戶(hù)文好

(蠡縣中學(xué) 河北 保定 071400)

說(shuō)到靜液壓強(qiáng)計(jì)算公式我們?cè)偈煜げ贿^(guò)了，從初中教科書(shū)中我們就已經(jīng)知道

p=ρgh

然而，你可曾知道這是一個(gè)片面的公式，或說(shuō)是個(gè)“相對(duì)壓強(qiáng)”公式.讓我們來(lái)考察一下這個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程.

圖1

如圖1所示，在靜止的、密度為ρ的液體中， 劃出了一個(gè)上下粗細(xì)均勻，截面積為S的豎直液柱．液柱由液面至深h處．已知液柱在側(cè)面所受各方向液體的水平壓力，大小相等且相互平衡.在豎直方向受向下的重力G和向上的液體的壓力pS，由于液體處于靜止平衡狀態(tài)，故而可知

pS=G

即

pS=ρghS

從而可得

p=ρgh

(1)

這就是我們所熟知的深h處的靜液壓強(qiáng)計(jì)算公式.

推導(dǎo)出這個(gè)公式有一個(gè)重要條件常常被忽略，那就是沒(méi)有計(jì)算液面上的壓強(qiáng)p0.事實(shí)上通常液面上是有壓強(qiáng)的，比如說(shuō)大氣壓強(qiáng).

那么，這個(gè)公式是不是有點(diǎn)兒?jiǎn)栴}，起碼是不夠全面吧！不夠全面用起來(lái)就短不了出錯(cuò).

例如：一個(gè)水杯中盛有高h(yuǎn)=10 cm的水，杯口敞開(kāi)，杯底有一空氣泡.問(wèn)空氣泡的壓強(qiáng)有多大?已知環(huán)境的大氣壓強(qiáng)p0=1.0×105Pa.

此題如果用公式p=ρgh計(jì)算,得出空氣泡的壓強(qiáng)

p=ρgh

代入數(shù)據(jù)得

p=0.98×103Pa

只有大氣壓強(qiáng)p0=1.0×105Pa的百分之一，顯然是錯(cuò)誤的，應(yīng)該比大氣壓強(qiáng)大才對(duì).

圖2

全面的計(jì)算應(yīng)該考慮表面上的壓強(qiáng)，如圖2所示.與圖1相比，只是所劃出來(lái)的液柱，多了液面上向下的壓力p0S.由于液體處于靜止平衡狀態(tài)，故而可知

pS=p0S+G=p0S+ρghS

從而可得

p=p0+ρgh

(2)

這就是全面的計(jì)算靜液壓強(qiáng)的公式.

按此全面的計(jì)算靜液壓強(qiáng)的公式，上述水杯中空氣泡的壓強(qiáng)應(yīng)為

p=p0+ρgh

代入數(shù)據(jù)得

p=1.01×105Pa

這才是正確答案.

公式(1)所計(jì)算的壓強(qiáng)，忽略了表面外力作用，常稱(chēng)之為“相對(duì)壓強(qiáng)”，考慮表面外力作用的公式(2)所計(jì)算的壓強(qiáng)，稱(chēng)之為“絕對(duì)壓強(qiáng)”.由于我們生活在大氣中，對(duì)大氣壓強(qiáng)我們習(xí)以為常，以致不再注意，所以，我們常說(shuō)的鍋爐內(nèi)的蒸氣壓強(qiáng)、人體的血壓等等指的都是相對(duì)壓強(qiáng)(又叫“計(jì)示壓強(qiáng)”)，也就是比大氣壓強(qiáng)高出來(lái)的那部分壓強(qiáng).如此說(shuō)來(lái)，公式(1)雖然片面，但還是另有意義的，不能一棍子打死，只是要清楚它在什么條件下成立，注意它在什么條件下可以使用即可.

對(duì)于靜止的液體來(lái)說(shuō)，更具基礎(chǔ)性的是壓強(qiáng)差公式，現(xiàn)簡(jiǎn)介如下.

設(shè)想，在某靜止的液體中任取兩點(diǎn)1和2，在點(diǎn)1處的壓強(qiáng)為

p1=p0+ρgh1

h1為點(diǎn)1處的深度.

在點(diǎn)2處的壓強(qiáng)為

p2=p0+ρgh2

h2為點(diǎn)2處的深度.

不難證明，點(diǎn)2處與點(diǎn)1處的壓強(qiáng)差(設(shè)h2>h1且h=h2-h1)

p2-p1=ρgh

(3)

式(3)就是著名的壓強(qiáng)差公式，也就是歐拉靜液平衡方程，其在靜流體中的地位就像伯努利方程在動(dòng)流體中一樣.

我們說(shuō)歐拉靜液平衡方程更具基礎(chǔ)性是因?yàn)樗梢宰鳛橐后w靜止平衡的條件，或說(shuō)判據(jù).液體靜止平衡，這個(gè)方程必定成立；反之這個(gè)方程不成立，必將失衡而發(fā)生流動(dòng).

如圖3所示倒置的U形管，其中有水.A端開(kāi)口，此處的壓強(qiáng)與外界大氣壓強(qiáng)p0相同.B端堵著，低于A端，水不流動(dòng).在此情況下，B端的壓強(qiáng)pB與A端的壓強(qiáng)p0的關(guān)系，依據(jù)壓強(qiáng)差公式有

pB-p0=ρg(hB-hA)

圖3

這就是說(shuō)，在上述靜止?fàn)顟B(tài)下，B端水的壓強(qiáng)

pB=p0+ρg(hB-hA)

大于大氣壓強(qiáng)p0.

那么，一旦將B端放開(kāi)，水就會(huì)與外界大氣接觸，壓強(qiáng)突然由pB減小為p0，平衡的條件被破壞，水因而失衡由靜止變?yōu)榱鲃?dòng)，且向壓強(qiáng)減小的方向流動(dòng)，從B端流出. 這就是虹吸的原理．

我們說(shuō)歐拉靜液平衡方程更具基礎(chǔ)性還因?yàn)榘⒒椎略砗团了箍ǘ啥伎梢詮倪@個(gè)方程導(dǎo)出.

設(shè)想一個(gè)規(guī)則的長(zhǎng)方體物塊，豎直放在液體中，其高度為h,上、下底面(橫截面)與液面平行，大小為S.則此物塊所受浮力

F浮=p下底S-p上底S=(p下底-p上底)S

由壓強(qiáng)差公式

p下底-p上底=ρgh

可得

F浮=(p下底-p上底)S=ρghS=ρgV

V為物塊排開(kāi)液體的體積.對(duì)于不規(guī)則物體，根據(jù)壓強(qiáng)差公式，用積分的方法，亦可以得到同樣的結(jié)果.此即阿基米德原理.

考慮液體內(nèi)任意兩點(diǎn)1和2，且已知其高度差h. 在此條件下，在點(diǎn)1處另外再增加一個(gè)壓強(qiáng)Δp1,則在點(diǎn)2處跟著也會(huì)增加一個(gè)壓強(qiáng)Δp2，則有

(p2+Δp2)-(p1+Δp1)=ρgh

若高度差h不變，也就是液體靜止、平衡、不流動(dòng)，則ρgh=恒量.從而可知

Δp2=Δp1

這就是帕斯卡定律．這個(gè)定律通常表述為，加在密閉(靜止)液體上的壓強(qiáng)，能夠大小不變地“傳遞”到液體內(nèi)各處．

阿基米德(BC287～BC212)和帕斯卡(1623～1662)都早于牛頓(1643～1727)和歐拉(1707～1783)，但是阿基米德原理和帕斯卡定律都被后來(lái)牛頓以及歐拉的理論所整合，這也是科學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果．我們學(xué)習(xí)科學(xué)不能只注意原始的科學(xué)探究，更應(yīng)注意歷史的簡(jiǎn)并與整合，不然分散的知識(shí)越來(lái)越多,我們還學(xué)得過(guò)來(lái)嗎？

1 趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程·力學(xué).北京：高等教育出版社，2004.7

2 王紹符，張喜榮. 從靜液壓強(qiáng)的形成解讀阿基米德原理和帕斯卡定律.物理通報(bào)，2011(10):79～83