楊國平

(紹興市第一中學 浙江 紹興 312000)

應(yīng)用數(shù)學工具解決物理問題是高考重點考查的能力之一，物理問題經(jīng)常以圓作為背景來設(shè)置情境，充分運用圓的幾何特性來解決物理問題，是數(shù)理結(jié)合的體現(xiàn).

1 圓的幾何特性

平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓.定點稱為圓心，定長稱為半徑.在平面直角坐標系中，以點O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是

(x-a)2+ (y-b)2=r2

參數(shù)方程是

x=a+rcosθy=b+rsinθ

其中θ為參數(shù).

圓周運動是物理學重點研究的運動形式之一，一般的曲線運動?？苫癁榍蕡A來處理.經(jīng)常涉及到的幾何性質(zhì)有：

(1)圓周長c= πd=2πr，圓面積S= πr2；

(2)同一段圓弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角；

2 以圓為載體的習題

(1)循環(huán)過程中的最高溫度是多少?

(2)從A到B過程氣體吸收的熱量為多少?

解析：在p-V坐標系中圓的方程為

(p-3)2+ (V-3)2=12

結(jié)合克拉伯龍方程

pV=nRT

聯(lián)立后消去p，可求出T的極大值.為簡化數(shù)學運算，以下改用數(shù)形結(jié)合的方法來求解.

圖1

(1)由克拉伯龍方程可求得

代入數(shù)據(jù)得

TA=300 K

同理，TD=300 K =TA，TB= 600 K=TC.對一定質(zhì)量的理想氣體，溫度越高，在p-V圖上的等溫線(雙曲線)離原點越遠，且每條等溫線(A，D在同一條上，B，C在另一條上)與角平分線垂直.由此可知,與最高溫度對應(yīng)的狀態(tài)(記作H點)的壓強

pH= (3 +1*sin45°)*105Pa

體積

VH= (3 +1*cos45°)*10-3m3

由克拉伯龍方程可求得

代入數(shù)據(jù)得

TH≈687 K

(2)A到B過程氣體的內(nèi)能增量

ΔE內(nèi)=nCVΔT

代入數(shù)據(jù)得

ΔE內(nèi)= 900 J

體積增大，氣體對外做功，數(shù)值W對應(yīng)于該段曲線下面所圍的面積，則

|W|≈379 J

根據(jù)熱力學第一定律ΔE內(nèi)=W+Q，求得Q=1 279 J，正值表示吸收熱量.

圖2

圖3

在圖3(a)中，圖線下的面積

代入數(shù)據(jù)得

S≈34 m2

t=10 s時的加速度a對應(yīng)于切線PQ的斜率，即

為求線段OP與OQ之比值，在圖3(b)中(把橢圓退化成圓周)，注意到△POQ與△BCO′相似(就算是橢圓中該結(jié)論仍成立)，則有

O′C=Rcos30°

代入數(shù)據(jù)得

3 它們的軌跡是圓周

【例3】如圖4(a)所示，位于豎直平面內(nèi)的直角支架MON可繞O點旋轉(zhuǎn)，用兩根細線拉住一個小球，開始時繩AC水平(與OM平行)，現(xiàn)將直角支架順時針緩慢轉(zhuǎn)過90°，設(shè)繩AC上的拉力為F1，繩BC上的拉力為F2，則在此旋轉(zhuǎn)過程中

A．F1一直增大 B．F1先增大后減小

C．F2一直減小 D．F2先減小后增大

圖4

解析：緩慢轉(zhuǎn)動過程中F1,F2方向都在變(大小更不用說)，但小球合力為零，畫出小球所受各力的矢量合成圖，注意到F1與F2的合力是不變的，大小等于小球重力，方向豎直向上，選幾個位置作出矢量合成圖，如圖4(b)，由F1，F(xiàn)2兩個力矢量所夾的角β是不變的，根據(jù)“圓周上同一段圓弧所對的圓周角相等”，可知F1,F2兩個力矢量的連接點構(gòu)成的軌跡是圓周.初始狀態(tài)F2就在該圓的直徑上，之后F2一直減小，而F1先增大(最大值對應(yīng)于圓周的直徑位置上)后減小，正確答案是選項B,C.

【例4】如圖5所示，在0 ≤x≤ 2a，-a≤y≤a的正方形某個區(qū)域內(nèi)存在著勻強磁場，方向垂直紙面向里；在直線y=a的上方，直線x= 0與x=2a之間的區(qū)域內(nèi)存在著勻強電場，場強大小為E，方向沿y軸負方向.一質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子以速度v從O點垂直磁場方向射入，當v沿x軸正方向時，粒子恰好從A(a,a)點沿y軸正方向射出磁場，不計粒子重力.

(1)求磁感應(yīng)強度B的大??；

(2)為使從O點射出的粒子飛越磁場后在電場中運動的時間最長，應(yīng)加什么樣的磁場(寫出所加磁場的邊界方程).

圖5

解得

(2)解法1:只有當粒子進入電場時的速度方向沿y軸正向時，(往返)運動的時間最長，這就要求粒子從磁場區(qū)域邊界上任意一點P(x,y)出射時，速度方向沿y軸正向，與此對應(yīng)的半徑與x軸平行.參閱圖6(a)，與粒子運動軌跡OP圓弧所對應(yīng)的圓心角α= 90°-θ，則有

x=a-acosαy=asinα

兩式聯(lián)立(消去參數(shù)α)得

(x-a)2+y2=a2

即所加磁場在以(a,0)為圓心，半徑為a的圓內(nèi)，如圖6(a)中虛線所示.

解法2：當粒子的速度方向發(fā)生變化時，其軌跡圓的圓心位置也將發(fā)生變化，因v的大小不變，故軌跡圓的圓心到O點距離均等于a，即圓心的軌跡是圓周，如圖6(b)中的虛線，其方程為

x2+y2=a2

粒子在磁場中的出射點比其對應(yīng)的圓心均要右移一個距離a，即出射點(磁場邊界)的軌跡為

(x-a)2+y2=a2

圖6

4 條件圓與軌跡圓的和諧統(tǒng)一

【例5】一只狼沿半徑為R的圓形島邊緣按逆時針勻速率跑動，當狼經(jīng)過某一位置時，一只獵犬以相等的速率從島中心出發(fā)追逐狼，設(shè)在追逐過程中狼、獵犬和圓心三者始終在同一直線上，問獵犬應(yīng)沿何軌道追逐？

圖7

解法1：直接寫出獵犬的軌跡方程并不容易.我們不妨先從獵犬的速度入手，以O(shè)A為x軸，垂直向上為y軸，建立直角坐標系.設(shè)犬、狼的速率皆為v0，獵犬在直角坐標系中的速度分量

vx=v0cos(α+θ) =v0cos2θ

(1)

vy=v0sin2θ

(2)

因為

θ=ωtv0=ωR

代入式(1)、(2)得

vx=ωRcos2ωtvy=ωRsin2ωt

由初始條件：當t= 0時x=0,y=0，可得C1=0，

化簡得

ρ=Rsinθ

說明：(極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化)上式可寫成

ρ2=Rρsinθ

把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直角坐標方程