周朗明，鄭順義，黃榮永

武漢大學(xué) 遙感信息工程學(xué)院，湖北 武漢430079

1 引 言

近年來，三維掃描測量技術(shù)發(fā)展迅速，在逆向工程、文物保護(hù)、美容修復(fù)、工業(yè)測量等方面具有廣泛應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用中，為了獲得物體表面完整的三維點(diǎn)云需要多角度對被測物體進(jìn)行掃描，進(jìn)而需要將多視點(diǎn)云配準(zhǔn)到統(tǒng)一的坐標(biāo)系下［1］。點(diǎn)云配準(zhǔn)技術(shù)有手動配準(zhǔn)、依賴儀器配準(zhǔn)和自動配準(zhǔn)［2］。比較常用的是后兩種方法：依賴儀器配準(zhǔn)是通過硬件之間的坐標(biāo)關(guān)系將多片點(diǎn)云旋轉(zhuǎn)平移到統(tǒng)一的坐標(biāo)系下，該方法不需要點(diǎn)云之間具有共同特征，配準(zhǔn)速度快，但要求對硬件進(jìn)行精確標(biāo)定或者需標(biāo)志點(diǎn)的輔助，通過對物體表面的標(biāo)志點(diǎn)編碼特征及空間特征進(jìn)行檢測、匹配，獲得全場各拍攝圖像之間的坐標(biāo)變換關(guān)系［3］；自動配準(zhǔn)是通過一定的算法或統(tǒng)計(jì)規(guī)律將兩片云之間的錯(cuò)位消除，該方法需要兩片點(diǎn)云之間具有共同特征，在某些情況下需要一些人工干預(yù)獲取初始值，且配準(zhǔn)算法存在一些退化的情況。點(diǎn)云的自動配準(zhǔn)大多基于文獻(xiàn)［4］提出的最鄰近點(diǎn)迭代方法（iterative closest point，ICP）。該方法以四元數(shù)配準(zhǔn)算法為基礎(chǔ)，運(yùn)用Faugera和Hebert提出的方法計(jì)算新的最近點(diǎn)集，再通過迭代選擇對應(yīng)點(diǎn)的方法計(jì)算滿足對應(yīng)點(diǎn)之間的距離誤差最小條件的旋轉(zhuǎn)和變換矩陣［5－6］.

在依賴儀器配準(zhǔn)的技術(shù)中，使用標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行拼接的方法比較多，多用于大型物體的三維量測，但是對于小型物體，由于其表面面積較小，曲率半徑小，導(dǎo)致標(biāo)志點(diǎn)變形大使得配準(zhǔn)精度較低［7］。另外一種依賴儀器配準(zhǔn)的技術(shù)是使用旋轉(zhuǎn)平臺，大部分旋轉(zhuǎn)平臺主要是應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺中的輪廓 線 重 構(gòu)（SFS）方 法［8－9］或 序 列 影 像 重 構(gòu) 方法［10－14］，而這些方法中對旋轉(zhuǎn)平臺進(jìn)行標(biāo)定的方法一般從影像中提取標(biāo)定塊的特征平面，根據(jù)平面相交于旋轉(zhuǎn)軸的約束條件進(jìn)行參數(shù)的求解［15］，這樣就多了一步特征提取的工作并且還需要對相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定。

本文提出的旋轉(zhuǎn)平臺點(diǎn)云數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)方法是從掃描儀獲取的三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，不需要提取標(biāo)定點(diǎn)或標(biāo)定塊的幾何特征，基本原理是通過標(biāo)定獲取旋轉(zhuǎn)平臺坐標(biāo)系（turntable coordinate system，TCS）相對于掃描儀坐標(biāo)系或相機(jī)坐標(biāo)系（camera’s coordinate system，CCS）的位置［16］，其實(shí)現(xiàn)過程是首先利用圓柱體標(biāo)定塊的表面點(diǎn)云均位于柱面上的這一數(shù)學(xué)約束，對旋轉(zhuǎn)平臺進(jìn)行標(biāo)定，獲取旋轉(zhuǎn)平臺在掃描儀坐標(biāo)系中的精確位置，并根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣，然后對置于旋轉(zhuǎn)平臺上的掃描物體的點(diǎn)云進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，實(shí)現(xiàn)多片點(diǎn)云的自動配準(zhǔn)。

本算法免除了常用的點(diǎn)云配準(zhǔn)算法中標(biāo)志點(diǎn)粘貼和提取的工作，也不需要在點(diǎn)云后處理軟件中進(jìn)行手動的ICP配準(zhǔn)，只需對旋轉(zhuǎn)平臺進(jìn)行一次標(biāo)定。在掃描儀同旋轉(zhuǎn)平臺的相對位置關(guān)系沒有發(fā)生的變化的情況下，能快速地配準(zhǔn)置于該旋轉(zhuǎn)平臺上的掃描物體點(diǎn)云，提高了點(diǎn)云處理的效率。配準(zhǔn)精度高于標(biāo)志點(diǎn)拼接以及ICP拼接的精度，能較好地解決紋理缺乏的旋轉(zhuǎn)體，如青瓷花瓶、牙齒模型等物體的點(diǎn)云配準(zhǔn)問題，而且算法的適用性較高，可稍加改造應(yīng)用于激光或結(jié)構(gòu)光等三維掃描系統(tǒng)中。

2 算法原理

將物體放置于旋轉(zhuǎn)平臺上進(jìn)行三維掃描，多片點(diǎn)云之間僅有旋轉(zhuǎn)關(guān)系，該關(guān)系可以通過旋轉(zhuǎn)平臺的旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度來表達(dá)。只要物體的旋轉(zhuǎn)關(guān)系已知，就能夠根據(jù)空間坐標(biāo)系的變化情況將不同視場的數(shù)據(jù)整合到同一坐標(biāo)系下［17］。

對放置于旋轉(zhuǎn)平臺上物體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)掃描，此時(shí)可視物體繞旋轉(zhuǎn)平臺的軸進(jìn)行剛性變換，利用平臺標(biāo)定過程后得到的旋轉(zhuǎn)軸參數(shù)以及旋轉(zhuǎn)的角度，可構(gòu)建多片點(diǎn)云之間的旋轉(zhuǎn)矩陣，將旋轉(zhuǎn)矩陣同當(dāng)前片點(diǎn)云相乘，便可將多片點(diǎn)云配準(zhǔn)到同一坐標(biāo)系，也就實(shí)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)平臺上物體表面點(diǎn)云的自動配準(zhǔn)。

為對旋轉(zhuǎn)平臺進(jìn)行標(biāo)定，使用高為100mm、半徑為40mm的圓柱體標(biāo)定塊（以下簡稱標(biāo)定塊，如圖1），基本原理是掃描不同角度標(biāo)定塊表面多片點(diǎn)云數(shù)據(jù)，然后根據(jù)這些點(diǎn)云均在圓柱體表面的約束條件求出標(biāo)定參數(shù)初始值并列出誤差方程，迭代求解出表達(dá)旋轉(zhuǎn)平臺在掃描儀坐標(biāo)系中位置的標(biāo)定參數(shù)。

圖1 標(biāo)定塊實(shí)物圖Fig.1 Calibration block

2.1 參數(shù)說明

旋轉(zhuǎn)平臺的標(biāo)定原理如圖2所示，其中D—XYZ是掃描儀坐標(biāo)系。設(shè)旋轉(zhuǎn)平臺中心軸單位方向向量為N＝［NxNyNz］，且在旋轉(zhuǎn)平臺中心軸上取一點(diǎn)S＝［XDSYDSZDS］作為旋轉(zhuǎn)平臺的中心，S與N共同確定了旋轉(zhuǎn)平臺的軸；同理設(shè)標(biāo)定塊中心軸的單位方向向量為n＝［nx nynz］，且在標(biāo)定塊中心軸線上選取一點(diǎn)Q＝［XDQYDQZDQ］作為標(biāo)定塊的中心，Q與n共同確定標(biāo)定塊的軸。

圖2 旋轉(zhuǎn)平臺標(biāo)定Fig.2 Calibration of turntable

2.2 建立模型

假設(shè)初始位置處標(biāo)定塊表面，如圖2所示（不包括上底和下底，下同）有一點(diǎn)C0在D—XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為C0＝［X0DCY0DCZ0DC］。旋轉(zhuǎn)平臺由初始位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)動θ角后，測得C0點(diǎn)在當(dāng)前點(diǎn)云中的坐標(biāo)為C＝［XDCYDCZDC］，則C與C0的坐標(biāo)存在如下變換關(guān)系

式中

R（N，θ）為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，可視為方向向量N及相鄰片點(diǎn)云間旋轉(zhuǎn)角度θ的函數(shù)，其形式為

式中

式中，i表示旋轉(zhuǎn)次數(shù)。

式（1）中旋轉(zhuǎn)矩陣R表示旋轉(zhuǎn)角度為θ的兩片點(diǎn)云之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，利用該式將任意角度掃描的點(diǎn)云數(shù)據(jù)通過旋轉(zhuǎn)變換到初始位置處，這樣不同視場的點(diǎn)云便整合到同一視場中。在式（1）中除點(diǎn)云坐標(biāo)C與C0已知外，其余參數(shù)均未知，標(biāo)定的目的即求解出這些參數(shù)然后根據(jù)式（5）構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣。

利用標(biāo)定塊表面點(diǎn)云數(shù)據(jù)均位于圓柱表面上這一約束條件，在初始位置處，標(biāo)定塊表面點(diǎn)云數(shù)據(jù)滿足如下關(guān)系式

式中，n＝ ［nxnynz］為圓柱體中心軸的單位方向向量；rd為圓柱體半徑。

將式（1）、式（2）代入式（6）中可得

若記

代入B、Q，將式（7）中的叉積項(xiàng)n×（B－Q）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)積項(xiàng)，并將等號兩邊的項(xiàng)進(jìn)行平方操作，得到

式中

展開式（8），得到

式中，M＝M′TM′，單位方向向量Nx、Ny、Nz和nx、ny、nz均可用兩個(gè)角度來表達(dá)

由于旋轉(zhuǎn)平臺中心軸及標(biāo)定塊中心軸上的定點(diǎn)可以取軸上的任意一點(diǎn)，根據(jù)掃描儀同旋轉(zhuǎn)平臺的位置特點(diǎn)可將YDP、YDS取為定值0。綜合以上條件，可將式（9）中的未知參數(shù)顯示出來并記F為

式中，已知量為：①當(dāng)前片點(diǎn)云相對于初始位置轉(zhuǎn)動的角度θ，可從步進(jìn)電機(jī)中讀取；②C點(diǎn)坐標(biāo)，從點(diǎn)云數(shù)據(jù)文件中讀取。未知量為：①旋轉(zhuǎn)平臺的中心軸，表達(dá)元素為XDS、ZDS、α、β；②標(biāo)定塊在初始位置處的中心軸，表達(dá)元素為XDP、ZDP、αn、βn；③標(biāo)定塊半徑，表達(dá)元素為rd。

2.3 誤差方程

對于標(biāo)定塊表面點(diǎn)云任一點(diǎn)均可列出式（10）所示的方程。該方程為非線性方程，為求得未知量解需進(jìn)行一階的泰勒展開［18］。得到其線性形式如式（11）

記改正數(shù)dα～drd之前的系數(shù)分別為a1～a9，則對標(biāo)定塊表面點(diǎn)云位于柱面上的任一點(diǎn)，均可列出如下誤差方程

式中

對n（n＞＝9）個(gè)點(diǎn)，可列出誤差方程組

式中

根據(jù)最小二乘間接平差原理，可列出法方程式為

式中，n為參與計(jì)算的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；P為觀測值的權(quán)矩陣，反映觀測值的量測精度。

由式（14）求得改正數(shù)的最小二乘解為

2.4 未知數(shù)初值求解

在進(jìn)行迭代求解時(shí)，良好的初值是必須的且有助于快速收斂。式（10）中未知量的部分初值可根據(jù)空間點(diǎn)位于圓柱表面的約束條件求出，假設(shè)某空間點(diǎn)位于圓柱表面，則其需滿足如下方程

式中，X＝［xyz］T表示空間點(diǎn)的三維坐標(biāo)；T＝［txtytz］T表示圓柱體的中心軸上的某個(gè)定點(diǎn)，即式（10）中的［XDQYDQZDQ］；R為圓柱體半徑

將式（16）展開可得

式中

若記矩陣

在矩陣A′中，將各分塊矩陣M、－MT、TTMTR2均視為獨(dú)立的變量來求解，按以下方法可以求解出標(biāo)定塊中心軸的方向向量、標(biāo)定塊半徑R和旋轉(zhuǎn)平臺中心軸方向向量的初值：

（1）方向向量［nxnynz］為A′矩陣中分塊矩陣M最小特征值對應(yīng)的特征向量；

（2）半徑可根據(jù)矩陣TTMT－R2來求解；

（3）在初值求解部分可認(rèn)為旋轉(zhuǎn)平臺中心軸方向向量和標(biāo)定塊中心軸方向向量平行。

標(biāo)定塊中心軸上的定點(diǎn)可通過將柱面的點(diǎn)投影到平面nxx＋nyy＋nzz＝0上，然后根據(jù)投影點(diǎn)擬合一個(gè)圓心，初始位置處點(diǎn)云的圓心可作為未知量XDQ、YDQ、ZDQ的初值。

由于標(biāo)定塊是繞旋轉(zhuǎn)平臺中心軸旋轉(zhuǎn)，于是利用多片標(biāo)定塊中心軸上的定點(diǎn)通過圓心擬合的方式可以求得旋轉(zhuǎn)平臺中心軸上定點(diǎn)XDS、YDS、ZDS的初值。

3 標(biāo)定過程

旋轉(zhuǎn)平臺標(biāo)定過程如下：

（1）將標(biāo)定塊放置于旋轉(zhuǎn)平臺中，設(shè)定初始位置，調(diào)整掃描儀的位置，使其能掃描到標(biāo)定塊表面數(shù)據(jù)。

（2）設(shè)定旋轉(zhuǎn)平臺轉(zhuǎn)動角度（45°）及掃描次數(shù)（為了穩(wěn)定的求解方程應(yīng)不少于3次，設(shè)為5次），旋轉(zhuǎn)平臺每旋轉(zhuǎn)到設(shè)定角度，即利用掃描儀獲取一片標(biāo)定塊表面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，總共獲取到6片點(diǎn)云，點(diǎn)云數(shù)據(jù)以坐標(biāo)（x，y，z）的形式記錄。

（3）任取其中一片點(diǎn)云的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，代入到式（16）中，求解出標(biāo)定塊中心軸的方向向量初值［n0xn0yn0z］，標(biāo)定塊半徑初值r0d，旋轉(zhuǎn)平臺中心軸方向向量初值［N0xN0yN0z］，標(biāo)定塊中心軸定點(diǎn)初值［X0DQY0DQZ0DQ］，旋轉(zhuǎn)平臺中心軸定點(diǎn)初值［X0DSY0DSZ0DS］。

（5）遍歷第（2）步中的所有片點(diǎn)云數(shù)據(jù)，按照式（13）列出改正數(shù)方程組，代入第（3）步中求得的未知數(shù)初值，計(jì)算誤差方程式的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)式（14）計(jì)算法方程的系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)

（6）設(shè)未知數(shù)改正數(shù)的初值均為1.0，按照式（15）求出未知數(shù)改正數(shù)，并與未知數(shù)初值求和得到未知數(shù)新的近似值，將未知數(shù)改正數(shù)與規(guī)定的限差進(jìn)行比較，直到小于限差終止迭代，得到9個(gè)未知數(shù)的精確值，在進(jìn)行迭代運(yùn)算時(shí)，為了收斂的穩(wěn)定性需要降低粗差點(diǎn)的影響，因此將式（15）中的觀測值權(quán)矩陣P按照丹麥法選權(quán)迭代法進(jìn)行設(shè)置［19］。

（7）從9個(gè)精確值中提取同旋轉(zhuǎn)平臺位置相關(guān)聯(lián)的參數(shù)為旋轉(zhuǎn)平臺中心軸方向向量N＝［NxNyNz］和旋轉(zhuǎn)平臺中心S＝［XDSYDSZDS］，保存以上參數(shù)到配置文件以待點(diǎn)云配準(zhǔn)的需要。

4 配準(zhǔn)過程

旋轉(zhuǎn)平臺經(jīng)過標(biāo)定之后，即確定了其在掃描儀坐標(biāo)系中的位置，在同掃描儀的相對位置未發(fā)生變化的情況下，無需再進(jìn)行標(biāo)定，可直接用于點(diǎn)云配準(zhǔn)操作，配準(zhǔn)步驟如下：

（1）讀取參數(shù)，讀取標(biāo)定參數(shù)旋轉(zhuǎn)平臺中心軸方向向量N和旋轉(zhuǎn)平臺中心S。

（2）掃描物體，將待掃描物體放置于旋轉(zhuǎn)平臺中，根據(jù)物體復(fù)雜程度和精度要求設(shè)定轉(zhuǎn)動角度及轉(zhuǎn)動次數(shù)，物體越復(fù)雜精度要求越高，則需要更小的轉(zhuǎn)動角度和更多的轉(zhuǎn)動次數(shù)，設(shè)當(dāng)前設(shè)定的轉(zhuǎn)動角度為θ，轉(zhuǎn)動次數(shù)為k，進(jìn)行掃描將獲取到k＋1片點(diǎn)云。

（3）配準(zhǔn)點(diǎn)云，記錄第i片云相對于初始點(diǎn)云（未旋轉(zhuǎn)之前的位置處）的角度iθ，將角度參數(shù)傳入到式（5）構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣R。設(shè)在第i片點(diǎn)云中任取一點(diǎn)坐標(biāo)為［xiθyiθziθ］，其配準(zhǔn)到初始點(diǎn)云后的坐標(biāo)為［x0iθy0iθz0iθ］，其轉(zhuǎn)換關(guān)系如下

根據(jù)式（18），將除初始點(diǎn)云外的所有片點(diǎn)云變換到同一視場中，即完成了點(diǎn)云的配準(zhǔn)。

5 試驗(yàn)結(jié)果

試驗(yàn)采用了武漢銳智科技公司生產(chǎn)的一款雙目結(jié)構(gòu)光掃描儀作為點(diǎn)云掃描設(shè)備，其點(diǎn)云標(biāo)稱精度為1／10 000，點(diǎn)距約為0.2mm［20］，將旋轉(zhuǎn)平臺加入到該掃描系統(tǒng)中，硬件布置如圖3所示。

掃描儀距旋轉(zhuǎn)平臺中心距離為65cm，旋轉(zhuǎn)平臺的直徑為10cm，平臺的旋轉(zhuǎn)依靠內(nèi)部的步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動，其角度的標(biāo)稱精度為0.075′。為了考察針對旋轉(zhuǎn)平臺點(diǎn)云數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)精度，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，對如圖4（a）所示的貝多芬頭像進(jìn)行了3種拼接操作：ICP手動拼接、標(biāo)志點(diǎn)拼接以及旋轉(zhuǎn)平臺拼接，通過計(jì)算多片點(diǎn)云重疊區(qū)域的最鄰近點(diǎn)對距離的平均值、中誤差以及統(tǒng)計(jì)處于不同距離閾值的點(diǎn)對比例用于評估多片點(diǎn)云間的拼接精度［21］。其中ICP手動拼接是利用點(diǎn)云后處理軟件PolyWorks［22］的拼接模塊Align完成的，標(biāo)志點(diǎn)拼接是利用銳智公司的掃描軟件Scanner完成的［20］，標(biāo)志點(diǎn)為黑色的圓形標(biāo)志，貼于物體表面。

圖3 結(jié)構(gòu)光掃描儀和旋轉(zhuǎn)平臺Fig.3 Structured light based scanner and turntable

圖4 頭像試驗(yàn)Fig.4 Test of avatar

圍繞著貝多芬頭像（圖4（a））進(jìn)行了9次掃描（點(diǎn)云編號為0～8），相鄰掃描角度為30°，按掃描順序?qū)?－1、1－2、2－3等相鄰片點(diǎn)云進(jìn)行拼接后重疊點(diǎn)云區(qū)域的最鄰近點(diǎn)對距離進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖4（b）所示，灰色區(qū)域表示兩片點(diǎn)云的重疊區(qū)域，不同方法拼接精度如表1～表3所示。

表1 ICP手動拼接精度Tab.1 Accuracy report of ICP registration mm

表2 標(biāo)志點(diǎn)拼接精度Tab.2 Accuracy report of marker based registration mm

表3 旋轉(zhuǎn)平臺拼接精度Tab.3 Accuracy report of turntable based registration mm

將以上3種拼接方法得到的平均距離和距離中誤差利用折線圖表示如圖5所示，可以看出，本文提出的針對旋轉(zhuǎn)平臺點(diǎn)云數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)精度與ICP拼接以及標(biāo)志點(diǎn)拼接精度相當(dāng)。

圖5 平均距離和距離中誤差Fig.5 Polygram of mean distance and error distance

利用本文所提出的配準(zhǔn)方法獲取的貝多芬頭像表面點(diǎn)云結(jié)果，如圖6所示。加上標(biāo)定所耗費(fèi)的時(shí)間，掃描整體點(diǎn)云結(jié)果不超過5min，點(diǎn)云拼接精度同使用標(biāo)志點(diǎn)和ICP拼接相當(dāng)，且整個(gè)過程無需人工干預(yù)，高效且自動化。

圖6 三維貝多芬頭像模型Fig.6 3Dmodel of avatar of Beethoven

6 結(jié) 論

本文介紹了一種針對旋轉(zhuǎn)平臺點(diǎn)云數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)方法，不同于其他依賴儀器的匹配方法需要貼標(biāo)志點(diǎn)，該方法僅需要利用圓柱體標(biāo)定塊對旋轉(zhuǎn)平臺位置進(jìn)行標(biāo)定即可，標(biāo)定算法數(shù)學(xué)模型嚴(yán)密求解過程穩(wěn)定性高，配準(zhǔn)精度同后續(xù)ICP拼接或標(biāo)志點(diǎn)拼接精度相當(dāng)。可與激光掃描儀，結(jié)構(gòu)光掃描儀，雙目立體視覺系等系統(tǒng)配合，掃描完整的物體表面點(diǎn)云數(shù)據(jù)非常方便快捷，硬件成本較低，自動化程度高，非常適用于小型零件、玩具公仔、館藏文物等旋轉(zhuǎn)物體的快速三維建模，具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

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