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        運用圓的知識求解物理問題

        2013-01-12 02:48:12楊國平
        物理通報 2013年2期
        關(guān)鍵詞:獵犬直角坐標圓心

        楊國平

        (紹興市第一中學 浙江 紹興 312000)

        應(yīng)用數(shù)學工具解決物理問題是高考重點考查的能力之一,物理問題經(jīng)常以圓作為背景來設(shè)置情境,充分運用圓的幾何特性來解決物理問題,是數(shù)理結(jié)合的體現(xiàn).

        1 圓的幾何特性

        平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓.定點稱為圓心,定長稱為半徑.在平面直角坐標系中,以點O(a,b)為圓心,以r為半徑的圓的標準方程是

        (x-a)2+ (y-b)2=r2

        參數(shù)方程是

        x=a+rcosθy=b+rsinθ

        其中θ為參數(shù).

        圓周運動是物理學重點研究的運動形式之一,一般的曲線運動??苫癁榍蕡A來處理.經(jīng)常涉及到的幾何性質(zhì)有:

        (1)圓周長c= πd=2πr,圓面積S= πr2;

        (2)同一段圓弧所對的圓周角相等,直徑所對的圓周角是直角;

        2 以圓為載體的習題

        (1)循環(huán)過程中的最高溫度是多少?

        (2)從A到B過程氣體吸收的熱量為多少?

        解析:在p-V坐標系中圓的方程為

        (p-3)2+ (V-3)2=12

        結(jié)合克拉伯龍方程

        pV=nRT

        聯(lián)立后消去p,可求出T的極大值.為簡化數(shù)學運算,以下改用數(shù)形結(jié)合的方法來求解.

        圖1

        (1)由克拉伯龍方程可求得

        代入數(shù)據(jù)得

        TA=300 K

        同理,TD=300 K =TA,TB= 600 K=TC.對一定質(zhì)量的理想氣體,溫度越高,在p-V圖上的等溫線(雙曲線)離原點越遠,且每條等溫線(A,D在同一條上,B,C在另一條上)與角平分線垂直.由此可知,與最高溫度對應(yīng)的狀態(tài)(記作H點)的壓強

        pH= (3 +1*sin45°)*105Pa

        體積

        VH= (3 +1*cos45°)*10-3m3

        由克拉伯龍方程可求得

        代入數(shù)據(jù)得

        TH≈687 K

        (2)A到B過程氣體的內(nèi)能增量

        ΔE內(nèi)=nCVΔT

        代入數(shù)據(jù)得

        ΔE內(nèi)= 900 J

        體積增大,氣體對外做功,數(shù)值W對應(yīng)于該段曲線下面所圍的面積,則

        |W|≈379 J

        根據(jù)熱力學第一定律ΔE內(nèi)=W+Q,求得Q=1 279 J,正值表示吸收熱量.

        圖2

        圖3

        在圖3(a)中,圖線下的面積

        代入數(shù)據(jù)得

        S≈34 m2

        t=10 s時的加速度a對應(yīng)于切線PQ的斜率,即

        為求線段OP與OQ之比值,在圖3(b)中(把橢圓退化成圓周),注意到△POQ與△BCO′相似(就算是橢圓中該結(jié)論仍成立),則有

        O′C=Rcos30°

        代入數(shù)據(jù)得

        3 它們的軌跡是圓周

        【例3】如圖4(a)所示,位于豎直平面內(nèi)的直角支架MON可繞O點旋轉(zhuǎn),用兩根細線拉住一個小球,開始時繩AC水平(與OM平行),現(xiàn)將直角支架順時針緩慢轉(zhuǎn)過90°,設(shè)繩AC上的拉力為F1,繩BC上的拉力為F2,則在此旋轉(zhuǎn)過程中

        A.F1一直增大 B.F1先增大后減小

        C.F2一直減小 D.F2先減小后增大

        圖4

        解析:緩慢轉(zhuǎn)動過程中F1,F2方向都在變(大小更不用說),但小球合力為零,畫出小球所受各力的矢量合成圖,注意到F1與F2的合力是不變的,大小等于小球重力,方向豎直向上,選幾個位置作出矢量合成圖,如圖4(b),由F1,F(xiàn)2兩個力矢量所夾的角β是不變的,根據(jù)“圓周上同一段圓弧所對的圓周角相等”,可知F1,F2兩個力矢量的連接點構(gòu)成的軌跡是圓周.初始狀態(tài)F2就在該圓的直徑上,之后F2一直減小,而F1先增大(最大值對應(yīng)于圓周的直徑位置上)后減小,正確答案是選項B,C.

        【例4】如圖5所示,在0 ≤x≤ 2a,-a≤y≤a的正方形某個區(qū)域內(nèi)存在著勻強磁場,方向垂直紙面向里;在直線y=a的上方,直線x= 0與x=2a之間的區(qū)域內(nèi)存在著勻強電場,場強大小為E,方向沿y軸負方向.一質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的粒子以速度v從O點垂直磁場方向射入,當v沿x軸正方向時,粒子恰好從A(a,a)點沿y軸正方向射出磁場,不計粒子重力.

        (1)求磁感應(yīng)強度B的大??;

        (2)為使從O點射出的粒子飛越磁場后在電場中運動的時間最長,應(yīng)加什么樣的磁場(寫出所加磁場的邊界方程).

        圖5

        解得

        (2)解法1:只有當粒子進入電場時的速度方向沿y軸正向時,(往返)運動的時間最長,這就要求粒子從磁場區(qū)域邊界上任意一點P(x,y)出射時,速度方向沿y軸正向,與此對應(yīng)的半徑與x軸平行.參閱圖6(a),與粒子運動軌跡OP圓弧所對應(yīng)的圓心角α= 90°-θ,則有

        x=a-acosαy=asinα

        兩式聯(lián)立(消去參數(shù)α)得

        (x-a)2+y2=a2

        即所加磁場在以(a,0)為圓心,半徑為a的圓內(nèi),如圖6(a)中虛線所示.

        解法2:當粒子的速度方向發(fā)生變化時,其軌跡圓的圓心位置也將發(fā)生變化,因v的大小不變,故軌跡圓的圓心到O點距離均等于a,即圓心的軌跡是圓周,如圖6(b)中的虛線,其方程為

        x2+y2=a2

        粒子在磁場中的出射點比其對應(yīng)的圓心均要右移一個距離a,即出射點(磁場邊界)的軌跡為

        (x-a)2+y2=a2

        圖6

        4 條件圓與軌跡圓的和諧統(tǒng)一

        【例5】一只狼沿半徑為R的圓形島邊緣按逆時針勻速率跑動,當狼經(jīng)過某一位置時,一只獵犬以相等的速率從島中心出發(fā)追逐狼,設(shè)在追逐過程中狼、獵犬和圓心三者始終在同一直線上,問獵犬應(yīng)沿何軌道追逐?

        圖7

        解法1:直接寫出獵犬的軌跡方程并不容易.我們不妨先從獵犬的速度入手,以O(shè)A為x軸,垂直向上為y軸,建立直角坐標系.設(shè)犬、狼的速率皆為v0,獵犬在直角坐標系中的速度分量

        vx=v0cos(α+θ) =v0cos2θ

        (1)

        vy=v0sin2θ

        (2)

        因為

        θ=ωtv0=ωR

        代入式(1)、(2)得

        vx=ωRcos2ωtvy=ωRsin2ωt

        由初始條件:當t= 0時x=0,y=0,可得C1=0,

        化簡得

        ρ=Rsinθ

        說明:(極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化)上式可寫成

        ρ2=Rρsinθ

        把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得直角坐標方程

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