曹敏，熊浩，劉然，張淮清

（1.云南電力試驗(yàn)研究院，云南昆明 650217；2.重慶大學(xué)輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044）

隨著電力系統(tǒng)中高電壓大容量沖擊性負(fù)荷以及電力電子裝置等非線性設(shè)備的增加，電網(wǎng)的諧波污染日益嚴(yán)重并危害系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性和安全性[1-2]。傳統(tǒng)的FFT算法在進(jìn)行諧波分析時(shí)，由于截?cái)嗾`差和非整周期采樣，不可避免地會(huì)產(chǎn)生較大的頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，導(dǎo)致FFT的結(jié)果在頻率、幅值、相位上都存在偏差，嚴(yán)重影響諧波計(jì)算精度。

加窗插值是一種將被測(cè)信號(hào)與窗函數(shù)的乘積作FFT運(yùn)算，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正的方法。加窗可有效抑制頻譜泄漏，減小頻譜間的干擾；插值可以減少柵欄效應(yīng)的影響，從而改善FFT算法的諧波分析精度[3-5]。本文選取了Hanning窗和5項(xiàng)Rife_Vincent窗（簡(jiǎn)稱R_V窗），對(duì)它們的頻譜曲線主瓣寬度、旁瓣峰值電平以及旁瓣衰減速度等主要參數(shù)進(jìn)行比較，定性分析了在諧波計(jì)算中的優(yōu)劣，推導(dǎo)了相應(yīng)的高階偏差修正公式及簡(jiǎn)化形式；并應(yīng)用2種窗函數(shù)對(duì)仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，以驗(yàn)證和考察了二者的諧波分析效果。

1 加窗插值的基本原理

設(shè)電網(wǎng)信號(hào)采樣序列為：

式中，Ts=1-fs為采樣周期；ωm=2πfm；M為最高諧波次數(shù)；Am、fm、θm分別為各次諧波的幅值、頻率和初相角。x（n）的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）為：

用同長(zhǎng)度的窗函數(shù)w（n）對(duì)信號(hào)x（n）加以截?cái)?，就可以得到一個(gè)加窗函數(shù)序列：

設(shè)窗函數(shù)的DTFT為W（ejω）=W（ω）e-jω，則加窗序列xw（n）的DTFT為：

圖1 非同步采樣的信號(hào)離散頻譜Fig.1 The discrete spectrum of the signal by asynchronous

令最大與次大譜線的幅值之比為α，即：

帶入式（5）得：

因而，計(jì)算中根據(jù)找到的各次諧波最大和次大譜線，可計(jì)算α并推出偏差λm的值，從而得到各次諧波頻率、幅值和相角的修正公式如下：

2 Hanning與R_V窗的比較及其修正公式

2.1 2種窗函數(shù)的比較

Hanning窗和R_V窗都是升余弦函數(shù)窗，而余弦函數(shù)與信號(hào)卷積時(shí)可使除主要譜線外的其他譜線相互抵消，因而能改善頻譜泄漏、減少截?cái)嗾`差。窗函數(shù)的性能主要通過主瓣寬度、旁瓣峰值電平和旁瓣衰減速率反映。在加窗插值FFF中，要求窗函數(shù)的主瓣窄以提高頻率分辨能力；要求旁瓣峰值電平小和衰減速率快，進(jìn)而減少頻率泄漏和各次諧波間影響[6]。圖2~3給出了Hanning窗和R_V窗時(shí)頻域曲線，可見：雖然R_V窗主瓣比Hanning窗寬，但旁瓣衰減達(dá)到了-73.6 dB，遠(yuǎn)低于Hanning窗的-32 dB，且旁瓣衰減速率高達(dá)30 dB/oct，高于Hanning窗的18 dB/oct。從定性來看，R_V窗頻率泄漏要少于Hanning窗，諧波分析精度要高于Hanning窗。

圖2 Hanning窗及其頻譜Fig.2 The time domain and spectrum of Hanning window

圖3 R_V窗及其頻譜Fig.3 The time domain and spectrum of R_V window

2.2 Hanning與R_V窗的修正公式

1）Hanning窗。函數(shù)表達(dá)式為：

離散傅里葉變換為：

將λm帶入WH（k）得：

離散傅里葉變換結(jié)果為：

將λm帶入WR（k）得：

3 仿真計(jì)算及實(shí)例分析

3.1 仿真計(jì)算

為驗(yàn)證加窗插值FFT算法的準(zhǔn)確性以及R_V窗和Hanning窗性能，選取以下信號(hào)作諧波仿真：

其基波頻率f0=49.5Hz，基波及各次諧波參數(shù)見表1。

表1 基波及諧波參數(shù)Tab.1 Parameters of harmonic signal

仿真中，取采樣頻率fs=5000 Hz，窗函數(shù)點(diǎn)數(shù)N=1024。仿真計(jì)算的參數(shù)見表2~4。

表2 頻率計(jì)算誤差比較Tab.2 Comparison of relative errors in calculating frequency %

表3 幅值計(jì)算誤差比較Tab.3 Comparison of relative errors in calculating amplitude %

由表中的仿真結(jié)果，可以看出：采用R_V窗的諧波計(jì)算精度整體優(yōu)于Hanning窗，特別在幅值較小的偶次諧波處R_V窗的精度約高出1~2個(gè)數(shù)量級(jí)。其頻率計(jì)算相對(duì)誤差絕對(duì)值低于0.003%，幅值計(jì)算相對(duì)誤差絕對(duì)值低于0.09%，相角計(jì)算相對(duì)誤差絕對(duì)值低于1.1%。

表4 相角相對(duì)誤差比較Tab.4 Comparison of relative errors in calculating phase %

此外，還可從時(shí)域角度分析2種窗函數(shù)的諧波分析性能，即利用仿真信號(hào)和基于諧波計(jì)算的參數(shù)信號(hào)模型在采樣時(shí)刻點(diǎn)的誤差。其思路為：根據(jù)諧波分析給出了頻率、幅值和相位的近似值f軇m、A軒m和θ軌m得到信號(hào)的近似模型：

然后，計(jì)算近似模型和原信號(hào)在采樣點(diǎn)處的相對(duì)均方誤差Err_RMS，其定義如下：

本例中，Hanning窗計(jì)算的相對(duì)均方誤差為2.51×10-4%；R_V窗為1.22×10-4%，表明從時(shí)域來看R_V窗諧波分析精度依然強(qiáng)于Hanning窗。

3.2 實(shí)例計(jì)算

最后，利用基于R_V窗的加窗插值FFT算法對(duì)某電力局的電流數(shù)據(jù)進(jìn)行諧波分析，基波頻率為49.8Hz，各次諧波估算參數(shù)見表5。

求得估算信號(hào)的解析解并離散化，計(jì)算出實(shí)際信號(hào)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的相對(duì)誤差Err_RMS=0.0015%。最后，作出估算信號(hào)x軇（n）與實(shí)際信號(hào)x（n）的曲線如圖4?？梢钥闯觯瑑烧呤欠浅＝咏?。

4 結(jié)論

1）相對(duì)于Hanning窗插值，R_V窗旁瓣性能更優(yōu)，頻譜泄漏更小，所以其諧波參數(shù)的估算精度較Hanning窗有了較大的提升。

表5 實(shí)際信號(hào)基波及諧波參數(shù)Tab.5 Parameters of estimated harmonic signal

圖4 估算信號(hào)x軌（n）與實(shí)際信號(hào)x（n）的對(duì)比Fig.4 Comparison of estimated signal x軌（n）and actual signal x（n）

2）從時(shí)域角度來描述實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的諧波分析誤差是可行而有效的。

3）基于R_V窗的加窗插值方法對(duì)實(shí)際電網(wǎng)運(yùn)行數(shù)據(jù)的諧波分析有較好精度。

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