汪飛

(江蘇省海門中學(xué) 江蘇 南通 226100)

在力學(xué)中，有一道小物塊在有摩擦的豎直圓周軌道中運動時何處速度最大的問題.

題目：如圖1所示，一物塊從半圓形軌道頂端無初速滑下，當(dāng)物體通過最低點時，速度為v，已知物體和軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，圓軌道半徑為R，則物塊滑過最低點時受到的摩擦力為多少？并討論在下滑過程中，何處速度最大？

圖1

分析：通過對物塊下滑過程中的受力情況和做功情況的分析，易得

要想得出何處速度最大，必須求出物塊在下滑過程中克服摩擦力做的功Wf，由于摩擦力f為變力，按照常規(guī)思路應(yīng)通過積分來求Wf，得

將Wf代入動能定理表達(dá)式得

mgRsinθ-(1-cosθ)μmgR-

此式是v與θ間的復(fù)雜的隱函數(shù)，無法通過積分知識求出v與θ間顯性的函數(shù)表達(dá)式，也就無法根據(jù)極值條件求出速度最大的位置．通過對上式的仔細(xì)研究，發(fā)現(xiàn)通過適當(dāng)?shù)淖冃慰梢杂靡浑A非齊次線性微分方程理論求出v與θ間的表達(dá)式[2]．

應(yīng)用微分方程理論求解：

化簡

mgRsinθ-(1-cosθ)μmgR-

得

2gRsinθ-2μgRcosθ+2μgR=0

(1)

令v2=f(θ)，則式(1)變?yōu)?/p>

2μgRcosθ+2μgR=0

(2)

對式(2)進行一階求導(dǎo)得

f′(θ)+2μf(θ)=2gRcosθ-2μgRsinθ

(3)

令φ(θ)=2gRcosθ-2μgRsinθ，則式(3)變?yōu)?/p>

f′(θ)+2μf(θ)=φ(θ)

(4)

式(4)為一階非齊次線性方程.由式(1)可知此方程的初始條件為

f(0)=0

(5)

f(θ)=Q(θ)e-2μθ

則f′(θ)=(Q′-2μQ)e-2μθ

(7)

將式(6)、(7)代入方程(4)得

(Q′-2μQ)e-2μθ+2μQe-2μθ=φ(θ)

即Q′e-2μθ=φ(θ)，兩端積分得

將此式代入式(6)得非齊次線性方程的通解為

f(θ)=C1e-2μθ+

(8)

由分部積分的方法得

(9)

(10)

將式(9)、(10)代入式(8)得非齊次線性微分方程(4)的通解為

sinθ-2μ2sinθ)

(11)

6μ2e-2μθ+(cosθ-2μ2cosθ-3μsinθ)=0

(13)

MATLAB數(shù)值分析：

為了便于極值的計算，令μ=0.5,R=1 m,g=10 m/s2，極值條件式(13)為

3e-θ+cosθ-3sinθ=0

(14)

式(12)為

(15)

可利用計算軟件MATLAB中方程求解函數(shù)fsolve( )，對式(14)、(15)進行數(shù)值分析．

打開MATLAB，在命令窗口輸入：f=@(x)(3*exp(-x)+cos(x)-3*sin(x)); x=fsolve(f,0.7)按回車鍵后命令窗口顯示出：ans =0.774 4．即當(dāng)θ=0.774 4=44.37°時，速度達(dá)到最大．繼續(xù)在命令窗口輸入：x=0.774 4;v=sqrt(-15*exp(-x)+5*sin(x)+15*cos(x))按回車鍵后，命令窗口顯示出最大速度vm=2.702 7 m/s．

同時也可利用MATLAB中的繪圖函數(shù)plot( )對v和θ間的函數(shù)進行研究．

在命令窗口輸入：syms x v;x=0:0.02:pi/2;

v=sqrt(-15*exp(-x)+5*sin(x)+15*cos(x));plot(x,v,′*-′)

xlabel(′角度—theta′); ylabel(′速度v′); 得出v和θ間的函數(shù)圖像如圖2所示，由圖像可以形象地分析出：

物體的速度先變大后變小，當(dāng)

θ

≈0.8時，

v

m

≈2.7 m/s．

圖2

參考文獻(xiàn)

1 賈開鵬．何處速度最大．物理教師，2013(1)：35

2 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)第五版，北京：高等教育出版社，2002