柳正偉 劉應(yīng)開

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650092)

均質(zhì)球體或圓柱體在固定的半圓形凹槽內(nèi)的微振動問題常常在一些理論力學(xué)的教材[1～3]中出現(xiàn).解決這類問題時，一般假設(shè)均質(zhì)圓柱體或球體在固定的半圓形凹槽內(nèi)做無滑滾動，用分析力學(xué)的方法導(dǎo)出其運(yùn)動微分方程,然后求出微振動周期.如果均質(zhì)圓柱體或球體在非固定的半圓形凹槽內(nèi)運(yùn)動，且其運(yùn)動不是微振動，在計算中就會涉及到做無滑滾動的臨界角大小，振動周期公式為何形式等問題，本文對這些問題進(jìn)行分析、計算和討論，以期給出完整、全面的結(jié)果.

1 均質(zhì)球體和半圓凹槽的運(yùn)動微分方程

圖1 均質(zhì)球體做無滑滾動的示意圖

圖2 均質(zhì)球體的受力示意圖 圖3 半圓形凹槽受力示意圖

凹槽的重力m2g和水平面對凹槽的支持力是一對平衡力,未在圖中畫出.根據(jù)m2的受力情況和約束情況可知，凹槽m2只能在光滑水平面上做一維方向上的自由移動，以水平面為參考系，取水平向右為x軸的正方向，并設(shè)凹槽的加速度為am2x，由牛頓第二定律可得

m2am2x=FNsinθ-Ffcosθ

(1)

取半圓形凹槽為參考系，均質(zhì)球體受慣性力為f*=-m1am2x作用，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理可得

FN-m1gcosθ+m1am2xsinθ

(2)

-m1gsinθ-m1am2xcosθ+Ff

(3)

(4)

由于假設(shè)均質(zhì)球體在半圓形凹槽內(nèi)做無滑滾動，因此，有無滑滾動條件[4]

(5)

(6)

2 均質(zhì)球體在非固定圓形凹槽內(nèi)做無滑滾動的臨界角

(7)

(8)

(9)

(10)

FN=

(11)

均質(zhì)球體在半圓形凹槽內(nèi)做無滑滾動時，球體和凹槽面之間相互作用的摩擦力做功之和為零，所以，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，OC連線偏離豎直方向向右和向左的角度最大均為θ0，即θ0為角振幅.由于

考慮到在±θ0處，靜摩擦力|Ff|與正壓力FN及靜摩擦因數(shù)μ0應(yīng)該滿足|Ff|≤μ0FN，因此由式(9)、(11)可得

于是有

(12)

設(shè)均質(zhì)球體相對與半圓形凹槽面做無滑滾動的臨界角為θc，那么就有

3 均質(zhì)球體的振動周期

3.1 振動周期的精確解

均質(zhì)球體與非固定的半圓形凹槽組成的系統(tǒng),在水平方向不受力的作用，系統(tǒng)的動量守恒，因此,在做無滑滾動的條件下，均質(zhì)球體與半圓形凹槽所做的運(yùn)動均為周期運(yùn)動，且振動周期相同，可將均質(zhì)球體的振動周期表述為整個系統(tǒng)的振動周期.

由于

令

于是有

(13)

那么,球體的振動周期就可以表示為

(14)

式(14)即為均質(zhì)球體在一維方向可自由移動的半圓形凹槽內(nèi),做大角度振動時周期的精確公式，式中

(15)

3.2 m2?m1時均質(zhì)球體的振動周期公式

當(dāng)半圓形凹槽固定時，假設(shè)均質(zhì)球體在半圓形凹槽內(nèi)做無滑滾動，用分析力學(xué)的方法,導(dǎo)出均質(zhì)球體的運(yùn)動微分方程為

解方程可得均質(zhì)球體做大角振動的振動周期T為

(16)

其中

當(dāng)m2?m1，k′=0，由式(14)可以得到

(17)

可見式(16)、(17)完全一樣，此時積分為第一類橢圓積分，可通過查橢圓積分表求出周期.即當(dāng)m2?m1時，均質(zhì)球體的振動周期回歸到了半圓形凹槽固定的情況下球體的振動周期.從而,驗證了均質(zhì)球體在一維方向可自由移動的半圓形凹槽內(nèi)做大角度振動的振動周期精確公式(14)的正確性.

過函數(shù)曲線兩端點作直線 (圖4中虛線)，設(shè)所作直線的縱坐標(biāo)為r(φ,θ0)，則

(18)

圖4 f(φ,k)和r(φ,θ0)與φ的關(guān)系曲線圖

根據(jù)分析，用r(φ,θ0)代替f(φ,k)，那么,由式(14)可以得

將ω0,a,b的定義式代入上式整理可以得

(19)

表1 振動周期精確解與近似解相對誤差分析 =1

過函數(shù)曲線兩端點作直線 (圖5中虛線)，設(shè)所作直線的縱坐標(biāo)為r′(φ,θ0)，則

圖5 f(φ,k)和r(φ,θ0)與φ的關(guān)系曲線圖

(20)

將ω0,a′,b′的定義式代入上式整理得

(21)

(22)

可見式(22)、(15)完全相同.

表2 振動周期精確解與近似解相對誤差分析 =100

4 結(jié)論

用動力學(xué)的方法建立了均質(zhì)球體與一維方向可自由移動的半圓形凹槽組成的系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程,并考慮均質(zhì)球體從θ0靜止釋放時，靜摩擦力|Ff|與正壓力FN及靜摩擦因數(shù)μ0必須滿足|Ff|≤μ0FN，從而得到均質(zhì)球體在半圓形凹槽中無滑滾動的臨界角θc.

參考文獻(xiàn)

1 周衍柏.理論力學(xué)(第二版).北京：高等教育出版社，1986.366

2 梁昆淼.理論力學(xué)(下冊).北京:人民教育出版社,1980.324

3 肖士珣. 理論力學(xué)(第二版) . 北京:高等教育出版社，1983.388

4 梁昆淼,俞超,邱樹業(yè). 力學(xué)討論 .成都:四川教育出版社,1987.529

5 何勤,謝秉川.均質(zhì)圓柱體在非固定半圓形柱面內(nèi)的振動周期.大學(xué)物理，2007,26(11)：29～33

6 李慧娟.質(zhì)點沿可自由移動的光滑凹槽的運(yùn)動分析.大學(xué)物理,2007,26(7)：18～20