賈彥峰

(井陘縣第二中學(xué) 河北 石家莊 050301)

帶電粒子在邊界為圓形的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的典型類型，其中一些特殊情況的結(jié)論在解題中往往被師生直接使用，但它的來龍去脈卻很少有人追問，甚至被大家忽略.若學(xué)生養(yǎng)成記結(jié)論的壞習(xí)慣，便會(huì)失去一次利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的鍛煉機(jī)會(huì).

文獻(xiàn)[1,2]均論證了帶電粒子在邊界為圓形的有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，但只涉及一些特殊情況，一般情況卻沒有涉及到.為此，下面首先給出特殊情況的證明，接著闡明解決一般情況的方法和步驟，最后，運(yùn)用所得規(guī)律和方法解決問題.

1 特殊情況結(jié)論的證明

規(guī)律1：帶電粒子沿徑向射入必沿徑向射出.

如圖1所示，在真空中圓心為O1，半徑為R的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未標(biāo)出)，磁感強(qiáng)度為B.一個(gè)質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的帶電粒子從P點(diǎn)沿半徑方向射入，帶電粒子受

洛倫茲力做圓心為O2，半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從Q點(diǎn)射出.求證：出射方向的反向延長(zhǎng)線必過磁場(chǎng)圓的圓心O1.

圖1

證明：連接O1P，O1Q，O2P，O2Q，在△O1PO2和△O1QO2中，因?yàn)?/p>

PO1=QO1PO2=QO2

O1O2為公共邊,所以

△O1PO2?△O1QO2∠O1PO2=∠O1QO2

由題可知

O2P⊥O1P

代入數(shù)據(jù)得

G動(dòng)=1 200 N

拉力

代入數(shù)據(jù)得

F1=2 400 N

總之，在解此類題目時(shí)，要分析清楚滑輪組的組成，再利用已知條件求總功、有用功和機(jī)械效率.解題時(shí)特別要注意機(jī)械效率的可變性，如提升貨物的重力改變，機(jī)械效率也會(huì)隨之改變等.

所以

O2Q⊥O1Q

又因?yàn)檫^Q點(diǎn)的速度v垂直O(jiān)2Q,所以該點(diǎn)的速度v與直線O1Q共線,即出射方向的反向延長(zhǎng)線必過磁場(chǎng)圓的圓心O1.

規(guī)律2:如果磁場(chǎng)圓半徑等于軌跡圓半徑，則粒子的出射方向與磁場(chǎng)圓上入射點(diǎn)的切線方向平行(也就是說,從某點(diǎn)射入磁場(chǎng)的所有粒子，出射時(shí)的方向都會(huì)與磁場(chǎng)圓上入射點(diǎn)的切線方向平行).

規(guī)律3:如果磁場(chǎng)圓半徑等于軌跡圓半徑，則磁場(chǎng)圓上出射點(diǎn)的切線方向與粒子的入射方向平行(也就是說,若一束粒子平行射入磁場(chǎng)圓，出射時(shí)必匯聚于一點(diǎn)).

如圖2所示，在真空中圓心為O1,半徑為R的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未標(biāo)出)，磁感強(qiáng)度為B.一個(gè)質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的帶電粒子從P點(diǎn)射入，帶電粒子受洛倫茲力的作用，做圓心為O2,半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從Q點(diǎn)射出.直線PH，KQ分別為入射和出射方向即軌跡圓上入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的切線.PJ，QI分別為磁場(chǎng)圓上入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的切線.求證：

(1)QK∥PJ;

(2)QI∥PH.

圖2

證明：(1)由題知O1P=O1Q=O2P=O2Q=R,所以，四邊形O1QO2P為菱形,O1P∥O2Q.因O1P⊥PJ，且O2Q⊥QK,故PJ∥QK,即粒子的出射方向KQ與磁場(chǎng)圓上入射點(diǎn)的切線方向PJ平行.

進(jìn)一步分析可知,在滿足磁場(chǎng)圓半徑等于軌跡圓半徑的情況下，粒子的入射方向可以是任意的，而磁場(chǎng)圓上入射點(diǎn)P的切線方向是確定的，因此，從P點(diǎn)射入磁場(chǎng)的所有粒子，出射時(shí)的方向都會(huì)與磁場(chǎng)圓上入射點(diǎn)的切線方向平行[1],如圖3所示.

(2)同理可證明，QI∥PH,即磁場(chǎng)圓上出射點(diǎn)的切線方向QI與粒子的入射方向PH平行.

進(jìn)一步分析可知,在滿足磁場(chǎng)圓半徑等于軌跡圓半徑的情況下，若一束粒子平行射入磁場(chǎng)圓，則磁場(chǎng)圓上出射點(diǎn)的切線方向一定與入射方向平行，而磁場(chǎng)圓上與入射方向平行的切線是確定的，則切點(diǎn)是確定的，切點(diǎn)就是出射點(diǎn).也就是說,若一束的粒子平行射入磁場(chǎng)圓，出射時(shí)必匯聚于一點(diǎn),如圖4所示.

圖3 圖4

2 解決一般情況的方法和步驟

以上只是在一些特殊情況下成立的結(jié)論，那么，任意帶電粒子射入磁場(chǎng)圓時(shí)，粒子從何處射出，出射方向怎樣呢？下面對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行研究.

如圖5所示，在真空中圓心為O1，半徑為R的區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未標(biāo)出)，磁感強(qiáng)度為B.一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的帶電粒子從P點(diǎn)射入，帶電粒子受洛倫茲力做圓心為O2，半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從Q點(diǎn)射出.

圖5

分析：設(shè)入射角(即入射方向與磁場(chǎng)圓半徑的夾角)為θ，運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的軌跡圓的圓心角α，運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)圓的圓心角為β，因?yàn)槠D(zhuǎn)角(即入射方向和出射方向的夾角)與軌跡圓的圓心角相等，所以偏轉(zhuǎn)角也為α.

在△O1O2P中，有

(1)

(2)

由式(1)、(2)得

(3)

(4)

把已知量代入可以求出α和β.知道偏轉(zhuǎn)角α就可以知道粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的出射方向，知道β就可以知道粒子在何處射出磁場(chǎng).

點(diǎn)評(píng)：在帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)垂直的前提下，此方法對(duì)于解決帶電粒子在邊界為圓形的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題普遍適用，解題步驟可歸納如下.

第一步,做出運(yùn)動(dòng)軌跡圖,包括磁場(chǎng)圓、軌跡圓、入射方向、出射方向、入射角、偏轉(zhuǎn)角、磁場(chǎng)圓的圓心角、軌跡圓的圓心角等.

第二步,在由磁場(chǎng)圓半徑R,軌跡圓半徑r,兩圓圓心連線OO′組成的三角形中,找出磁場(chǎng)圓半徑R與軌跡圓半徑r的關(guān)系，如式(1).

第三步,由三角形內(nèi)外角關(guān)系找出入射角θ，軌跡圓的圓心角α，磁場(chǎng)圓的圓心角β三者間的關(guān)系，如式(2).

第四步,解式(1)、(2)，由數(shù)學(xué)技巧和方法得式(3)、(4).

第五步,把已知量帶入式(3)、(4)進(jìn)行討論.

3 運(yùn)用一般結(jié)論解題

【例1】(2002年高考全國(guó)卷第27題)電視機(jī)的顯像管中，電子束的偏轉(zhuǎn)是用磁偏轉(zhuǎn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)的.電子束經(jīng)過電壓為U的加速電場(chǎng)后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，如圖6所示.磁場(chǎng)方向垂直于圓面.磁場(chǎng)區(qū)的中心為O，半徑為r.當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí)，電子束將通過O點(diǎn)而打到屏幕的中心M點(diǎn).為了讓電子束射到屏幕邊緣P，需要加磁場(chǎng)，使電子束偏轉(zhuǎn)一已知角度θ，此時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)為多少？

圖6

(5)

(6)

圖7

由于帶電粒子沿徑向射入圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，則其出射方向的反向延長(zhǎng)線必沿徑向射出，必過圓形磁場(chǎng)的圓心O.

(7)

由式(5)～(7)解得

(8)

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子沿徑向射入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)的情形，根據(jù)特殊規(guī)律1知帶電粒子必沿徑向射出.

【例2】(2009年高考浙江卷第25題)如圖8所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上.在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng).在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m，電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒.發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0

(1)從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸,從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與方向.

(2)請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由.

(3)若這束帶電微粒初速度變?yōu)?v，那么,它們與x軸相交的區(qū)域又在哪里？并說明理由.

圖8

解析：本題提供的參考答案中關(guān)于第(2)問提供了兩種解法，第一種解法不是很直觀.第二種解法用到了較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)要求較高.而第(3)問完全是定性分析，理由不能令人信服.下面從本文提供的規(guī)律、方法入手重新進(jìn)行解答.

(1)本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng).帶電粒子平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，說明帶電微粒所受重力和電場(chǎng)力平衡.設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，由

mg=Eq

可得

方向沿y軸正方向.

得

方向垂直于紙面向外.

(2)一束沿x軸正方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域的粒子，因?yàn)榇艌?chǎng)圓半徑等于軌跡圓半徑，則這束帶電微粒必匯聚于一點(diǎn)，即從O點(diǎn)通過，如圖9所示.

圖9

(3)若這束帶電微粒初速度變?yōu)?v，則此時(shí)軌跡圓半徑r′=2R.這束帶電微粒既不沿徑向射入，也不滿足磁場(chǎng)圓和軌跡圓半徑相同.由于帶電粒子出磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若要分析它們與x軸相交的區(qū)域，只需討論粒子的偏轉(zhuǎn)角即可.由于討論粒子與x軸相交的區(qū)域是個(gè)范圍，抓住邊界條件進(jìn)行討論即可.

設(shè)從P點(diǎn)入射的粒子入射方向與磁場(chǎng)圓半徑的夾角為θ，入射方向和出射方向的夾角為α，軌跡圓的圓心角也為α，磁場(chǎng)圓的圓心角為β.在△O1O′P中

(9)

(10)

由式(9)、(10)得

(11)

(12)

當(dāng)粒子從接近磁場(chǎng)圓的頂點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，θ接近90°，由式(11)得偏轉(zhuǎn)角α接近180°.同理，當(dāng)粒子從接近O點(diǎn)的位置進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)角α也接近180°，粒子從其他位置進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)β均小于180°.故粒子與x軸相交的區(qū)域是x>0，如圖10所示.

圖10

點(diǎn)評(píng)：第(1)問考查帶電粒子沿徑向射入必沿徑向射出；第(2)問考查如果磁場(chǎng)圓半徑等于軌跡圓半徑，則磁場(chǎng)圓上出射點(diǎn)的切線方向與粒子的入射方向平行(也就是說,若一束粒子平行射入磁場(chǎng)圓，出射時(shí)必匯聚于一點(diǎn))；第3問帶電粒子既不沿徑向射入，也不滿足磁場(chǎng)圓和軌跡圓半徑相同，此時(shí)按照一般情況對(duì)待.

圖11

解析：本題考查帶電粒子在邊界為圓形的有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題.本題的特點(diǎn)是,帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中的出射方向與入射方向的夾角為90°，是一個(gè)特殊的角度.抓住這一特點(diǎn)利用平面幾何知識(shí)可求出粒子的軌跡半徑.這樣的解法有幾種，在這里就不一一列舉了.下面的解法是,首先,拋開帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中的出射方向與入射方向的夾角為90°的特殊條件，從推導(dǎo)出的一般規(guī)律入手，把題中的特殊條件代入，求出粒子的軌跡半徑.

粒子在磁場(chǎng)中做圓心為O′的圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)圓周的半徑為r，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得

式中v為粒子在a點(diǎn)的速度.

如圖12所示，設(shè)入射方向與磁場(chǎng)圓半徑的夾角∠Oad=θ，入射方向和出射方向的夾角α=90°，磁場(chǎng)圓的圓心角∠aOb=β.按照一般情況進(jìn)行推導(dǎo)，得到一般解后，再把特殊條件代入求解.

圖12

在△OO′a中

(13)

(14)

由式(13)、(14)得

(15)

考慮粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng).設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng).設(shè)其加速度大小為a，由牛頓第二定律和帶電粒子在電場(chǎng)中的受力公式得qE=ma.

式中t是粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.解得

點(diǎn)評(píng)：此題確定帶電粒子的軌跡半徑有很多種方法，其中利用出射方向與入射方向垂直的特殊條件，可以較容易解答.雖然本題提供的方法有點(diǎn)復(fù)雜，但它是解決此類題最通用的方法.

以上只是個(gè)人的一些粗淺的想法，不足之處敬請(qǐng)同行指正.

參考文獻(xiàn)

1 沈建堂.一個(gè)磁聚焦問題的證明及其應(yīng)用——從一道高考?jí)狠S題的答案談起.物理教學(xué)，2010，32(01)：61～62

2 王波.圓形有界磁場(chǎng)中“磁聚焦”規(guī)律的證明及應(yīng)用. 物理教學(xué)，2011,33(12):47