn)則，則發(fā)生誤判的機(jī)會增加了。為此，通常把顯著性水平取的相對小一些，盡管使犯第一類錯誤的概率大為降低，卻導(dǎo)致犯第二類錯誤的機(jī)會增加，常常會出現(xiàn)魚目混珠、漏發(fā)警報的現(xiàn)象。為此需要利用已建立的質(zhì)量系統(tǒng)穩(wěn)定或異常判斷準(zhǔn)則對控制圖中打點的分布狀況進(jìn)行甄別［2］，以便對質(zhì)量過程的穩(wěn)定與異常做出正確的判斷。理論上說，樣本的打點在控制圖中的分布形式是多樣的，判斷系統(tǒng)異常的準(zhǔn)則必定也是各異的?，F(xiàn)在從落在控制限內(nèi)中心線一側(cè)打點數(shù)量這一視角去探求質(zhì)量過程異常的判斷準(zhǔn)則。

2 過程異常判斷準(zhǔn)則的確立

圖1 控制圖示例

設(shè)X～N（μ，σ2），則一個樣本打點落在控制限內(nèi)中心線一側(cè)的概率為0.9973／2?，F(xiàn)有n個樣本點，其中有k個落在控制限內(nèi)中心線一側(cè)，易知k服從二項分布K～B（n，0.9973／2）。若記P（n，k）＝P（n個打點中有k個落在中心線一側(cè)），則有

如果限定n個樣本點是落在控制限內(nèi)，那么嚴(yán)格地說其中落在中心線一側(cè)的樣本點個數(shù)k就不再服從以n，0.9973／2為參數(shù)的二項分布。但在質(zhì)量特性X的分布無異常的情況下，一點落在控制限以外只是個小概率事件，故此可認(rèn)為k近似地服從以n，0.9973／2為參數(shù)的二項分布。于是有P（控制限內(nèi)n個打點中有k個落在中心線一側(cè)）＝P（n，k）＝2（0.9973／2）n。

下面以Pn（k）表示事件“位于控制限內(nèi)n個打點中至少有k個落在中心線一側(cè)”的概率，即

對一固定的n，當(dāng)時適宜用式（2）計算Pn（k）；而當(dāng)時，則適宜于利用式（3）求Pn（k）.此外易知Pn（k）為k的減函數(shù)，且其最小值為

由于控制圖的顯著性水平為α0＝0.0027，為此有方程0.49865n＝0.00135，解之，得n＝9.4958.取整為n＝9.

有一點須特別注意，在以下確定判異準(zhǔn)則時，要充分考慮到相應(yīng)的顯著性水平必須與α0協(xié)調(diào)一致，既不能太大，也不能太小，一般應(yīng)與α0處在同一數(shù)量級。若對某事件求得其概率為與α0屬于同一數(shù)量級的數(shù)值，則該事件為一個小概率事件，依據(jù)統(tǒng)計原理，小概率事件是不容易發(fā)生的。而今樣本打點結(jié)果表明該小概率事件發(fā)生了，說明質(zhì)量特性已經(jīng)出現(xiàn)了異常。此即為選擇判異準(zhǔn)則的思想方法?，F(xiàn)在考慮從n＝9開始取值，探討確立判異準(zhǔn)則。

2.1 取n＝9時，有9個樣本打點落在控制限內(nèi)

由式（1）可得

由于0.0343與α0比較顯得過大，0.0038與0.0027為同一數(shù)量級的數(shù)值，故可得判異準(zhǔn)則1。

準(zhǔn)則1若連續(xù)9個樣本打點全都落在控制限內(nèi)中心線一側(cè)，則質(zhì)量過程為異常。

當(dāng)n＝10時，有10個樣本打點落在控制限內(nèi)，由式（1）計算可得

顯然P（10，9）與α0＝0.0027比較顯得過大，P（10，10）與α0屬同一數(shù)量級，為此可把10點均落在中心線一側(cè)選為判異準(zhǔn)則。但10點落在中心線一側(cè)必滿足9點落在中心線一側(cè)，故此可由準(zhǔn)則1加以判斷。

當(dāng)n＝11，n＝12時，與n＝10時的情形相同，不能確立相應(yīng)的判異準(zhǔn)則。

2.2 當(dāng)n＝13時，有13個樣本打點落在控制限內(nèi)

據(jù)式（1）得

由于P（13，13）偏小，而0.0031與α0＝0.0027屬同一數(shù)量級，故可取為顯著性水平。于是可確定判異準(zhǔn)則2。

準(zhǔn)則2位于控制限內(nèi)的13個樣本打點中12個落在控制限內(nèi)中心線一側(cè)，則質(zhì)量過程為異常。

2.3 當(dāng)n＝14時，有14個樣本打點落在控制限內(nèi)

利用式（2）計算可得

0.0018與0.0027比較接近，因此可取為顯著性水平。于是得到過程異常判斷準(zhǔn)則3。

準(zhǔn)則3位于控制限內(nèi)的14個樣本打點中至少有13個落在中心線一側(cè)，則過程判為異常。

當(dāng)n＝15時，有15個樣本打點落在控制限內(nèi)，利用式（2）可得

由于0.0071為α0＝0.0027的2.6倍，偏大一些，不適宜作為顯著性水平。因此，對15個樣本打點落在控制限內(nèi)的情況，不能夠確立相應(yīng)的判異準(zhǔn)則。

以此類推，可得到n＝16時的準(zhǔn)則4、n＝17時的準(zhǔn)則5和n＝19時的準(zhǔn)則6。

準(zhǔn)則4位于控制限內(nèi)的16個樣本打點中至少有14個落在中心線一側(cè)，則過程判為異常。

準(zhǔn)則5位于控制限內(nèi)的17個樣本打點中至少有15個落在中心線一側(cè)，則過程判為異常。

準(zhǔn)則6位于控制限內(nèi)的19個樣本打點中至少有16個落在中心線一側(cè)，則過程判為異常。

當(dāng)n＝18時，有P18（16）＝0.0012，P18（15）＝0.0072，這兩概率與α0＝0.0027比較，0.0012偏小，0.0072又偏大，都不適合作為顯著性水平。由此可知，對于18個落在控制限內(nèi)的樣本打點情況，不可能確立相應(yīng)的判異準(zhǔn)則。

3 結(jié) 語

1）若令n分別取20，21，22，…，加大樣本的容量，一般情況下還可以得到新的判異準(zhǔn)則；

2）筆者是基于落在控制限內(nèi)中心線一側(cè)樣本打點個數(shù)去選擇質(zhì)量過程判異準(zhǔn)則的，由于樣本點分布的多樣性，對于其他形式的打點分布情況（如單調(diào)、鏈以及靠近控制限分布等），同樣可確立相應(yīng)的判異準(zhǔn)則；

3）所謂質(zhì)量過程異常，是指樣本打點分布不是完全隨機(jī)的。因此不應(yīng)該只理解為異常不好，事實上還應(yīng)該包括異常好的情況。異常好的情況有悖于樣本打點隨機(jī)分布的常理，故也是不正常的。

［1］宋明順.質(zhì)量管理學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2005.

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Selection of abnormal judgment rules based on plotting numbers from central line side

WEN Xueying1，SUN Wei1，MENG Xiantao2，LIU Chang3

（1.Vocational and Technical College，Dalian Ocean University，Dalian 116300，China；
2.School of Mathmatics and System Science，Shenyang Normal University，Shenyang 110034，China；3.Math Department，Shenyang Guangquan Middle School，Shenyang 110141，China）

This paper introduces the concept of control chart，three principle and two types of errors from the symbiosis with control charts.The one is really false error of the first kind，the other is false is true of the second types of errors.This paper points out that control charts are the same as the hypothesis testing by following the basic statistics principle that the little probability is not prone to happen.Meanwhile，the reason why the significance level by control charts is much smaller compared to the hypothesis testing has been explained.The research has been done aiming at constructing abnormal judgment criteria of the corresponding quality system whenknumbers ofnsample plotting numbers from the control limit are in the central line along with the probability formula in this situation.This paper analysis that the K points accord with the two distribution and gives the probability calculation formula whenknumbers ofnsample plotting numbers from the control limit are in the central line.Eventually，the alarm rules of the quality system have been concluded in the case ofn19.

quality management；control charts；abnormal judgment

O212

A

10.3969／j.issn.1673-5862.2013.02.024

1673-5862（2013）02-0242-04

2012-09-19。

國家自然科學(xué)基金資助項目（10471096）。

聞學(xué)穎（1974-），女，遼寧大連人，大連海洋大學(xué)助理研究員。