胡雙根 劉 燕

(新余市第四中學(xué) 江西 新余 338031)

2012年全國(guó)理科綜合能力測(cè)試卷第24題是一道與生活現(xiàn)象緊密結(jié)合的問題.從我省閱卷統(tǒng)計(jì)來看，第二問得分不足3分，得分之低，令人嘆息.

【原題】拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(圖1).設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可忽略,拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g.某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ.

圖1

(1)若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小.

(2)設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ.已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng).求這一臨界角的正切tanθ0.

解析：(1)設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把.將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，由平衡條件有

Fcosθ+mg=N

(1)

Fsinθ=f

(2)

式中N和f分別為地板對(duì)拖把的正壓力和摩擦力.由摩擦定律有

f=μN(yùn)

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)得

(4)

(2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有

Fsinθ≤λN

(5)

這時(shí)，式(1)仍滿足.聯(lián)立式(1)、(5)得

(6)

現(xiàn)考察使式(6)成立的θ角的取值范圍.注意到式(6)右邊總是大于零，且當(dāng)F無(wú)限大時(shí)極限為零，有

sinθ-λcosθ≤0

(7)

使式(7)成立的θ角滿足θ≤θ0，這里θ0是題中所定義的臨界角，即當(dāng)θ≤θ0時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把.臨界角的正切為tanθ0=λ.

學(xué)生丟分的原因有：

(1)部分學(xué)生不清楚這是一個(gè)靜力學(xué)平衡問題；

(2)絕大多數(shù)學(xué)生能列出式(5)、(6)，卻想不到F可以取無(wú)窮大的極限；

(3)題中定義的臨界角θ0的物理意義不清晰.

針對(duì)上述問題，筆者從摩擦角概念來分析本題的幾何意義，可以使以上問題迎刃而解.

圖2

設(shè)某物體在另一個(gè)物體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到的正壓力為N，摩擦力為f，其合力為F′，它們的矢量關(guān)系如圖2所示.則有

把φ稱為滑動(dòng)摩擦角.由于最大靜摩擦力通常認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力，所以，最大靜摩擦角等于滑動(dòng)摩擦角，簡(jiǎn)稱摩擦角.當(dāng)N和F′夾角小于摩擦角φ時(shí)，則f為靜摩擦力，物體間保持相對(duì)靜止.

在滑動(dòng)摩擦條件下，由于μ為定值，故φ一定為定值.在保持相對(duì)滑動(dòng)條件下，當(dāng)外界條件變化時(shí)，引起N,f變化，但只會(huì)引起F′的大小變化，不會(huì)改變合力F′的方向.

圖3

置于水平面上的物體質(zhì)量為m，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，現(xiàn)用一與豎直方向成θ角的斜向下的力F推物體，如圖3所示，φ為摩擦角，當(dāng)θ≤φ時(shí)，無(wú)論推力F多大物體仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，這是一種自鎖現(xiàn)象.因此，本題第(2)問是一個(gè)自鎖問題.

由摩擦角的觀點(diǎn)解釋這一自鎖現(xiàn)象，將物體所受的支持力N和摩擦力f合成一個(gè)力F′，可以等效認(rèn)為物體受G，F(xiàn)，F(xiàn)′三個(gè)力作用.很明顯，當(dāng)θ≤φ時(shí)，不管推力F多大，物體不可能獲得水平方向的加速度，這時(shí),物體間的摩擦力總為靜摩擦力，保持相對(duì)靜止，物體將始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，即產(chǎn)生自鎖現(xiàn)象.當(dāng)θ>φ時(shí)，只要推力F足夠大，物體可以獲得水平方向的加速度，使物體運(yùn)動(dòng)起來.

由上述分析可知，題中定義的臨界角θ0實(shí)際上就是摩擦角，所以，有

tanθ0=λ

摩擦角除了可靈活解決靜力學(xué)平衡的難點(diǎn)問題，還可以在摩擦力做功、彎道技術(shù)、破冰船船體設(shè)計(jì)等方面得到應(yīng)用，限于篇幅，本文不再贅述.

參考文獻(xiàn)

1 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程.力學(xué)篇.摩擦角及應(yīng)用.北京：中學(xué)科學(xué)技術(shù)出版社，2010.264