趙 強(qiáng) 韓春杰

(石家莊機(jī)械化步兵學(xué)院 河北 石家莊 050083)

大學(xué)物理中所學(xué)的定理、定律或公式通常是解決具有對稱性分布的物理問題，而在解題過程中，常常遇到某些物理量分布不對稱性的問題.如何利用已有的知識解決這些難題，是學(xué)生深感困惑的事情.利用補(bǔ)償法巧妙地將一些不對稱分布問題假設(shè)在一定條件下變?yōu)閷ΨQ分布，從而，使原問題的求解過程簡化或通過補(bǔ)償消除某些非對稱因素，將復(fù)雜的物理問題由難變易，由繁變簡.在計(jì)算挖空物體的轉(zhuǎn)動慣量、帶電體的電場強(qiáng)度和載流導(dǎo)體的磁感應(yīng)強(qiáng)度等問題時常常用到補(bǔ)償法求解.

1 求剛體的轉(zhuǎn)動慣量

解析：本題如根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義積分計(jì)算比較困難.但用“補(bǔ)償法”(或稱“負(fù)質(zhì)量法”)計(jì)算，就簡單得多.設(shè)想在帶孔圓盤的每個小孔處填充質(zhì)量為正的和負(fù)的且相等的小圓盤, 這樣，并不改變原來的質(zhì)量分布[2], 但形成了正質(zhì)量的大圓盤和兩個負(fù)質(zhì)量的小圓盤的組合體, 它們的轉(zhuǎn)動慣量都可按公式計(jì)算, 帶孔圓盤的轉(zhuǎn)動慣量即可求得.

正質(zhì)量的大圓盤對盤心O軸的轉(zhuǎn)動慣量為

圖1

兩個負(fù)質(zhì)量的小圓盤對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為

所以帶孔圓盤對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為

2 求解帶電體的電場強(qiáng)度

【例2】如圖2所示，在電荷體密度為ρ的均勻帶電球體中，存在一個球形空腔，若將帶電體球心O指向空腔球心O′的矢量用a表示，試求球形空腔中任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度[3].

圖2

解析：本題所給的帶電體的電荷分布不滿足球?qū)ΨQ，它的電場分布也不是球?qū)ΨQ分布，因此,無法用高斯定理求其電場分布，也無法用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式由積分法求得，但可用場強(qiáng)的疊加原理，即補(bǔ)償法進(jìn)行求解.具體方法是挖去空腔球體的電場強(qiáng)度加上補(bǔ)有同樣電荷體密度的空腔球體的電場強(qiáng)度，就等于整個球體的電場強(qiáng)度.由于整個球體和補(bǔ)有電荷的空腔球體的電場強(qiáng)度很容易求出，所以,挖去空腔球體的電場強(qiáng)度就可以求出.

挖去空腔的帶電球體在電學(xué)上等效于一個完整的、電荷體密度為ρ的均勻帶電球體和一個電荷體密度為-ρ的空腔球體.這樣，利用電場強(qiáng)度的疊加原理，挖去空腔的帶電球體的電場強(qiáng)度就可以計(jì)算.

均勻帶電球體內(nèi)部一點(diǎn)的電場強(qiáng)度，由高斯定理可得

由幾何關(guān)系可得

r1-r2=a

所以

3 求載流導(dǎo)體的磁場分布

【例3】如圖3所示，一根半徑為R的無限長載流直導(dǎo)體，在導(dǎo)體上有一半徑為R′的圓柱形空腔，該空腔的軸與直導(dǎo)體的軸平行，兩軸相距為d(d>R′).導(dǎo)體中有電流I沿軸向流過，并均勻分布在橫截面上.試求空心部分軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小[4].

圖3

解析：題中給出的電流為非對稱分布，產(chǎn)生的磁場分布不具有軸對稱性，因而不能用安培環(huán)路定理直接求解.但可以利用補(bǔ)償法求空腔內(nèi)的磁場分布.將題中的載流導(dǎo)體視作兩個半徑分別為R和R′的實(shí)心圓柱形導(dǎo)體，其電流密度j均為

但兩導(dǎo)體上電流的流向相反.這相當(dāng)于在原導(dǎo)體空腔處補(bǔ)上電流密度相同、電流方向相反的兩束電流，此時空腔內(nèi)任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為B=B1+B2.

由安培環(huán)路定理知，空心圓柱體在其軸心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度

實(shí)心圓柱體在O′處的磁感應(yīng)強(qiáng)度可由安培環(huán)路定理求出

所以

參考文獻(xiàn)

1 康穎．大學(xué)物理(下冊)．北京：科學(xué)出版社，2006.152

2 程國均．大學(xué)物理學(xué)教程．北京：科學(xué)出版社，2002.156

3 馬文蔚．物理學(xué)(中冊)．北京：高等教育出版社，2002.53

4 張三慧．大學(xué)物理學(xué)(第三冊)．北京：清華大學(xué)出版社，2000.180