郝志國 沈麗

(張家口市宣化第一中學(xué) 河北 張家口 075100)

1 差速器用途[1]

差速器是一種能使旋轉(zhuǎn)運動自一根軸傳至另一根軸，并使兩軸實現(xiàn)不同的轉(zhuǎn)速的差動機構(gòu)．簡單地說，差速器就是在汽車轉(zhuǎn)彎時，能夠讓汽車的內(nèi)側(cè)車輪與外側(cè)車輪以不同轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動的裝置，下面通過圖片可以簡要說明．

汽車直行時，兩側(cè)車輪轉(zhuǎn)速相同，角速度也相同，如圖1(a)所示，即ω內(nèi)=ω外.

汽車轉(zhuǎn)彎時，外側(cè)車輪要比內(nèi)側(cè)車輪走過的弧長更長，如圖1(b)所示，所以外側(cè)車輪要求轉(zhuǎn)速更快，即ω外>ω內(nèi)．如果兩側(cè)車輪都固定在同一根軸上，這是不可能實現(xiàn)的，這就需要差速器來完成．

圖1 汽車直行和轉(zhuǎn)彎時，兩輪的轉(zhuǎn)速和角速度

2 普通差速器的結(jié)構(gòu)(以樂高差速器為例)

這里我們以最簡單最基本的差速器——樂高差速器為例，簡單做一下差速器結(jié)構(gòu)的介紹，至于各種實際車輛中更復(fù)雜的差速器我們暫不討論．

差速器由兩個與車軸固定的齒輪，我們稱之為太陽齒輪S1，S2，由一個固定在框架上的行星齒輪P和一個行星框架(差速器外殼)組成，其中3個齒輪都是錐形齒輪．如圖2所示，兩個太陽輪分別與兩個車軸固定連接， 即分別與兩車輪有相同的轉(zhuǎn)速，行星齒輪固定在差速外殼上，并受太陽齒輪的影響而轉(zhuǎn)動，因此，差速器外殼與行星齒輪一起公轉(zhuǎn)，有相同的角速度．

圖2 差速器的結(jié)構(gòu)圖

3 用高中物理知識解釋簡易差速器中齒輪組的角速度關(guān)系

首先，我們要用高中物理知識，先解釋最基礎(chǔ)的兩齒輪相互咬合時的角速度關(guān)系，然后再解釋行星齒輪組的角速度關(guān)系，最后解釋差速器中齒輪組的角速度關(guān)系，目的是總結(jié)出車輪在直行和轉(zhuǎn)彎時差速器的運行規(guī)律．

3.1 兩固定齒輪咬合時角速度的關(guān)系[2]

如圖3，齒輪A，B分別固定在兩軸上軸心分別為O1，O2，A齒輪的半徑為r1，角速度為ω1，線速度為v1，B齒輪的半徑為r2，角速度為ω2，線速度為v2．當(dāng)A齒輪順時針轉(zhuǎn)動時，會帶動B齒輪按如圖4方式轉(zhuǎn)動，兩齒輪相互咬合，故具有相同的線速度

v1=v2

(1)

v1=ω1r1

(2)

v2=ω2r2

(3)

(4)

圖3

3.2 行星齒輪與太陽齒輪咬合時公轉(zhuǎn)線速度與自轉(zhuǎn)線速度的關(guān)系

我們將差速器結(jié)構(gòu)圖(圖2)轉(zhuǎn)過90°來看一下．此時行星框架內(nèi)部的結(jié)構(gòu)就如圖4，上下兩個太陽齒輪之間是一個行星齒輪．要想研究兩個太陽齒輪和行星齒輪之間的角速度，我們先研究一下行星齒輪在水平齒條上轉(zhuǎn)動的情形．

圖4 差速器結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)90°

水平齒條可看作半徑無限大的齒輪，行星齒輪整體前進(jìn)(公轉(zhuǎn))的同時也在繞輪心轉(zhuǎn)動(自轉(zhuǎn))，我們先研究一下齒輪輪心前進(jìn)的速度v公和齒輪邊緣轉(zhuǎn)動時的線速度v自之間的關(guān)系．如圖5在齒輪上標(biāo)記一點Q，當(dāng)Q轉(zhuǎn)動一圈時，Q走過的路程就是齒輪邊緣的周長，可以觀察到輪心的初末位置之間的距離也是這個周長，也就是說輪心在相同的時間也移動了相同的距離， 這就說明了

v公=v自

圖5

如果齒條本身也向前運動，向前移動的速度是v1，則齒輪在齒條上向前轉(zhuǎn)動的同時，也隨齒條一起向前移動，由圖6的幾何關(guān)系式可得

v公t=v自t+v1t

即

v公=v自+v1

圖6

然后可以把齒條換成一個有確定半徑的齒輪——太陽齒輪，在太陽輪自己繞軸心O1轉(zhuǎn)動的同時，行星輪也圍繞太陽輪轉(zhuǎn)動．如圖7所示，當(dāng)太陽齒輪邊緣轉(zhuǎn)動的線速度是v1時，行星齒輪邊緣自轉(zhuǎn)的線速度v自與行星齒輪輪心公轉(zhuǎn)的線速度v公也滿足

v公=v自+v1

圖7

再由線速度與角速度和半徑的關(guān)系知

ω公r日=ω自r星+ω1r日

下面來分析樂高差速器中一個太陽齒輪與行星齒輪的關(guān)系，簡易圖如圖8所示，雖然行星齒輪的轉(zhuǎn)動平面與太陽齒輪的轉(zhuǎn)動平面垂直，但是把行星齒輪在太陽輪平面上投影，我們?nèi)匀豢梢园l(fā)現(xiàn)和圖8中兩齒輪共面時的規(guī)律相同， 即滿足

ω公r日=ω自r星+ω1r星

圖8

若r星=r日(既太陽輪與行星輪采用相同齒輪)，則有

ω公=ω自+ω1

(9)

接下來我們研究齒條在齒輪的上方時，齒條與齒輪的速度關(guān)系．由圖9的幾何關(guān)系式可得

v2t=v自t+v公t

即

v2=v自+v公

圖9

同理，樂高差速器(齒輪組簡圖如圖11)中的齒輪組另一個太陽齒輪(圖10中上方太陽輪)與行星齒輪的關(guān)系應(yīng)滿足

v2=v自+v公

圖11 差速器與兩車輪連接方式圖

又因為上下兩個太陽輪與中間行星齒輪均采用相同齒輪，所以滿足

ω2=ω自+ω公

(10)

聯(lián)立式(9)、(10)可得

2ω公=ω2+ω1

(11)

3.3 樂高差速器與車輪連接的三種工作狀態(tài)

差速器與兩個車輪連接的方式如圖11所示．

圖11

3.3.1 小車直行時

當(dāng)小車直行時，左右兩輪在相同的時間走過相同的距離，所以有左右兩輪的角速度相同，即

ω1=ω2

因2ω公=ω2+ω1，有ω公=ω2=ω1．

也就是說兩個太陽輪的轉(zhuǎn)動方向相同、在數(shù)值上角速度相同，此時行星輪沒有自轉(zhuǎn)只有公轉(zhuǎn)．所以太陽輪S1和S2等轉(zhuǎn)速向前轉(zhuǎn)一圈，行星輪P也帶動行星框架向前公轉(zhuǎn)一圈，可以視為兩車輪同軸轉(zhuǎn)動．

3.3.2 小車一個輪不動，另一個輪繞其轉(zhuǎn)動

小車一個輪不動，與其相連的一個太陽齒輪S1也會不動，即ω1=0，由于以前推出2ω公=ω2+ω1，可知2ω公=ω2，又由于ω2=ω自+ω公，所以

即太陽齒輪轉(zhuǎn)一圈時，行星齒輪自轉(zhuǎn)半圈，并且公轉(zhuǎn)半圈．也就是說當(dāng)一側(cè)車輪不轉(zhuǎn)動，另一側(cè)車輪轉(zhuǎn)動的角速度是行星框架角速度的2倍．

3.3.3 當(dāng)小車任意轉(zhuǎn)動時

由ω公=ω自+ω1可知內(nèi)側(cè)車輪的角速度小于行星框架的轉(zhuǎn)動角速度，且等于行星齒輪的公轉(zhuǎn)角速度與自轉(zhuǎn)角速度之差；由ω2=ω自+ω公可知，外側(cè)車輪的角速度大于行星框架的轉(zhuǎn)動角速度，且等于行星齒輪的公轉(zhuǎn)角速度與自轉(zhuǎn)角速度之和．所以兩個車輪的轉(zhuǎn)動角速度的不同是靠行星輪的自轉(zhuǎn)實現(xiàn)的，且與行星輪的自轉(zhuǎn)角速度無關(guān)

2ω公=ω2+ω1

4 小結(jié)

本文旨在利用高中物理運動學(xué)知識解釋清楚差速器中齒輪組內(nèi)部角速度關(guān)系．我們首先研究齒輪在齒條上轉(zhuǎn)動時，齒輪邊緣的自轉(zhuǎn)速度與齒輪輪心向前移動的速度(稱為公轉(zhuǎn)速度)之間的關(guān)系，然后將齒條換成齒輪，亦有同樣的結(jié)果．再根據(jù)角速度與線速度的關(guān)系得出中間固定的太陽齒輪轉(zhuǎn)動的角速度，與行星齒輪公轉(zhuǎn)角速度、自轉(zhuǎn)角速度之間的關(guān)系．最后將平面齒輪推廣到錐形齒輪，得到內(nèi)側(cè)齒輪ω公=ω自+ω1，外側(cè)齒輪ω2=ω自+ω公，聯(lián)立兩式得2ω公=ω2+ω1，并用其解釋了在小車的三種工作狀態(tài)中，差速器齒輪組之間的角速度關(guān)系．由于學(xué)識有限，難免有疏漏和不足之處，懇請批評指正．

參考文獻(xiàn)

1 王望予.汽車設(shè)計.北京：機械工業(yè)出版社，2000.118～124

2 張大昌.高中物理·必修2.北京：人民教育出版社，2007.13～16